DETERMINANT MATICE 3×3

Determinant je základný koncept v lineárnej algebre, ktorý sa používa na nájdenie jednej skalárnej hodnoty pre danú maticu. Tento článok vysvetlí, čo je matica 3 × 3 a ako vypočítať determinant matice 3 × 3 krok za krokom, ako aj jej aplikácie. Či už ste študent, ktorý sa učí lineárnu algebru, alebo nadšenec, ktorý hľadá hlbšie pochopenie maticových operácií, pochopenie determinantu matice 3 × 3 je cennou zručnosťou, ktorú si musíte osvojiť.

Čo je determinant matice?

Determinant matice je jedno číslo vypočítané zo štvorcovej matice. V oblasti lineárnej algebry sa determinanty nachádzajú pomocou hodnôt v štvorcovej matici. Toto číslo funguje ako škálovací faktor, ktorý ovplyvňuje, ako sa matica transformuje. Determinanty sú cenné pri riešení systémov lineárnych rovníc, hľadaní inverznej matice a rôznych matematických operácií.

Čo je matica 3 × 3?

Matica 3 × 3 je a matice v ktorej sa počet riadkov a stĺpcov rovná 3. Keďže počet riadkov a stĺpcov je rovnaký, 3 × 3 je štvorcová matica rádu 3 × 3. Matica je ako tabuľka zložená z čísel usporiadaných do riadkov a stĺpcov. Používa sa na ukladanie a prácu s údajmi v matematike a iných oblastiach. Zatiaľ čo matica 3 × 3 je špecifický typ matice, ktorá pozostáva z troch riadkov a troch stĺpcov. Môže byť reprezentovaný ako:

3 × 3 Matica

Vlastnosti matice 3 × 3

Podobne ako iné matice, aj matice 3 × 3 majú niektoré dôležité vlastnosti.

Štvorcová matica : Matica 3 × 3 má tri riadky a tri stĺpce, čo z nej robí štvorcovú maticu.

Determinant: Matica 3 × 3 má determinant, číselnú hodnotu rozhodujúcu pre riešenie rovníc a hľadanie inverzných hodnôt.

Násobenie matice: Maticu 3 × 3 môžete vynásobiť inou maticou, ak sa počet stĺpcov v prvej matici zhoduje s počtom riadkov v druhej matici.

Inverzná: Matica 3 × 3 môže mať inverznú hodnotu, ak je jej determinant nenulový. Inverzná matica po vynásobení pôvodnou maticou poskytne maticu identity.

Determinant maticového vzorca 3 × 3

Na výpočet determinantu matice existujú rôzne metódy. Najbežnejším prístupom je rozdelenie danej matice 3 × 3 na menšie determinanty 2 × 2. To zjednodušuje proces hľadania determinantu a je široko používané v lineárnej algebre.

Zoberme si štvorcovú maticu 3 × 3, ktorá je napísaná ako,

Na výpočet determinantu matice A, t.j. |A|.

Rozbaľte maticu pozdĺž prvkov prvého riadku.

preto

Ako zistíte determinant matice 3 × 3?

Pochopme výpočet matice 3 × 3 na príklade. Pre nižšie uvedenú maticu 3 × 3.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Krok 1: Vyberte referenčný riadok alebo stĺpec

Vyberte riadok a stĺpec na začiatok, predpokladajme, že v tomto príklade vezmeme prvý prvok (2) ako referenciu na výpočet determinantu matice 3 × 3.

Takže rozšírenie pozdĺž riadku R₁

odstrániť

Krok 2: Prečiarknite riadok a stĺpec

Odstráňte vybraný riadok a stĺpec, aby ste ho zjednodušili v matici 2 × 2.

2×2 Matrix

Krok 3: Nájdite determinant matice 2 × 2

Nájdite determinant matice 2 × 2 pomocou vzorca

Determinant = (a × d) – (b × c)

Krížové násobenie

Tu a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

vložením týchto hodnôt do vyššie uvedeného vzorca determinantu dostaneme

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant matice 2 × 2 = 1

Krok 4: Vynásobte vybraným prvkom

Vynásobte determinant matice 2 × 2 vybraným prvkom z referenčného riadku (čo je v tomto prípade 2, 1 a 3):

prvý prvok = 2 × 1 = 2

Krok 5: Zopakujte tento postup pre druhý prvok vo vybranom referenčnom riadku

Pre druhý prvok

Nájdite determinant pre druhý prvok 1 vložením hodnôt matice 2×2 do vzorca

Determinant = (a × d) – (b × c)

Tu a = 4, b = 1, c = 2, d = 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Teraz vynásobte determinant matice 2 × 2 vybraným prvkom z referenčného riadku (čo je v tomto prípade 1):

druhý prvok = 1 × 6 = 6

Krok 6: Zopakujte tento postup pre tretí prvok vo vybranom referenčnom riadku

Pre Tretí Element

Nájdite determinant pre tretí prvok 3 vložením hodnôt matice 2×2 do vzorca

Determinant = (a × d) – (b × c)

Tu a = 4, b = 0, c = 2, d = -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

chyba: nepodarilo sa nájsť alebo načítať hlavnú triedu

Teraz vynásobte determinant matice 2×2 vybraným prvkom z referenčného riadku (čo je v tomto prípade 3):

druhý prvok = 3 × (-4) = -12

Krok 7: Použitie vzorca

Spočítajte všetky výsledky z kroku 4, 5 a 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 je determinant matice 3 × 3.

Aplikácia determinantu matice 3 × 3

Determinant matice možno použiť na nájdenie inverznej a vyriešenie systému lineárnych rovníc. Preto sa naučíme nájsť inverznú maticu 3 × 3 a tiež vyriešiť systém lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla, ktoré zahŕňa použitie determinantu matice 3 × 3.

Inverzná matica 3 × 3

Vzorec na nájdenie inverznej hodnoty štvorcovej matice A je:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Kde,

A-1 je inverzná k matici A .
Det(A) predstavuje determinant matice A.
adj(A) znamená adjugát matice A

Zjednodušene povedané, môžete postupovať podľa týchto krokov a nájsť inverznú maticu:

Krok 1. Vypočítajte determinant matice A.

Krok 2. Nájdite adjugát matice A.

Krok 3. Vynásobte každý prvok v adjugáte 1/det(A).

Tento vzorec sa používa pre štvorcové matice (matice s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov) a predpokladá, že determinant je nenulový, čo je nevyhnutná podmienka, aby matica mala inverznú hodnotu.

Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo poskytuje vzorec na riešenie systému lineárnych rovníc pomocou determinantov. Pre sústavu lineárnych rovníc s n premennými sú uvedené v tvare

AX=B

Kde,

A = Koeficient štvorcovej matice
X = Stĺpcová matica s premennými
B = Stĺpcová matica s konštantami

Zvážte nasledujúci systém lineárnych rovníc

a₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

a₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

a_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Premenné x, y, z, … sa určujú pomocou nasledujúcich vzorcov:

x = D_X/D
y = D_a/D
z = D_S/D

Kde:

D je determinant matice koeficientov.
D_Xje determinant matice získaný nahradením koeficientov x konštantami na pravej strane.
D_aje determinant matice získaný nahradením koeficientov y
D_Sje determinant matice získaný nahradením koeficientov z

Cramerovo pravidlo je použiteľné, keď determinant matice koeficientov D je nenulový. Ak D = 0, nemožno použiť pravidlo, ktoré v závislosti od konkrétneho prípadu naznačuje buď žiadne riešenie, alebo nekonečne veľa riešení.

Tiež skontrolujte

Typy matíc
Systém lineárnych rovníc s tromi premennými
Maticové operácie

Determinant 3 × 3 maticovo vyriešených príkladov

Príklad 1: Nájdite determinant matice A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant A = 2 (4×2 – 5×6) – 3 (0×2 – 5×1) + 1 (0×6 – 4×1)

⇒ Determinant A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant A =-44+11

∴ Determinant A t.j. |A| = (-33)

Príklad 2: Nájdite determinant matice B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Detrminant B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1 (0×1 – 3×4)

⇒ Determinant B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinant B =6-12

⇒ Determinant B = (-6)

∴ Determinant B t.j. |B| = 6

Príklad 3: Nájdite determinant matice C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant matice C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant C = 3 (8-0) – 1 (0-10) + 2 (0-4)

⇒ Determinant C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant C = 26

∴ Determinant C t.j. |C| = 26

Príklad 4: Vyriešte daný systém rovníc pomocou Cramerovho pravidla

2x + 3r – z = 7
4x – 2r + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Riešenie:

Krok 1: Najprv nájdite Determinant D matice koeficientov.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

O riešení tohto determinantu D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10
výpis java

⇒ D= -19

Krok 2: Teraz nájdite determinanty D_X,D_aa D_S

Pre D_X, nahradíme koeficienty x konštantami na pravej strane:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Pre D_a, nahradíme koeficienty y konštantami:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Pre D_S, nahradíme koeficienty z konštantami:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

O riešení determinantu D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_X= -49 + 42 + 28

Teda D_X= 21

O riešení determinantu D_a

D_a= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_a= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_a= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_a= -68 + 14 + 24

⇒ D_a= -30

O riešení determinantu D_S

D_S= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_S= 2 (4 + 6) – 3 (-8 + 10) – 7 (12 + 2)

⇒ D_S= 2 (10) – 3 (2) – 7 (14)

⇒ D_S= 20 – 6 – 98

⇒ D_S= -84

Krok 3: Teraz zadajte hodnoty D, D_X, D_aa D_Svo vzorci Carmer's Rule, aby ste našli hodnoty x, y a z.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_a/D = (-30)/(-19)

z = D_S/D = (-84)/(-19)

Cvičné otázky o determinante matice 3 × 3

Q1. Vypočítajte determinant matice identity:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Nájdite determinant matice:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Určte determinant matice:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Vypočítajte determinant matice:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Nájdite determinant matice:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Určte determinant matice:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}