Vlastné hodnoty a vlastné vektory sú skalárne a vektorové veličiny, s ktorými sú spojené Matrix používa sa na lineárnu transformáciu. Vektor, ktorý sa nemení ani po aplikácii transformácií, sa nazýva vlastný vektor a skalárna hodnota pripojená k vlastným vektorom sa nazýva Vlastné hodnoty . Vlastné vektory sú vektory, ktoré sú spojené so súborom lineárnych rovníc. Pre maticu sa vlastné vektory nazývajú aj charakteristické vektory a môžeme nájsť vlastný vektor iba štvorcových matíc. Vlastné vektory sú veľmi užitočné pri riešení rôznych problémov matíc a diferenciálnych rovníc.

V tomto článku sa na príkladoch dozvieme o vlastných hodnotách, vlastných vektoroch pre matice a iných.

Obsah

• Čo sú vlastné hodnoty?
• Čo sú vlastné vektory?
• Vlastná vektorová rovnica
• Čo sú vlastné hodnoty a vlastné vektory?
• Ako nájsť vlastný vektor?
• Typy vlastných vektorov
• Pravý vlastný vektor
• Ľavý vlastný vektor
• Vlastné vektory štvorcovej matice
• Vlastný vektor matice 2 × 2
• Vlastný vektor matice 3 × 3
• Vlastný priestor
• Aplikácie vlastných hodnôt
• Diagonalizácia matice pomocou vlastných hodnôt a vlastných vektorov
• Vyriešené príklady na vlastných vektoroch
• Často kladené otázky o vlastných vektoroch

Čo sú vlastné hodnoty?

Vlastné hodnoty sú skalárne hodnoty spojené s vlastnými vektormi v lineárnej transformácii. Slovo „Eigen“ je nemeckého pôvodu, čo znamená „charakteristický“. Ide teda o charakteristickú hodnotu, ktorá udáva faktor, ktorým sú vlastné vektory natiahnuté v ich smere. Nezahŕňa zmenu smeru vektora okrem prípadu, keď je vlastná hodnota záporná. Keď je vlastná hodnota záporná, smer sa jednoducho obráti. Rovnica pre vlastnú hodnotu je daná vzťahom

Vypnuté = λv

Kde,

• A je matica,
• v je pridružený vlastný vektor a
• λ je skalárna vlastná hodnota.

Čo sú vlastné vektory?

Vlastné vektory pre štvorcové matice sú definované ako nenulové vektorové hodnoty, ktoré po vynásobení štvorcovými maticami dávajú škálovací násobok vektora, t. j. vlastný vektor pre maticu A definujeme ako v, ak špecifikuje podmienku, Vypnuté = λv

odstráňte vyrovnávaciu pamäť npm

Násobok škálovača λ vo vyššie uvedenom prípade sa nazýva vlastná hodnota štvorcovej matice. Vždy musíme najskôr nájsť vlastné hodnoty štvorcovej matice a až potom nájsť vlastné vektory matice.

Pre ľubovoľnú štvorcovú maticu A rádu n × n je vlastným vektorom stĺpcová matica rádu n × 1. Ak nájdeme vlastný vektor matice A by, Av = λv, v v tomto sa nazýva pravý vlastný vektor matice A a vždy sa násobí na pravú stranu, keďže maticové násobenie nemá komutatívny charakter. Vo všeobecnosti, keď nájdeme vlastný vektor, je to vždy správny vlastný vektor.

Ľavý vlastný vektor štvorcovej matice A môžeme nájsť aj pomocou vzťahu, vA = vl

Tu je v ľavý vlastný vektor a vždy sa násobí na ľavú stranu. Ak je matica A rádu n × n, potom v je stĺpcová matica rádu 1 × n.

Vlastná vektorová rovnica

Rovnica vlastného vektora je rovnica, ktorá sa používa na nájdenie vlastného vektora ľubovoľnej štvorcovej matice. Rovnica vlastného vektora je,

Vypnuté = λv

Kde,

• A je daná štvorcová matica,
• v je vlastný vektor matice A, a
• l je násobok akéhokoľvek scaleru.

Čo sú vlastné hodnoty a vlastné vektory?

Ak A je a štvorcovú maticu rádu n × n potom môžeme ľahko nájsť vlastný vektor štvorcovej matice podľa nižšie uvedenej metódy,

Vieme, že vlastný vektor je daný pomocou rovnice Av = λv, pre identitnú maticu rádu rovnakého rádu ako A, t.j. n × n použijeme nasledujúcu rovnicu,

(A-AI)v = 0

Vyriešením vyššie uvedenej rovnice dostaneme rôzne hodnoty λ ako λ₁, l₂, ..., l_ntieto hodnoty sa nazývajú vlastné hodnoty a dostávame jednotlivé vlastné vektory súvisiace s každou vlastnou hodnotou.

Zjednodušením vyššie uvedenej rovnice dostaneme v, čo je stĺpcová matica rádu n × 1 a v je napísané ako,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Ako nájsť vlastný vektor?

Vlastný vektor nasledujúcej štvorcovej matice možno ľahko vypočítať pomocou krokov uvedených nižšie,

Krok 1: Nájdite vlastné hodnoty matice A pomocou rovnice det |(A – λI| =0, kde I je matica identity poriadku podobná matici A

Krok 2: Hodnoty získané v kroku 2 sú pomenované ako λ₁, l₂, l₃….

Krok 3: Nájdite vlastný vektor (X) spojený s vlastnou hodnotou λ₁pomocou rovnice (A – λ₁I) X = 0

Krok 4: Opakujte krok 3, aby ste našli vlastný vektor spojený s ostatnými zostávajúcimi vlastnými hodnotami λ₂, l₃….

Po týchto krokoch získate vlastný vektor týkajúci sa danej štvorcovej matice.

Typy vlastných vektorov

Vlastné vektory vypočítané pre štvorcovú maticu sú dvoch typov, a to:

• Pravý vlastný vektor
• Ľavý vlastný vektor

Pravý vlastný vektor

Vlastný vektor, ktorý je vynásobený danou štvorcovou maticou z pravej strany, sa nazýva pravý vlastný vektor. Vypočíta sa pomocou nasledujúcej rovnice,

OF _R = λV _R

Kde,

• A je daná štvorcová matica rádu n×n,
• l je jednou z vlastných hodnôt a
• V _R je stĺpcová vektorová matica

Hodnota V_Rje,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Ľavý vlastný vektor

Vlastný vektor, ktorý je vynásobený danou štvorcovou maticou z ľavej strany, sa nazýva ľavý vlastný vektor. Vypočíta sa pomocou nasledujúcej rovnice,

V _L A = V _L l

Kde,

• A je daná štvorcová matica rádu n×n,
• l je jednou z vlastných hodnôt a
• V _L je riadková vektorová matica.

Hodnota V_Lje,

V _L = [v ₁ , v ₂ , v ₃ ,…, v _n ]

Vlastné vektory štvorcovej matice

Ľahko nájdeme vlastný vektor štvorcových matíc rádu n × n. Teraz nájdime nasledujúce štvorcové matice:

• Vlastné vektory matice 2 × 2
• Vlastné vektory matice 3 × 3.

Vlastný vektor matice 2 × 2

Vlastný vektor matice 2 × 2 možno vypočítať pomocou vyššie uvedených krokov. Príkladom toho istého je,

Príklad: Nájdite vlastné hodnoty a vlastný vektor pre maticu A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Riešenie:

Ak sú vlastné hodnoty reprezentované pomocou λ a vlastný vektor je reprezentovaný ako v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Potom sa vlastný vektor vypočíta pomocou rovnice,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1 (λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

A = 6 a A = -1

Vlastné hodnoty sú teda 6 a -1. Potom príslušné vlastné vektory sú,

Pre λ = 6

(A-AI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Zjednodušením vyššie uvedenej rovnice dostaneme,

5a = 2b

Požadovaný vlastný vektor je,

otázky java interview

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Pre λ = -1

(A-AI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

zjednodušením vyššie uvedenej rovnice dostaneme,

a = -b

Požadovaný vlastný vektor je,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Potom sú vlastné vektory danej matice 2 × 2egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Toto sú dva možné vlastné vektory, ale mnohé zo zodpovedajúcich násobkov týchto vlastných vektorov možno považovať aj za iné možné vlastné vektory.

Vlastný vektor matice 3 × 3

Vlastný vektor matice 3 × 3 možno vypočítať pomocou vyššie uvedených krokov. Príkladom toho istého je,

Príklad: Nájdite vlastné hodnoty a vlastný vektor pre maticu A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Riešenie:

Ak sú vlastné hodnoty reprezentované pomocou λ a vlastný vektor je reprezentovaný ako v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Potom sa vlastný vektor vypočíta pomocou rovnice,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Zjednodušením vyššie uvedeného determinantu dostaneme

⇒ (2-l) (l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Pre λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Zjednodušením vyššie uvedenej rovnice dostaneme

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Nech b = k₁a c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Vlastný vektor je teda

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

brať k₁= 1 a k₂= 0

vlastný vektor je,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

brať k₁= 0 a k₂= 1

vlastný vektor je,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Pre λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Zjednodušením vyššie uvedenej rovnice dostaneme,

-4a + 2b + 2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Nech b = k₁a c = k₂, a pričom k₁= k₂= 1,

dostaneme,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Vlastný vektor je teda

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Vlastný priestor

Vlastný priestor matice definujeme ako množinu všetkých vlastných vektorov matice. Všetky vektory vo vlastnom priestore sú na sebe lineárne nezávislé.

Aby sme našli vlastný priestor matice, musíme postupovať podľa nasledujúcich krokov

Krok 1: Nájdite všetky vlastné hodnoty danej štvorcovej matice.

Krok 2: Pre každú vlastnú hodnotu nájdite zodpovedajúci vlastný vektor.

Krok 3: Vezmite množinu všetkých vlastných vektorov (povedzme A). Takto vytvorená výsledná množina sa nazýva vlastný priestor nasledujúceho vektora.

ex používateľského mena

Z vyššie uvedeného príkladu danej matice A 3 × 3 je takto vytvorený vlastný priestor {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Aplikácie vlastných hodnôt

Niektoré z bežných aplikácií vlastných hodnôt sú:

Lineárna algebra

Diagonalizácia: Vlastné hodnoty sa používajú na diagonalizáciu matíc, čím sa zjednodušujú výpočty a efektívnejšie sa riešia lineárne systémy.

Umocňovanie matice: Vlastné hodnoty hrajú kľúčovú úlohu pri výpočte umocňovania matice.

Kvantová mechanika

Schrödingerova rovnica: Vlastné hodnoty Hamiltonovho operátora zodpovedajú energetickým hladinám kvantových systémov, poskytujúc informácie o možných stavoch.

Vibrácie a štrukturálna analýza:

Mechanické vibrácie: Vlastné hodnoty predstavujú vlastné frekvencie vibračných systémov. V štruktúrnej analýze pomáhajú pochopiť stabilitu a správanie štruktúr.

Štatistiky

Kovariančná matica: V multivariačnej štatistike sa vlastné hodnoty používajú pri analýze kovariančných matíc, ktoré poskytujú informácie o šírení a orientácii údajov.

Počítačová grafika

Analýza hlavných komponentov (PCA): Vlastné hodnoty sa v PCA používajú na nájdenie hlavných komponentov súboru údajov, čím sa znižuje rozmernosť pri zachovaní základných informácií.

Riadiace systémy

Stabilita systému: Vlastné hodnoty matice systému sú rozhodujúce pri určovaní stability riadiaceho systému. Analýza stability pomáha zaistiť, že odozva systému je ohraničená.

Diagonalizácia matice pomocou vlastných hodnôt a vlastných vektorov

Vlastné hodnoty a vlastné vektory sa používajú na nájdenie diagonálnych matíc. A diagonálna matica je matica, ktorú možno zapísať ako,

A = XDX ^-1

Kde,

• D je matica, ktorá sa vytvorí nahradením 1 v matici identity vlastnými hodnotami a
• X je matica tvorená vlastnými vektormi.

Koncept diagonálnej matice môžeme pochopiť na nasledujúcom príklade.

Príklad: Diagonalizujte maticu A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Riešenie:

Už sme riešili vlastné hodnoty a vlastné vektory A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Vlastné hodnoty A sú λ = 0, λ = 0 a λ = -8

Vlastné vektory A súegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

teda

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Môžeme ľahko nájsť inverznú hodnotu X ako,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Čítaj viac,

• Základná operácia s maticami
• Matica identity
• Inverzná matica

Vyriešené príklady na vlastných vektoroch

Príklad 1: Nájdite vlastné vektory matice A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Riešenie:

Vlastné hodnoty matice sa nachádzajú pomocou,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Vlastné hodnoty sú teda

A = 1, 1, 1

Keďže všetky vlastné hodnoty sú rovnaké, máme tri rovnaké vlastné vektory. Nájdeme vlastné vektory pre λ = 1 pomocou (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

vyriešením vyššie uvedenej rovnice dostaneme,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Potom je vlastný vektor,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Príklad 2: Nájdite vlastné vektory matice A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Riešenie:

získať aktuálny dátum v jave

Vlastné hodnoty matice sa nachádzajú pomocou,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Vlastné hodnoty sú teda

A = 5,5

Keďže všetky vlastné hodnoty sú rovnaké, máme tri rovnaké vlastné vektory. Nájdeme vlastné vektory pre λ = 1 pomocou

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Jednoducho povedané, dostaneme

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Potom je vlastný vektor,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Často kladené otázky o vlastných vektoroch

Čo sú vlastné vektory?

Vlastný vektor ľubovoľnej matice definujeme ako vektor, ktorý po vynásobení maticou vedie k násobku škálovača matice.

Ako nájsť vlastné vektory?

Vlastný vektor ľubovoľnej matice A označíme v . Vlastný vektor matice sa vypočíta tak, že sa najprv nájde vlastná hodnota matice.

• Vlastná hodnota matice sa zistí pomocou vzorca |A-λI| = 0, kde λ udáva vlastné hodnoty.
• Po nájdení vlastnej hodnoty sme našli vlastný vektor podľa vzorca, Av = λv, kde v udáva vlastný vektor.

Aký je rozdiel medzi vlastnou hodnotou a vlastným vektorom?

Pre ľubovoľnú štvorcovú maticu A sú vlastné hodnoty reprezentované λ a vypočíta sa podľa vzorca |A – λI| = 0. Po nájdení vlastnej hodnoty nájdeme vlastný vektor podľa, Av = λv.

Čo je to diagonalizovateľná matica?

Akákoľvek matica, ktorú možno vyjadriť ako súčin troch matíc ako XDX^-1je diagonalizovateľná matica tu D sa nazýva diagonálna matica.

Sú vlastné hodnoty a vlastné vektory rovnaké?

Nie, vlastné hodnoty a vlastné vektory nie sú rovnaké. Vlastné hodnoty sú škálovač, ktorý sa používa na nájdenie vlastných vektorov, zatiaľ čo vlastné vektory sú vektory, ktoré sa používajú na nájdenie transformácií maticového vektora.

Môže byť vlastný vektor nulovým vektorom?

Môžeme mať vlastné hodnoty nulové, ale vlastný vektor nemôže byť nikdy nulový vektor.

Čo je vzorec Eigenvectors?

Vlastný vektor ľubovoľnej matice sa vypočíta pomocou vzorca,

Vypnuté = λv

kde,
l je vlastná hodnota
v je vlastný vektor