Determinant matice 4×4: Determinant matice je základný koncept v lineárnej algebre, nevyhnutný na odvodenie jednej skalárnej hodnoty z matice. 4×4 je štvorcová matica so 4 riadkami a 4 stĺpcami, ktorej determinant možno nájsť pomocou vzorca, o ktorom budeme diskutovať.
Tento článok preskúma definíciu matice 4 × 4 a sprievodcu postupným procesom výpočtu determinantu matice 4 × 4. Okrem toho skúma praktické aplikácie tejto matematickej operácie.
Obsah
- Čo je determinant matice?
- Determinant matice 4×4
- Determinant maticového vzorca 4 × 4
- Determinant maticových príkladov 4×4
- Determinant 4×4 maticových praktických otázok
Čo je determinant matice?
The determinant matice je skalárna hodnota, ktorú možno vypočítať z prvkov a štvorcovú maticu . Poskytuje dôležité informácie o matici, ako napríklad, či je invertibilná a faktor škálovania lineárnych transformácií reprezentovaných maticou.
Rôzne metódy, ako napr kofaktor rozšírenie alebo zmenšenie riadkov, možno použiť na nájdenie determinantu matice v závislosti od veľkosti a štruktúry matice. Po vypočítaní je determinant označený symbolom det alebo zvislými čiarami obklopujúcimi maticu.
Determinant matice 4×4
Matica 4×4 je obdĺžnikové pole čísel usporiadaných do štyroch riadkov a štyroch stĺpcov. Každý prvok v matici je identifikovaný podľa pozície v riadku a stĺpci. Všeobecná forma matice 4×4 vyzerá takto:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
Kdeijpredstavuje prvok nachádzajúci sa v ithriadok a jthstĺpec matice.
S maticami 4×4 sa bežne stretávame v rôznych oblastiach, ako je počítačová grafika, fyzika, inžinierstvo a matematika. Používajú sa na reprezentáciu transformácií, riešenie systémov lineárnych rovníc a vykonávanie operácií v lineárnej algebre.
Vlastnosti matice 4×4
Tu sú niektoré vlastnosti matice 4×4 vysvetlené zjednodušene:
- Štvorcová matica: Matica 4×4 má rovnaký počet riadkov a stĺpcov, čo z nej robí štvorcovú maticu.
- Determinant: Determinant matice 4×4 možno vypočítať pomocou metód, ako je expanzia kofaktorov alebo redukcia riadkov. Poskytuje informácie o invertibilite matice a faktore mierky pre lineárne transformácie.
- Inverzná: Matica 4×4 je invertibilný ak je jeho determinant nenulový. Inverzná matica 4×4 umožňuje riešiť sústavy lineárnych rovníc a vrátiť späť transformácie reprezentované maticou.
- Transponovať: Transpozícia matice 4×4 sa získa výmenou jej riadkov a stĺpcov. Môže byť užitočný pri určitých výpočtoch a transformáciách.
- Vlastné hodnoty a vlastné vektory: Matice 4×4 je možné analyzovať a nájsť ich vlastné hodnoty a vlastné vektory , ktoré predstavujú vlastnosti matice pri lineárnych transformáciách.
- Symetria: V závislosti od konkrétnej matice môže vykazovať vlastnosti symetrie, ako je symetrická, šikmo symetrická alebo žiadna.
- Maticové operácie: Rôzne operácie, ako je sčítanie, odčítanie, násobenie a skalárne násobenie, je možné vykonávať s maticami 4×4 podľa špecifických pravidiel a vlastností.
Prečítajte si podrobne: Vlastnosti determinantov
Determinant maticového vzorca 4 × 4
Determinant ktorejkoľvek matice 4 × 4 t.j.
to (A) = a jedenásť · to (A jedenásť ) – a 12 · to (A 12 ) + a 13 · to (A 13 ) – a 14 · to (A 14 )
Kdeijoznačuje submaticu vypustením ithriadok a jthstĺpec.
Ako zistíte determinant matice 4 × 4?
Na nájdenie determinantu matice 4×4 môžete použiť rôzne metódy, ako je rozšírenie o neplnoleté osoby, zmenšenie riadkov alebo použitie špecifických vlastností.
Jednou z bežných metód je použitie rozšírenia podľa neplnoletých osôb, kde sa rozširujete pozdĺž riadka alebo stĺpca vynásobením každého prvku jeho kofaktorom a sčítaním výsledkov. Tento proces pokračuje rekurzívne, kým nedosiahnete podmaticu 2×2, pre ktorú môžete priamo vypočítať determinant. Aby ste pochopili, ako nájsť determinant matice 4×4, zvážte príklad.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Krok 1: Rozbaľte pozdĺž prvého riadku:
it(A) = 2 · it(A jedenásť ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )
Kdeijoznačuje submaticu získanú vymazaním i-tého riadku a j-tého stĺpca.
Krok 2: Vypočítajte determinant každej podmatice 3×3.
Prejedenásť
⇒ |Ajedenásť| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |Ajedenásť| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Ajedenásť| = 10 – 2 (-13) + 4
⇒ |Ajedenásť| = 10 + 26 + 4 = 40
Pre12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6 = 10
Pre13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2) (-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1) (8) + 2 (11)
⇒ |A13| = 8 + 22 = 30
Pre14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2) (-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1) (6) + 2 (11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Krok 3: Dosaďte determinanty podmatíc 3×3 do vzorca rozšírenia:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
Krok 4: Vypočítajte konečný determinant:
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
it(A) = 48
Takže determinant danej matice 4×4 je 48.
Tiež skontrolujte
- Determinant matice 2×2
- Determinant matice 3×3
Determinant maticových príkladov 4×4
Príklad 1: A =
Riešenie:
Prvý Rozbaliť pozdĺž prvého riadku:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Teraz vypočítajte determinant každej podmatice 3×3.
Pre jedenásť ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
binárny strom inorder traversal= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
Pre 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
Pre 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ))-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2) (6) – (1) (-14) + (3) (-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
Pre 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Teraz nahraďte determinanty podmatíc 3×3 do vzorca rozšírenia:
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Takže determinant matice (A) je 24.
Príklad 2: Vypočítajte determinant matice
Riešenie:
Na nájdenie determinantu matice ( A ) použijeme metódu rozšírenia podľa neplnoletých v prvom riadku:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Teraz vypočítajme determinanty podmatíc 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Teraz nahraďte tieto determinanty späť do vzorca rozšírenia:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Takže determinant matice ( A ) je det(A) = -120.
Príklad 3: Nájdite determinant matice B =
Riešenie:
Na nájdenie determinantu matice ( B ) použijeme metódu rozšírenia podľa neplnoletých v prvom riadku:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Teraz vypočítajme determinanty podmatíc 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Teraz nahraďte tieto determinanty späť do vzorca rozšírenia:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ čokoľvek
= 8 + 9 – 36 + 0
window.open javascript= -19
Takže determinant matice ( B ) je det(B) = -19
Determinant 4×4 maticových praktických otázok
Q1: Vypočítajte determinant nasledujúcej matice 4×4:
Q2: Nájdite determinant matice:
3. otázka: Vypočítajte determinant nasledujúcej matice 4×4:
Q4: Určte determinant matice:
5. otázka: Nájdite determinant matice:
Časté otázky o determinante matice 4×4
Ako zistíte determinant matice 4×4?
Na nájdenie determinantu matice 4×4 môžete použiť rôzne metódy, ako je rozšírenie kofaktora alebo techniky redukcie riadkov.
Čo je determinantom matice identity 4×4?
Determinant matice identity 4×4 je 1, keďže ide o špeciálny prípad, keď všetky diagonálne prvky sú 1 a zvyšok je 0.
Ako nájsť determinant matice 4×4 pomocou expanzie kofaktorov?
Určenie determinantu matice 4×4 pomocou expanzie kofaktora zahŕňa jej rozdelenie na menšie matice 3×3, použitie vzorca kofaktora a sčítanie produktov.
Aký je vzorec determinantu?
Vzorec pre determinant zahŕňa sčítanie súčinov prvkov a ich kofaktorov v každom riadku alebo stĺpci, berúc do úvahy ich znamienka.
Môže byť determinant negatívny?
Áno, determinanty môžu byť negatívne, pozitívne alebo nulové, v závislosti od konkrétnej matice a jej vlastností.
Môže mať matica 4×4 inverziu?
Matica 4×4 môže mať inverznú hodnotu, ak je jej determinant nenulový; inak je singulár a chýba mu inverzná.
Ako ukážete, že matica 4×4 je invertovateľná?
Ak chcete ukázať, že matica 4 × 4 je invertibilná, potvrďte, že jej determinant je nenulový, čo naznačuje existenciu inverznej funkcie, a na overenie invertibility použite ďalšie kritériá, ako je redukcia riadkov.