Vzorce pravdepodobnosti sú dôležité matematické nástroje používané pri výpočte pravdepodobnosti. Pred poznaním pravdepodobnostných vzorcov musíme v skratke pochopiť pojem pravdepodobnosti. Možnosť výskytu náhodnej udalosti je definovaná pravdepodobnosťou. Pravdepodobnosť je šanca na predpoveď. Jeho aplikácie siahajú do rôznych oblastí vrátane herných stratégií, vytvárania predpovedí založených na pravdepodobnosti v podnikaní a rozvíjajúcej sa oblasti umelej inteligencie.

V tomto článku sa naučíme význam a definíciu vzorca pravdepodobnosti a ako tieto vzorce použiť pri výpočte pravdepodobnosti. Vidíme tiež rôzne výrazy súvisiace s pravdepodobnosťou a rôzne vzorce na jednoduché riešenie matematických problémov.

Obsah

• Čo je vzorec pravdepodobnosti?
• Pojmy súvisiace so vzorcom pravdepodobnosti
• Udalosti vo vzorci pravdepodobnosti
• Rôzne vzorce pravdepodobnosti
• Príklady na vzorec pravdepodobnosti

Čo je vzorec pravdepodobnosti?

Vzorce pravdepodobnosti sa používajú pri určovaní možností udalosti vydelením počtu priaznivých výsledkov celkovými možnými výsledkami. Pomocou tohto vzorca môžeme odhadnúť pravdepodobnosť spojenú s konkrétnym výskytom.

Matematicky môžeme tento vzorec zapísať ako:

P(A) = Počet priaznivých výsledkov / Celkový počet možných výsledkov

Vzorec pravdepodobnosti vypočítava pomer priaznivých výsledkov k celému súboru možných výsledkov. Hodnota pravdepodobnosti leží v rozmedzí od 0 do 1, čo znamená, že priaznivé výsledky nemôžu prekročiť celkové výsledky a záporná hodnota priaznivých výsledkov nie je možná.

učiť sa,

• Pravdepodobnosť v matematike
• Teória pravdepodobnosti

Ako vypočítať pravdepodobnosť?

Pravdepodobnosť udalosti = (počet priaznivých výsledkov) / (celkový počet možných výsledkov pre udalosť)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

P(A) tu znamená pravdepodobnosť udalosti A, kde n(E) je počet priaznivých výsledkov a n(S) je celkový počet možných výsledkov udalosti.

Pri zvažovaní komplementárnej udalosti, reprezentovanej ako P(A'), ktorá označuje neprítomnosť udalosti A., potom vzorec bude:

P(A’) = 1- P(A)

P(A') je opakom udalosti A, čo naznačuje, že nastane buď udalosť P(A), alebo jej doplnok P(A').

Preto teraz môžeme povedať; P(A) + P(A’) = 1

učiť sa,

• Udalosti v pravdepodobnosti
• Typy udalostí v pravdepodobnosti

Pojmy súvisiace so vzorcom pravdepodobnosti

Niektoré z najbežnejších výrazov súvisiacich s pravdepodobnostným vzorcom sú:

• Experiment: Experiment je činnosť alebo postup vykonávaný s cieľom vytvoriť konkrétny výsledok.

• Vzorový priestor: Vzorový priestor zahŕňa kompletné potenciálne výsledky, ktoré pochádzajú z experimentu. Napríklad, keď hodíte mincou, vzorový priestor obsahuje {hlava, chvost}.

• Priaznivý výsledok: Priaznivý výsledok je výsledok, ktorý je v súlade so zamýšľaným alebo očakávaným záverom. V prípade hodu dvoma kockami sú príkladmi priaznivých výsledkov, ktoré sú výsledkom súčtu 4, (1,3), (2,2) a (3,1).

• Skúška: Pokus označuje vykonanie náhodného experimentu.

• Náhodný experiment: A Náhodný experiment sa vyznačuje dobre definovaným súborom možných výsledkov. Príkladom náhodného experimentu je hod mincou, pričom výsledkom môžu byť buď hlavy alebo chvosty. To znamená, že výsledok bude neistý.

• Udalosť: Udalosť označuje celkové výsledky pochádzajúce z náhodného experimentu.

• Rovnako pravdepodobné udalosti: Rovnako pravdepodobné udalosti sú tie udalosti, ktoré majú rovnakú pravdepodobnosť výskytu. Výsledok jednej udalosti neovplyvňuje výsledok inej.

• Vyčerpávajúce udalosti: Vyčerpávajúca udalosť nastane, keď súbor všetkých možných výsledkov pokrýva celý priestor vzorky.

• Vzájomne exkluzívne podujatia: Vzájomne exkluzívne akcie sú tie, ktoré sa nemôžu vyskytnúť súčasne. Napríklad, keď hodíme mincou, výsledkom bude buď hlava alebo chvost, ale nemôžeme získať oboje naraz.

Udalosti vo vzorci pravdepodobnosti

V teórii pravdepodobnosti udalosť predstavuje súbor možných výsledkov odvodených z experimentu. Často tvorí podmnožinu celkového vzorkového priestoru. Ak pravdepodobnosť udalosti E predstavíme ako P(E), platia nasledujúce zásady:

Keď je udalosť E nemožná, potom P(E) = 0.

Keď je udalosť E istá, potom P(E) = 1.

Pravdepodobnosť P(E) leží medzi 0 a 1.

Uvažujme dve udalosti, A a B. Pravdepodobnosť udalosti A, označenej ako P(A), ktorá je väčšia ako pravdepodobnosť udalosti B, P(B).

Pre konkrétnu udalosť E bude vzorec pravdepodobnosti:

P(E)= n(E)/ n(S)

Tu n (E) predstavuje počet výsledkov priaznivých pre udalosť E.

n(S) označuje celkový počet výsledkov v rámci priestoru vzorky.

Rôzne vzorce pravdepodobnosti

Rôzne vzorce pravdepodobnosti sú popísané nižšie:

Klasický vzorec pravdepodobnosti

P(A) = počet priaznivých výsledkov/celkový počet možných výsledkov

Vzorec pravidla sčítania

Keď sa zaoberáme udalosťou, ktorá je spojením dvoch samostatných udalostí, napríklad A a B, pravdepodobnosť spojenia bude:

P(A alebo B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Vzorec spoločnej pravdepodobnosti

Predstavuje spoločné prvky, ktoré tvoria odlišné podmnožiny udalostí A a B. Vzorec možno vyjadriť ako:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Pravidlo pridávania pre vzájomne sa vylučujúce podujatia

Ak sa udalosti A a B navzájom vylučujú, to znamená, že sa nemôžu stať v rovnakom čase, pravdepodobnosť výskytu ktorejkoľvek udalosti sa rovná súčtu ich príslušných pravdepodobností.

P(A alebo B)=P(A)+P(B)

Vzorec doplnkového pravidla

Ak je A udalosť, potom pravdepodobnosť, že nie A je, je vyjadrená komplementárnym pravidlom:

P(nie A) = 1 – P(A) alebo P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Niektoré vzorce pravdepodobnosti založené na nich sú nasledovné:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Vzorec podmieneného pravidla

V prípade, že výskyt udalosti A je už známy, nastane pravdepodobnosť udalosti B, ktorá sa označuje ako podmienená pravdepodobnosť. Dá sa vypočítať pomocou vzorca:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Pravdepodobnosť (podmienená) udalosti B, keď udalosť A nastala.

P (A/B): Pravdepodobnosť (podmienená) udalosti A, keď udalosť B nastala.

css zalomenie textu

Vzorec relatívnej frekvencie

Vzorec relatívnej frekvencie je založený na frekvenciách pozorovaných v údajoch z reálneho sveta. Tento vzorec je uvedený ako

P(A) = počet výskytov udalosti A/celkový počet pokusov alebo pozorovaní

Vzorec pravdepodobnosti s pravidlom násobenia

V situáciách, keď udalosť predstavuje súčasný výskyt dvoch ďalších udalostí, označených ako udalosti A a B, možno pomocou týchto vzorcov vypočítať pravdepodobnosť, že obe udalosti nastanú súčasne:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (v prípade nezávislých udalostí)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (v prípade závislých udalostí)

Nesúvislá udalosť

Disjunktné udalosti sú udalosti, ktoré sa nikdy nevyskytujú súčasne. Tieto udalosti sú známe aj ako vzájomne sa vylučujúce udalosti.

P(A∩B) = 0

Bayesova veta

Bayesova veta vypočíta pravdepodobnosť udalosti A pri výskyte udalosti B. Bayesova veta Vzorec je daný ako

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

učiť sa, Bayesova veta

Vzorec závislej pravdepodobnosti

Závislá pravdepodobnosť sú udalosti, ktoré sú ovplyvnené výskytom iných udalostí. Vzorec pre závislú pravdepodobnosť je,

P(B a A) = P(A)×P(B | A)

Vzorec nezávislej pravdepodobnosti

Nezávislá pravdepodobnosť sú udalosti, ktoré nie sú ovplyvnené výskytom iných udalostí. Vzorec pre nezávislú pravdepodobnosť je,

P(A a B) = P(A)×P(B)

Vzorec binominálnej pravdepodobnosti

Vzorec binomickej pravdepodobnosti je daný ako

P(x) = ⁿ C _X · p ^X (1 – p) ^n-x alebo P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^r (1 – p) ^n−r

Kde, n = celkový počet udalostí

r alebo x = Celkový počet úspešných udalostí.

p = Pravdepodobnosť úspechu v jedinom pokuse.

ⁿC_r= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Pravdepodobnosť zlyhania.

učiť sa, Binomické rozdelenie

Vzorec normálnej pravdepodobnosti

Vzorec normálnej pravdepodobnosti je daný:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

učiť sa, Normálna distribúcia

Vzorec experimentálnej pravdepodobnosti

Vzorec pre experimentálnu pravdepodobnosť je;

Pravdepodobnosť P(x) = počet výskytov udalosti / celkový počet pokusov.

Vzorec teoretickej pravdepodobnosti

Vzorec teoretickej pravdepodobnosti je,

P(x) = počet priaznivých výsledkov / počet možných výsledkov.

Vzorec pravdepodobnosti štandardnej odchýlky

Štandardný vzorec pravdepodobnosti odchýlky je uvedený ako

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernoulliho vzorec pravdepodobnosti

Náhodná premenná X bude mať Bernoulliho rozdelenie s pravdepodobnosťou p, vzorec je,

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1-x , pre x = 0, 1 a P(X = x) = 0 pre ostatné hodnoty x

Tu je 0 zlyhanie a 1 úspech.

učiť sa, Bernoulliho distribúcia

Trieda vzorca pravdepodobnosti 10

V triede 10 musíme študovať základnú pravdepodobnosť, ako je pravdepodobnosť hodenia mincou, hodenie 2 mincí, hodenie 3 mincí, hod kockou, hod dvoch kociek, pravdepodobnosť ťahania karty z dobre zamiešaného balíčka. Všetky tieto otázky možno vyriešiť iba jedným vzorcom. Vzorec pravdepodobnosti triedy 10 je uvedený ako

P(E) = n(E)/n(s)

Kde,

P(E) je pravdepodobnosť udalosti

n(E) je počet pokusov, v ktorých došlo k udalosti

n(S) je počet vzorového priestoru

Vzorec pravdepodobnosti pre triedu 12

Rôzne vzorce používané v triede pravdepodobnosti 12 sú uvedené v tabuľke nižšie:

Tiež skontrolujte

• Pravdepodobnosť hodu mincou
• Pravdepodobnosť karty
• Štatistické vzorce

Príklady na vzorec pravdepodobnosti

Príklad 1: Náhodne vyberte kartu zo štandardného balíčka. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia karty so ženskou tvárou?

Riešenie:

V štandardnom balíčku obsahujúcom 52 kariet: Celkový počet možných výsledkov = 52

Počet priaznivých udalostí (berúc do úvahy iba kráľovné ako ženské tváre) = 4

Preto sa pravdepodobnosť P(A) vypočíta pomocou vzorca:

P(A) = počet priaznivých výsledkov ÷ celkový počet výsledkov

= 4/52

= 1/13.

Príklad 2: Ak je pravdepodobnosť udalosti E, označená ako P(E) = 0,35, aká je pravdepodobnosť udalosti doplnku „nie E“?

Riešenie:

Vzhľadom na to, že P(E)=0,35, môžeme použiť doplnkový vzorec pravdepodobnosti:

P(E) + P(nie E) = 1

Nahradením známej hodnoty:

P(nie E) = 1 – P(E)

P (nie E) = 1 – 0,35

Preto P (nie E) = 0,65

Príklad 3: Nebezpečné požiare sú veľmi zriedkavé okolo 1 %, ale dym je pomerne bežný okolo 20 % v dôsledku grilovania. Nájdite nebezpečný oheň, keď 80% nebezpečných požiarov produkuje dym.

Riešenie:

Pravdepodobnosť nebezpečného požiaru, keď je dym pomocou Bayesovej vety:

P(oheň|dym) = {P(oheň)P(dymový požiar)}/P(dym)

hrubá bodka

P(Fire)=0,01(1%) a P(Dym|Fire)= 0,80 (80%), môžeme nahradiť tieto hodnoty:

P(oheň | dym)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Oheň | Dym)=0,018/0,30

(Oheň | Dym)= 0,06 = 6 %.

Príklad 4: Vo vrecku sú 2 zelené žiarovky, 4 oranžové žiarovky a 6 bielych žiaroviek. Keď sa žiarovka náhodne vyberie z vrecka, aká je pravdepodobnosť, že vyberiete zelenú alebo bielu žiarovku?

Riešenie:

Celkový počet žiaroviek vo vrecku je 2 zelené + 4 oranžové + 6 bielych = 12 žiaroviek

Počet zelených žiaroviek = 2 a počet bielych žiaroviek = 6

Pravdepodobnosť = (Počet zelených žiaroviek + Počet bielych žiaroviek) / Celkový počet žiaroviek

Pravdepodobnosť = (2+6)/12

Pravdepodobnosť = 8/12

Pravdepodobnosť = 2/3.

Cvičné otázky o vzorci pravdepodobnosti

Q1. Zo zbierky guličiek vo vrecku – 8 červených, 9 modrých a 6 zelených – sa náhodne vyberú dve guľôčky bez výmeny. Aká je pravdepodobnosť, že obe vybrané guľôčky sú modré?

Q2. V zásuvke obsahujúcej 6 čiernych pier, 4 modré perá a 7 červených pier sa náhodne vyžrebuje pero. Aká je pravdepodobnosť, že pero je čierne alebo modré?

Q3. Ťahaním jednej karty z dôkladne premiešaného balíčka 52 kariet určte pravdepodobnosť, že karta bude:

• Buď kráľom.
• Nebyť kráľom.

Q4. Podľa prieskumu si čokoládu pochutnáva 70 % jedincov a spomedzi tých čokoládových nadšencov má 60 % chuť aj na vanilku. Aká je pravdepodobnosť, že jednotlivec má rád vanilku vzhľadom na jeho záľubu v čokoláde?

Q5. Určte pravdepodobnosť hodu nepárneho čísla pri hode šesťstennou kockou.

Vzorec pravdepodobnosti – často kladené otázky

1. Čo je význam pravdepodobnosti?

Možnosť výskytu náhodnej udalosti je definovaná pravdepodobnosťou. Pravdepodobnosť je šanca na predpoveď.

2. Čo znamená vzorec pravdepodobnosti?

Vzorce pravdepodobnosti sa používajú pri určovaní možností udalosti vydelením počtu priaznivých výsledkov celkovými možnými výsledkami. Hodnota pravdepodobnosti leží v rozsahu 0 až 1, čo znamená, že priaznivé výsledky nemôžu prekročiť celkové výsledky a záporná hodnota priaznivých výsledkov nie je možná.

3. Aký je význam zápisu U a ∩ v pravdepodobnosti?

Symbol U v pravdepodobnosti označuje rovnomerné rozdelenie. Na druhej strane symbol ∩ označuje priesečník množín. Zjednodušene povedané, priesečník dvoch množín je najrozsiahlejšia množina zahŕňajúca všetky prvky zdieľané oboma množinami.

4. Aký je konvenčný vzorec na výpočet pravdepodobnosti?

Pravdepodobnosť udalosti = (počet priaznivých výsledkov) / (celkový počet možných výsledkov pre udalosť)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Tu P(A) znamená pravdepodobnosť udalosti A, kde n(E) je počet priaznivých výsledkov a n(S) je celkový počet možných výsledkov udalosti.

5. Čo je doplnkový vzorec?

Ak je A udalosť, potom pravdepodobnosť, že nie A je, je vyjadrená komplementárnym pravidlom:

P(nie A) = 1 – P(A) alebo P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Čo je nesúvislá udalosť?

Disjunktné udalosti sú udalosti, ktoré sa nikdy nevyskytujú súčasne. Tieto udalosti sú známe aj ako vzájomne sa vylučujúce udalosti.

P(A∩B) = 0.

7. Čo je Bayesova veta?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Bayesova veta počíta pravdepodobnosť udalosti A vzhľadom na výskyt udalosti B.

8. Čo je podmienený vzorec?

V prípade, že výskyt udalosti A je už známy, nastane pravdepodobnosť udalosti B, ktorá sa označuje ako podmienená pravdepodobnosť. Dá sa vypočítať pomocou vzorca:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Pravdepodobnosť (podmienená) udalosti B, keď udalosť A nastala.

P (A/B): Pravdepodobnosť (podmienená) udalosti A, keď udalosť B nastala.

9. Aké sú niektoré reálne príklady pravdepodobnosti?

Predpoveď počasia, kartové hry, politické hlasovanie, hry s kockami a hod mincou atď. sú niektoré príklady pravdepodobnosti