logo

TechCodeview

Integračné vzorce

Integračné vzorce sú základné vzorce, ktoré sa používajú na riešenie rôznych integrálnych problémov. Používajú sa na nájdenie integrácie algebraických výrazov, goniometrických pomerov, inverzných goniometrických funkcií a logaritmických a exponenciálnych funkcií. Tieto integračné vzorce sú veľmi užitočné pri hľadaní integrácie rôznych funkcií.

Integrácia je inverzný proces diferenciácie, t.j. ak d/dx (y) = z, potom ∫zdx = y. Integrácia ľubovoľnej krivky dáva plochu pod krivkou. Integráciu nájdeme dvoma metódami Neurčitá integrácia a Jednoznačná integrácia. Pri neurčitej integrácii neexistuje obmedzenie integrácie, zatiaľ čo pri určitej integrácii existuje hranica, pod ktorou je funkcia integrovaná.



Dozvieme sa o nich integrálne vzorce, a ich klasifikácia, podrobne v tomto článku.

Obsah

Integrálny počet

Integrálny počet je odvetvie počtu, ktoré sa zaoberá teóriou a aplikáciami integrálov. Proces hľadania integrálov sa nazýva integrácia. Integrálny počet pomáha pri hľadaní anti-derivátov funkcie. Anti-deriváty sa tiež nazývajú integrály funkcie. Označuje sa tým ∫f(x)dx. Integrálny počet sa zaoberá celkovou hodnotou, ako sú dĺžky, plochy a objemy. Integrál možno použiť na nájdenie približných riešení určitých rovníc daných údajov. Integrálny počet zahŕňa dva typy integrácie:



  • Na neurčito Integrály
  • Jednoznačné integrály

Čo sú to integračné vzorce?

Integračné vzorce boli vo všeobecnosti prezentované ako nasledujúce súbory vzorcov. Vzorce zahŕňajú základné integračné vzorce, integráciu goniometrických pomerov, inverzné goniometrické funkcie, súčin funkcií a niektoré pokročilé sady integračných vzorcov. Integrácia je spôsob, ako spojiť časti, aby sa našiel celok. Je to inverzná operácia diferenciácie. Základný integračný vzorec teda znie

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integračné vzorce



Pomocou toho sa odvodia nasledujúce integračné vzorce.

Rôzne vzorce integrálneho počtu sú

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logto je|x| + C
  4. ∫eXdx = eX+ C
  5. ∫aXdx = (aX/ logto jea) + C

Viac o integrálnych vzorcoch sa diskutuje nižšie v článku,

Poznámka:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , kde k je konštanta
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Základné integračné vzorce

Niektoré zo základných vzorcov integrácie, ktoré sa používajú na riešenie integračných problémov, sú uvedené nižšie. Sú odvodené zo základnej integračnej vety. Zoznam základných integrálnych vzorcov je uvedený nižšie:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ aXdx = eX+ C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ aX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {kde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klasifikácia integrálnych vzorcov

Integrálne vzorce sú rozdelené do rôznych kategórií na základe nasledujúcej funkcie.

  • Racionálne funkcie
  • Iracionálne funkcie
  • Hyperbolické funkcie
  • Inverzné hyperbolické funkcie
  • Goniometrické funkcie
  • Inverzné goniometrické funkcie
  • Exponenciálne funkcie
  • Logaritmické funkcie

Integračné vzorce goniometrických funkcií

Integračné vzorce goniometrických funkcií sa používajú na riešenie integrálnych rovníc zahŕňajúcich goniometrické funkcie. Zoznam integrálnych vzorcov zahŕňajúcich goniometrické a inverzné goniometrické funkcie je uvedený nižšie,

  • ∫ cos x dx = hriech x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = tan x + C
  • ∫ kosec2x dx = - detská postieľka x + C
  • ∫ sek x tan x dx = sek x + C
  • ∫ cosec x postieľka x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| +C
  • ∫ detská postieľka x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sek x dx = log | sek x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – detská postieľka x| + C

Integračné vzorce inverzných goniometrických funkcií

Nižšie sú uvedené rôzne integračné vzorce inverzných goniometrických funkcií, ktoré sa používajú na riešenie integrálnych otázok,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = hriech-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = detská postieľka-1x + C
  • ∫ 1/x√ (x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = kosec-1x + C

Pokročilé integračné vzorce

Niektoré ďalšie pokročilé integračné vzorce, ktoré sú veľmi dôležité pre riešenie integrálov, sú diskutované nižšie,

  • ∫1/(x2– a2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2- X2) dx = 1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2– a2)dx = log |x +√(x2– a2)| + C
  • ∫ √ (x2– a2) dx = x/2 √(x2– a2) -a2/2 log |x + √(x2– a2)| + C
  • ∫1/√(a2- X2) dx = hriech-1x/a + C
  • ∫√ (a2- X2) dx = x/2 √(a2- X2) dx + a2/2 bez-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √ (x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Rôzne integračné vzorce

Na riešenie rôznych typov integrálnych otázok sa používajú rôzne typy integračných metód. Každá metóda je štandardným výsledkom a možno ju považovať za vzorec. Niektoré z dôležitých metód sú popísané nižšie v tomto článku. Pozrime sa na tri dôležité integračné metódy.

  • Integrácia podľa vzorca častí
  • Integrácia pomocou substitučného vzorca
  • Integrácia pomocou vzorca čiastočných zlomkov

Integrácia podľa vzorca častí

Integrácia podľa častí Vzorec sa používa, keď je daná funkcia ľahko opísaná ako súčin dvoch funkcií. Integrácia podľa časticového vzorca používaná v matematike je uvedená nižšie,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Príklad: Vypočítajte ∫ xe X dx

Riešenie:

∫ autoXdx má tvar ∫ f(x) g(x) dx

nech f(x) = x a g(x) = eX

vieme, že ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ autoXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= autoX- To jeX+ c

Integrácia pomocou substitučného vzorca

Integrácia pomocou substitučného vzorca sa použije, keď je funkcia funkciou inej funkcie. t. j. nech I = ∫ f(x) dx, kde x = g(t) tak, že dx/dt = g'(t), potom dx = g'(t)dt

teraz I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Príklad: Ohodnotiť ∫ (4x +3) 3 dx

Riešenie:

Nech u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

vstup java

= 1/4 ∫ (u)3z

= 1/4. v4/5

= u4/dvadsať

= 4x ​​+3)4/dvadsať

Integrácia pomocou vzorca čiastočných zlomkov

Integrácia čiastočnými zlomkami Vzorec sa používa, keď sa vyžaduje integrál P(x)/Q(x) a P(x)/Q(x) je nesprávny zlomok, takže stupeň P(x) je menší ako (<) stupeň Q(x), potom sa zlomok P(x)/Q(x) zapíše ako

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

kde

  • R(x) je polynóm v x
  • P 1 (x)/ Q(x) je správna racionálna funkcia

Teraz integrácia R(x) + P1(x)/ Q(x) sa jednoducho vypočíta pomocou vyššie uvedených vzorcov.

Aplikácia integrálov

Integrálne vzorce sú veľmi užitočné vzorce v matematike, ktoré sa používajú pri rôznych úlohách. Rôzne aplikácie integrálov zahŕňa:

  • Nájdenie dĺžky krivky
  • Nájdenie oblasti pod krivkou
  • Nájdenie približných hodnôt funkcie
  • Určenie dráhy objektu a iné
  • Ak chcete nájsť oblasť pod krivkou
  • Na nájdenie plochy a objemu nepravidelných tvarov
  • Ak chcete nájsť ťažisko alebo ťažisko

Tieto vzorce sú v zásade rozdelené do dvoch kategórií,

  • Definitívne integračné vzorce
  • Neurčité integračné vzorce

Definitívny integračný vzorec

Definitívne integrálne vzorce sa používajú, keď je daná limita integrácie. Pri definitívnej integrácii je riešením otázky konštantná hodnota. Vo všeobecnosti sa definitívna integrácia rieši takto:

∫ a b f(x) dx = F(b) – F(a)

Vzorec neurčitej integrácie

Vzorce neurčitej integrácie sa používajú na riešenie neurčitej integrácie, keď nie je daná hranica integrácie. Pri neurčitej integrácii používame integračnú konštantu, ktorá sa všeobecne označuje ako C

∫f(x) = F(x) + C

  • Neurčité integrály
  • Definujte integrálne vlastnosti
  • Integrácia goniometrických funkcií

Príklady integrálnych vzorcov

Príklad 1: Vyhodnoťte

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫ (1/sin 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Riešenie:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3) + 1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4) (x4/3) + C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ logto je3) + C [ ∫a X dx = (a X / log to je a) + C]

(v) ∫4e X dx

= 4°eXdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , kde k je konštanta]

= 4 aX+ C [∫e X dx = e X + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x. sek x dx [ ∫tan x .sec x dx = sek x + C]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫kosek2x dx [∫kosek 2 x dx = -postieľka x + C ]

= - detská postieľka x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22- X2)] dx [vieme, že dx = hriech -1 (x/a) + C]

= bez-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [vieme, žeintfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a) s-1(x/a) + C]

= (1/3) s-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ hriech x) dx

= ∫kosec x dx [vieme, že ∫cosec x dx = log |cosec x – detská postieľka x| + C]

= log |cosec x – detská postieľka x| + C

Príklad 2: Vyhodnoťte ∫{e 9log to je X + a 8log to je X }/{To je 6log to je X + a 5log to je X } dx

Riešenie:

keďže to je trasenie to je X = x a

∫{e 9log to je X + a 8log to je X }/{To je 6log to je X + a 5log to je X } dx

= ∫{x9+ x8}/{X6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/X5dx

= ∫x3dx [vieme, že ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Príklad 3: Vyhodnoťte ∫ sin x + cos x dx

Riešenie:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [vieme, že ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [vieme, že ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Príklad 4: Vyhodnoťte ∫4 x+2 dx

Riešenie:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ vieme, že∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , kde k je konštanta]

= 16∫ 4Xdx [∫a X dx = (a X / log to je a) + C]

= 16 (4X/log 4) + C

Príklad 5: Vyhodnoťte ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Riešenie:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫x0dx [Vieme to, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Príklad 6: Vyhodnoťte ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Riešenie:

1 + cos 2x = 2 cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 s2xdx

= 2 sek2x dx [Vieme, že ∫sek 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Príklad 7: Vyhodnoťte ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Riešenie:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sekúnd 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5s2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, kde k je konštanta]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫s2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Cvičné problémy s integračnými vzorcami

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Časté otázky o integračných vzorcoch

Čo sú všetky integračné vzorce?

Integračné vzorce sú vzorce, ktoré sa používajú na riešenie rôznych integračných problémov,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ aXdx = eX+ C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ aX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {kde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Aké sú integračné vzorce UV?

Integračný vzorec UV je,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Čo znamená integrácia v matematike?

Ak je derivácia funkcie g(x) f(x), potom integrácia funkcie f(x) je g(x), t.j. ∫f(x)dx = g(x). Integrácia je znázornená symbolom ∫

Ako sa integrujeme pomocou integračných vzorcov?

Integráciu je možné dosiahnuť pomocou vzorcov,

  • Definujte malú časť objektu v určitých rozmeroch, z ktorých sa nekonečným sčítaním vytvorí celý objekt.
  • Použitím integračných vzorcov nad touto malou časťou pozdĺž rôznych rozmerov dostaneme úplný objekt.

Čo je integrálny vzorec podľa časti?

Integrálny vzorec po častiach sa používa na riešenie integrálu, kde je uvedený nesprávny zlomok.

Aké je použitie integračných vzorcov?

Integračné vzorce sa používajú na riešenie rôznych integrálnych problémov. Rôzne problémy, s ktorými sa stretávame v každodennom živote, sa dajú ľahko vyriešiť pomocou integrácie, ako je nájdenie ťažiska akéhokoľvek objektu, nájdenie trajektórie rakety, rakiet, lietadiel a iné.