Bayesova veta sa používa na určenie podmienenej pravdepodobnosti udalosti. Bol pomenovaný po anglickom štatistikovi, Thomas Bayes ktorý objavil tento vzorec v roku 1763. Bayesova veta je veľmi dôležitá veta v matematike, ktorá položila základ jedinečného štatistického inferenčného prístupu nazývaného Bayesov záver. Používa sa na nájdenie pravdepodobnosti udalosti na základe predchádzajúcej znalosti podmienok, ktoré môžu súvisieť s touto udalosťou.

Napríklad, ak chceme nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vylosovaná biela gulička pochádza z prvého vreca za predpokladu, že biela gulička už bola vytiahnutá, a existujú tri vrecká, z ktorých každý obsahuje nejaké biele a čierne guľôčky, potom môžeme použiť Bayesovu vetu.

Tento článok skúma Bayesovu vetu vrátane jej tvrdenia, dôkazu, odvodenia a vzorca vety, ako aj jej aplikácie s rôznymi príkladmi.

css podčiarknutý text

Čo je Bayesova veta?

Bayesova veta (tiež známa ako Bayesovo pravidlo alebo Bayesov zákon) sa používa na určenie podmienenej pravdepodobnosti udalosti A, keď udalosť B už nastala.

Všeobecné tvrdenie Bayesovej vety je Podmienená pravdepodobnosť udalosti A pri výskyte inej udalosti B sa rovná súčinu udalosti B, danej A a pravdepodobnosti A vydelenej pravdepodobnosťou udalosti B. t.j.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

kde,

• P(A) a P(B) sú pravdepodobnosti udalostí A a B
• P(A|B) je pravdepodobnosť udalosti A, keď nastane udalosť B
• P(B|A) je pravdepodobnosť udalosti B, keď nastane A

Skontrolujte: Bayesova veta pre podmienenú pravdepodobnosť

Vyhlásenie Bayesovej vety

Bayesova veta pre n množinu udalostí je definovaná ako,

Nech E₁, AND₂,…, A_nbyť súborom udalostí spojených s priestorom vzorky S, v ktorom sú všetky udalosti E₁, AND₂,…, A_nmajú nenulovú pravdepodobnosť výskytu. Všetky udalosti E₁, AND₂,…, E tvoria delenie S. Nech A je udalosť z priestoru S, pre ktorú musíme nájsť pravdepodobnosť, potom podľa Bayesovej vety,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

pre k = 1, 2, 3, ..., n

Vzorec Bayesovej vety

Pre akékoľvek dve udalosti A a B je vzorec pre Bayesovu vetu daný takto: (obrázok uvedený nižšie uvádza vzorec Bayesovej vety)

Vzorec Bayesovej vety

kde,

• P(A) a P(B) sú pravdepodobnosti udalostí A a B tiež P(B) nikdy rovné nule.
• P(A|B) je pravdepodobnosť udalosti A, keď nastane udalosť B
• P(B|A) je pravdepodobnosť udalosti B, keď nastane A

Odvodenie Bayesovej vety

Dôkaz Bayesovej vety je daný ako, podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Potom pomocou pravidla násobenia pravdepodobnosti dostaneme

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Teraz, podľa vety o celkovej pravdepodobnosti,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Nahradením hodnoty P(E_i∩A) a P(A) z rovnice (ii) a rovnice (iii) v rovnici (i) dostaneme,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayesova veta je známa aj ako vzorec pre pravdepodobnosť príčin . Ako vieme, E _i 's sú oddielom vzorového priestoru S a v každom danom čase iba jednou z udalostí E _i vyskytuje. Dospeli sme teda k záveru, že vzorec Bayesovej vety udáva pravdepodobnosť konkrétneho E_ivzhľadom na to, že nastala udalosť A.

Termíny súvisiace s Bayesovou vetou

Keď sa podrobne zoznámime s Bayesovou vetou, pochopme niektoré dôležité pojmy súvisiace s pojmami, ktoré sme prebrali vo vzorci a odvodzovaní.

• hypotézy: Udalosti odohrávajúce sa vo vzorovom priestore A ₁ , AND ₂ ,… A _n sa nazýva hypotéza

• Predbežná pravdepodobnosť: Pravdepodobnosť priorít je počiatočná pravdepodobnosť udalosti, ktorá nastane predtým, ako sa zohľadnia akékoľvek nové údaje. P(E_i) je prioritná pravdepodobnosť hypotézy E_i.

• Zadná pravdepodobnosť: Posterior Probability je aktualizovaná pravdepodobnosť udalosti po zvážení nových informácií. Pravdepodobnosť P(E_i|A) sa považuje za zadnú pravdepodobnosť hypotézy E_i.

Podmienená pravdepodobnosť

• Pravdepodobnosť udalosti A na základe výskytu inej udalosti B sa nazýva podmienená pravdepodobnosť .
• Označuje sa ako P(A|B) a predstavuje pravdepodobnosť A, keď udalosť B už nastala.

Spoločná pravdepodobnosť

Keď sa meria pravdepodobnosť dvoch ďalších udalostí vyskytujúcich sa súčasne a súčasne, označí sa ako spoločná pravdepodobnosť. Pre dva javy A a B je to označené spoločnou pravdepodobnosťou je označené ako, P(A∩B).

Náhodné premenné

Premenné s reálnou hodnotou, ktorých možné hodnoty sú určené náhodnými experimentmi, sa nazývajú náhodné premenné. Pravdepodobnosť nájdenia takýchto premenných je experimentálna pravdepodobnosť.

Aplikácie Bayesovej vety

Bayesovská inferencia je veľmi dôležitá a našla uplatnenie v rôznych činnostiach vrátane medicíny, vedy, filozofie, inžinierstva, športu, práva atď. a Bayesovská inferencia je priamo odvodená z Bayesovej vety.

Príklad: Bayesov teorém definuje presnosť lekárskeho testu tým, že berie do úvahy, aká je pravdepodobnosť, že osoba bude mať ochorenie, a aká je celková presnosť testu.

Rozdiel medzi podmienenou pravdepodobnosťou a Bayesovou vetou

Rozdiel medzi podmienenou pravdepodobnosťou a Bayesovou vetou možno pochopiť pomocou tabuľky uvedenej nižšie,

Veta o úplnej pravdepodobnosti

Nech E₁, AND₂, . . ., A_nje vzájomne sa vylučujúce a vyčerpávajúce udalosti spojené s náhodným experimentom a E je udalosť, ktorá sa vyskytuje s nejakým E_i. Tak to dokáž

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 P(E/E _i ). P(E _j )

dôkaz:

Nech S je vzorový priestor. potom

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Jeden a E_i∩ E_j= ∅ pre i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Preto (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} sú párovo disjunktné}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_n). P(E_n) [vetou o násobení]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1P(E/E_i). P(E_i)

Články súvisiace s Bayesovou vetou

• Rozdelenia pravdepodobnosti
• Bayesova veta pre podmienenú pravdepodobnosť
• Permutácie a kombinácie
• Binomická veta

Záver – Bayesova veta

Bayesov teorém ponúka silný rámec na aktualizáciu pravdepodobnosti hypotézy na základe nových dôkazov alebo informácií. Zahrnutím predchádzajúcich znalostí a ich aktualizáciou pozorovanými údajmi umožňuje Bayesov teorém presnejšie a informovanejšie rozhodovanie v širokej škále oblastí vrátane štatistiky, strojového učenia, medicíny a financií. Jeho aplikácie siahajú od lekárskej diagnostiky a hodnotenia rizík až po filtrovanie spamu a spracovanie prirodzeného jazyka.

Pochopenie a aplikácia Bayesovho teorému nám umožňuje robiť lepšie predpovede, odhadovať neistoty a čerpať z údajov zmysluplné poznatky, čo v konečnom dôsledku zlepšuje našu schopnosť prijímať informované rozhodnutia v zložitých a neistých situáciách.

Skontrolujte tiež:

čo je zhlukovanie

• Bayesova veta v dolovaní údajov
• Bayesova veta v umelej inteligencii
• Bayesova veta v strojovom učení

Príklady Bayesovej vety

Príklad 1: Osoba prijala prácu. Pravdepodobnosť dokončenia práce načas s dažďom a bez dažďa je 0,44 a 0,95. Ak je pravdepodobnosť, že bude pršať, 0,45, potom určte pravdepodobnosť, že úloha bude dokončená včas.

Riešenie:

Nech E₁v prípade, že ťažobná práca bude dokončená včas a E₂v prípade, že prší. Máme,

P(A) = 0,45,

P(bez dažďa) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Podľa zákona násobenia pravdepodobnosti,

P(E₁) = 0,44 a P(E₂) = 0,95

Keďže udalosti A a B tvoria časti vzorového priestoru S, podľa vety o celkovej pravdepodobnosti máme

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Pravdepodobnosť, že úloha bude dokončená včas, je teda 0,7205

Príklad 2: Existujú tri urny obsahujúce 3 biele a 2 čierne gule; 2 biele a 3 čierne gule; 1 čierna a 4 biele gule. Pravdepodobnosť výberu každej urny je rovnaká. Jedna loptička je náhodne vybraná s rovnakou pravdepodobnosťou. aká je pravdepodobnosť, že sa vytiahne biela guľa?

Riešenie:

Nech E₁, AND₂a E₃byť udalosťami výberu prvej, druhej a tretej urny. potom

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3

Nech E je prípad, že sa vytiahne biela guľa. potom

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Podľa vety o úplnej pravdepodobnosti máme

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Príklad 3: Stratí sa karta z balíčka 52 kariet. Zo zostávajúcich kariet v balíčku sa vytiahnu dve karty a zistí sa, že obe sú srdce. nájdite pravdepodobnosť, že stratená karta je srdcom.

Riešenie:

Nech E₁, AND₂, AND_3,a E₄sú to udalosti straty sŕdc, palíc, pikov a diamantov.

Potom P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Nech E je udalosťou ťahania 2 sŕdc zo zostávajúcich 51 kariet. potom

P(E|E₁) = pravdepodobnosť vytiahnutia 2 sŕdc, ak chýba karta sŕdc

arraylist zoradené java

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = pravdepodobnosť vyžrebovania 2 palíc, ak chýba karta palíc

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = pravdepodobnosť ťahania 2 pikov, ak chýba karta srdca

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = pravdepodobnosť ťahania 2 diamantov, ak chýba karta s diamantmi

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

preto

P(E₁|E) = pravdepodobnosť, že stratená karta je srdce, ak sú 2 srdcia vytiahnuté zo zostávajúcich 51 kariet

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Požadovaná pravdepodobnosť je teda 0,22.

Príklad 4: Predpokladajme, že 15 mužov z 300 mužov a 25 žien z 1 000 sú dobrí rečníci. Rečník je vybraný náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že je vybraný muž. Predpokladajme, že existuje rovnaký počet mužov a žien.

Riešenie:

Gievn,

• Muži celkom = 300
• Celkový počet žien = 1 000
• Dobrí rečníci medzi mužmi = 15
• Dobrí rečníci medzi ženami = 25

Celkový počet dobrých rečníkov = 15 (od mužov) + 25 (od žien) = 40

Pravdepodobnosť výberu mužského rečníka:

P(Mužský rečník) = Počet rečníkov / celkový počet rečníkov = 15/40

Príklad 5: O mužovi je známe, že klame 1 zo 4 krát. Hodí kockou a hlási, že je to šestka. Nájdite pravdepodobnosť, ktorá je v skutočnosti šestka.

Riešenie:

V hode kockou, nech

A₁= udalosť získania šestky,

A₂= udalosť nedosiahnutia šestky a

E = prípad, že muž hlási, že ide o šestku.

Potom P(E₁) = 1/6 a P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = pravdepodobnosť, že muž nahlási, že šesť nastane, keď sa šestka skutočne vyskytla

⇒ P(E|E₁) = pravdepodobnosť, že muž hovorí pravdu

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = pravdepodobnosť, že muž nahlási, že šesť nastane, keď šesť v skutočnosti nenastalo

⇒ P(E|E₂) = pravdepodobnosť, že muž nehovorí pravdu

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Pravdepodobnosť získania šestky vzhľadom na to, že muž uvádza, že je šesť

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [podľa Bayesovej vety]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

čo je awt

⇒ P(E₁|E) = (1/8 x 3) = 3/8

Požadovaná pravdepodobnosť je teda 3/8.

Časté otázky o Bayesovej vete

Čo je Bayesova veta?

Bayesova veta, ako naznačuje názov, je matematická veta, ktorá sa používa na nájdenie pravdepodobnosti podmienenosti udalosti. Podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť udalosti, ktorá nastane v budúcnosti. Vypočítava sa na základe predchádzajúcich výsledkov udalostí.

Kedy sa používa Bayesova veta?

Bayesov teorém má širokú škálu aplikácií, najmä v oblastiach, ktoré sa zaoberajú aktualizáciou pravdepodobností na základe nových údajov. Bayesovo pravidlo vám umožňuje vypočítať zadná (alebo aktualizovaná) pravdepodobnosť. Používa sa na výpočet podmienenej pravdepodobnosti udalostí.

Aké sú niektoré kľúčové pojmy na pochopenie Bayesovej vety?

Niektoré z kľúčových pojmov sú:

• Predchádzajúca pravdepodobnosť (P(A))
• Zadná pravdepodobnosť (P(A | B))
• Pravdepodobnosť (P(B | A))
• Hraničná pravdepodobnosť (P(B))

Kedy použiť Bayesovu vetu?

Bayesov teorém je použiteľný, keď je daná podmienená pravdepodobnosť udalosti, používa sa na nájdenie opačnej pravdepodobnosti udalosti.

Ako sa Bayesova veta líši od podmienenej pravdepodobnosti?

Bayesova veta sa používa na definovanie pravdepodobnosti udalosti na základe predchádzajúcich podmienok udalosti. Zatiaľ čo Bayesov teorém používa podmienenú pravdepodobnosť na nájdenie opačnej pravdepodobnosti udalosti.

Aký je vzorec pre Bayesovu vetu?

Vzorec Bayesovej vety je vysvetlený nižšie,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)