Goniometrická substitúcia je jedna zo substitučných metód integrácie, kde sa funkcia alebo výraz v danom integráli nahrádza goniometrickými funkciami ako sin, cos, tan atď. Integrácia substitúciou je najjednoduchšia substitučná metóda.

Používa sa, keď robíme substitúciu funkcie, ktorej derivácia je už zahrnutá v danej integrálnej funkcii. Tým sa funkcia zjednoduší a získa sa jednoduchá integrálna funkcia, ktorú môžeme ľahko integrovať. Je tiež známy ako u-substitúcia alebo pravidlo reverzného reťazca. Alebo inými slovami, pomocou tejto metódy môžeme ľahko vyhodnotiť integrály a primitívne derivácie.

Trigonometrická substitúcia

Čo je to trigonometrická substitúcia?

Goniometrická substitúcia je proces, pri ktorom prebieha substitúcia goniometrickej funkcie do iného výrazu. Používa sa na vyhodnotenie integrálov alebo je to metóda na hľadanie primitívnych derivátov funkcií, ktoré obsahujú odmocniny kvadratických výrazov alebo racionálne mocniny tvarufrac{p}{2} (kde p je celé číslo) kvadratických výrazov. Príklady takýchto výrazov sú

({x^2+4})^frac{3}{2} alebosqrt{25-x^2} alebo atď.

Metódu trigonometrickej substitúcie možno použiť vtedy, keď zlyhali iné bežnejšie a ľahšie použiteľné metódy integrácie. Goniometrická substitúcia predpokladá, že poznáte štandardné goniometrické identity, používanie diferenciálnej notácie, integráciu pomocou u-substitúcie a integráciu goniometrických funkcií.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Tu budeme diskutovať o niektorých dôležitých vzorcoch v závislosti od funkcie, ktorú potrebujeme integrovať, na zjednodušenie integrácie nahradíme jeden z nasledujúcich trigonometrických výrazov:

∫cosx dx = sinx + C

učiť selén

∫sinx dx = −cosx + C

∫s²x dx = tanx + C

∫kosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Prečítajte si podrobne: Počet v matematike

Kedy použiť trigonometrickú substitúciu?

Trigonometrickú substitúciu používame v nasledujúcich prípadoch:

Ako použiť metódu trigonometrickej náhrady?

Môžeme použiť trigonometrickú substitučnú metódu, ako je uvedené nižšie,

Integrálne s a²- X²

Zoberme si príklad integrálu zahŕňajúci a²- X².

Príklad: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Povedzme, že x = a sinθ

príkaz java if

⇒ dx = a cosθ dθ

Teda ja =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

As, x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrálne s x ² + a ²

Zoberme si príklad integrálu zahŕňajúci x²+ a².

Príklad: Nájdite integrál old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Dajme x = tanθ

⇒ dx = a sek2θ dθ, dostaneme

Teda ja =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

As, x = tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrálne s a ² + x ² .

Zoberme si príklad integrálu zahŕňajúci a²+ x².

Príklad: Nájdite integrál z old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Povedzme, že x = tanθ

⇒ dx = sek²θ dθ

Teda ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integrálne s x ² – a ² .

Zoberme si príklad integrálu zahŕňajúci x²– a².

Príklad: Nájdite integrál z old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Povedzme, že x = sekundaθ

⇒ dx = a sekθ tanθ dθ

negácia diskrétna matematika

Teda ja =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Čítaj viac,

• Integračné vzorce
• Integrácia substitúciou
• Integrácia podľa častí

Ukážkové problémy goniometrickej substitúcie

Úloha 1: Nájdite integrál z old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Ak vezmeme 5 spoločných v menovateľovi,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Podľa vety 1 platí a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Úloha 2: Nájdite integrál z old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Ak vezmeme √2 spoločného menovateľa,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Podľa vety 1 je a = 2

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Úloha 3: Nájdite integrál z old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Preskupením dostaneme

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Tu platí, že a = 3 a x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Nahradením týchto hodnôt,

Ja =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Vezmime,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Nahradením týchto hodnôt dostaneme

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ a x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ v =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ v =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Preto I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

cast string to int

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Úloha 4: Nájdite integrál z old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Ak vezmeme 9 spoločného menovateľa,

Ja =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Podľa vety 2 platí a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Úloha 5: Nájdite integrál z old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Riešenie:

Ak vezmeme 4 spoločné v menovateli,

čo je android easter egg

Ja =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Podľa vety 3 platí a =frac{5}{4}

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Úloha 6: Nájdite integrál z old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Riešenie:

Ak vezmeme 2 spoločné v menovateli,

Ja =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

Ja =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Podľa vety 4 platí a =frac{3}{2}

Ja =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

Ja =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

Ja =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

Ja =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

Ja =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Úloha 7: Nájdite integrál z old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Riešenie:

Po preusporiadaní dostaneme

Ja =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

Ja =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

Ja =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

Ja =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Podľa vety 2 máme

x = x-frac{1}{2} a =frac{sqrt{3}}{2}

Ja =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

Ja =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrická substitúcia – často kladené otázky

Čo je to trigonometrická substitúcia?

Trigonometrická substitúcia je technika integrácie používaná na riešenie integrálov zahŕňajúcich výrazy s radikálmi a odmocninami, ako je √(x²+ a²), √ (a²+ x²) a √(x²– a²).

Kedy by som mal použiť trigonometrickú substitúciu?

Trigonometrická substitúcia je užitočná, keď máte integrál, ktorý zahŕňa radikálny výraz, najmä ak radikálový výraz obsahuje kvadratický výraz.

Aké sú tri trigonometrické substitúcie bežne používané v integráloch?

Tri bežne používané trigonometrické substitúcie sú:

• Dosaďte x = a sin θ, keď radikálový výraz obsahuje člen v tvare a²- X².
• Nahraďte x = tan θ, keď radikálový výraz obsahuje člen v tvare x²– a².
• Dosaďte x = a sec θ, keď radikálový výraz obsahuje člen v tvare x²+ a².

Ako si niekto vyberie, ktorú trigonometrickú náhradu použije?

Trigonometrickú substitúciu by ste si mali zvoliť na základe formy radikálneho výrazu. Ak radikálový výraz obsahuje člen v tvare a^2 – x^2, použite x = a sin θ. Ak radikálový výraz obsahuje člen v tvare x^2 – a^2, použite x = tan θ. Ak radikálový výraz obsahuje člen v tvare x^2 + a^2, použite x = a sec θ.