Integrácia podľa častí: Integrácia podľa častí je technika používaná v počte na nájdenie integrálu súčinu dvoch funkcií. Je to v podstate obrátenie produktového pravidla pre diferenciáciu.

Integrácia funkcie nie je vždy jednoduchá, niekedy musíme integrovať funkciu, ktorá je násobkom dvoch alebo viacerých funkcií, v tomto prípade, ak máme nájsť integráciu, musíme použiť integráciu podľa konceptu časti, ktorá využíva dva produkty dvoch funkcií a nám hovorí, ako nájsť ich integráciu.

Teraz sa poďme dozvedieť o Integrácia podľa častí, jej vzorec, odvodenie a ďalšie podrobne v tomto článku.

Čo je integrácia podľa častí?

Integrácia podľa časti je technika používaná na nájdenie integrácie produktu dvoch alebo viacerých funkcií, kde integráciu nemožno vykonať pomocou bežných techník. Predpokladajme, že máme dve funkcie f(x) a g(x) a musíme nájsť integráciu ich súčinu t.j. ∫ f(x).g(x) dx, kde už nie je možné ďalej riešiť súčin tohto súčinu. f(x).g(x).

Táto integrácia sa dosiahne pomocou vzorca:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kde f'(x) je prvá diferenciácia f(x).

Tento vzorec sa číta takto:

Integrácia prvej funkcie vynásobená druhou funkciou sa rovná (prvá funkcia) vynásobená (integrácia druhej funkcie) – integrácia (diferenciácia prvej funkcie vynásobená integráciou druhej funkcie).

Z vyššie uvedeného vzorca môžeme ľahko vypozorovať, že výber prvej funkcie a druhej funkcie je veľmi dôležitý pre úspech tohto vzorca a o tom, ako zvolíme prvú funkciu a druhú funkciu, sa budeme zaoberať ďalej v tomto článku.

Čo je čiastočná integrácia?

Čiastočná integrácia, známa aj ako integrácia podľa častí, je technika používaná v počte na vyhodnotenie integrálu súčinu dvoch funkcií. Vzorec pre čiastočnú integráciu je daný:

∫ u dv = uv – ∫ v du

kde u a v sú diferencovateľné funkcie x. Tento vzorec nám umožňuje zjednodušiť integrál súčinu jeho rozdelením na dva jednoduchšie integrály. Cieľom je vybrať u a dv tak, aby sa nový integrál na pravej strane dal ľahšie vyhodnotiť ako pôvodný integrál na ľavej strane. Táto technika je užitočná najmä pri práci s produktmi funkcií, ktoré nemajú jednoduché primitívne deriváty.

História čiastočnej integrácie

Koncept integrácie podľa časti prvýkrát navrhol slávny Brook Taylor vo svojej knihe v roku 1715. Napísal, že môžeme nájsť integráciu súčinu dvoch funkcií, ktorých diferenciačné vzorce existujú. Niektoré dôležité funkcie nemajú integračné vzorce a ich integrácia sa dosiahne pomocou integrácie tak, že sa čiastočne vezmú ako súčin dvoch funkcií. Napríklad ∫ln x dx nemožno vypočítať pomocou bežných integračných techník. Môžeme to však integrovať pomocou techniky Integration by part a brať to ako súčin dvoch funkcií, čiže ∫1.ln x dx.

Vzorec integrácie podľa častí

Vzorec integrácie podľa častí je vzorec, ktorý nám pomáha dosiahnuť integráciu súčinu dvoch alebo viacerých funkcií. Predpokladajme, že musíme integrovať súčin dvoch funkcií ako

∫u.v dx

kde u a v sú funkcie x, potom to možno dosiahnuť pomocou,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Poradie výberu prvej funkcie a druhej funkcie je veľmi dôležité a koncept používaný vo väčšine prípadov na nájdenie prvej funkcie a druhej funkcie je koncept ILATE.

Pomocou vyššie uvedeného vzorca a konceptu ILATE môžeme ľahko nájsť integráciu súčinu dvoch funkcií. Vzorec integrácie podľa časti je znázornený na obrázku nižšie,

Odvodenie vzorca integrácie podľa častí

Integrácia podľa častí Vzorec je odvodený pomocou súčinového pravidla diferenciácie. Predpokladajme, že máme dve funkcie v a v a x potom sa získa derivát ich produktu pomocou vzorca,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Teraz odvodíme vzorec integrácie podľa častí pomocou súčinového pravidla diferenciácie.

Preusporiadanie podmienok

pomocou internetu

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrácia oboch strán vzhľadom na x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

zjednodušovanie,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Tak je odvodený vzorec integrácie podľa častí.

Pravidlo ILATE

Pravidlo ILATE nám hovorí o tom, ako zvoliť prvú funkciu a druhú funkciu pri riešení integrácie súčinu dvoch funkcií. Predpokladajme, že máme dve funkcie x u a v a musíme nájsť integráciu ich súčinu, potom si vyberieme prvú funkciu a pravidlo by ILATE.

Úplná forma ILATE je diskutovaná na obrázku nižšie,

ILATE Pravidlo čiastočnej integrácie

Pravidlá ILATE nám dávajú hierarchiu prevzatia prvej funkcie, t. j. ak v danom súčine funkcie je jedna funkcia logaritmická funkcia a ďalšia funkcia je goniometrická funkcia. Teraz zoberieme logaritmickú funkciu ako prvú funkciu, ako sa nachádza vyššie v hierarchii pravidla ILATE podobne, podľa toho zvolíme prvú a druhú funkciu.

POZNÁMKA: Nie vždy je vhodné použiť pravidlo ILATE, niekedy sa na nájdenie prvej a druhej funkcie používajú aj iné pravidlá.

Ako nájsť integráciu podľa časti?

Integrácia podľa časti sa používa na nájdenie integrácie súčinu dvoch funkcií. Môžeme to dosiahnuť pomocou krokov uvedených nižšie,

Predpokladajme, že musíme zjednodušiť ∫uv dx

Krok 1: Vyberte prvú a druhú funkciu podľa pravidla ILATE. Predpokladajme, že vezmeme u ako prvú funkciu a v ako druhú funkciu.

Krok 2: Diferencujte u(x) vzhľadom na x, tj. Vyhodnoťte du/dx.

Krok 3: Integrujte v(x) vzhľadom na x, tj. Vyhodnoťte ∫v dx.

Použite výsledky získané v kroku 1 a kroku 2 vo vzorci,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Krok 4: Zjednodušte vyššie uvedený vzorec, aby ste získali požadovanú integráciu.

Opakovaná integrácia po častiach

Opakovaná integrácia podľa častí je rozšírením techniky integrácie podľa častí v kalkulácii. Používa sa, keď máte produkt funkcií, ktorý vyžaduje viacnásobnú integráciu na nájdenie primitívnej funkcie. Proces zahŕňa opakovanú aplikáciu vzorca integrácie podľa častí, až kým nedosiahnete bod, v ktorom sa výsledný integrál dá ľahko vyhodnotiť alebo má známu formu.

Pri opakovanom použití tohto vzorca by ste začali s integrálom, ktorý zahŕňa súčin dvoch funkcií, a potom by ste použili integráciu po častiach, aby ste ho rozdelili na jednoduchšie integrály. Potom by ste pokračovali v tomto procese na výsledných integráloch, až kým nedosiahnete bod, kde nie sú potrebné ďalšie aplikácie alebo kde sa integrály stanú zvládnuteľnými.

Tu je krok za krokom príklad toho, ako funguje opakovaná integrácia podľa častí:

alya manasa

1. Začnite s integrálom súčinu dvoch funkcií: ∫ u dv.
2. Použite vzorec integrácie podľa častí a získajte: uv – ∫ v du.
3. Ak nový integrál získaný na pravej strane stále obsahuje súčin funkcií, znova použite integráciu po častiach, aby ste ho ďalej rozdelili.
4. Pokračujte v tomto procese, kým nezískate jednoduchší integrál, ktorý sa dá ľahko vyhodnotiť, alebo taký, ktorý sa zhoduje so známou formou integrálu.

Tabuľková integrácia podľa častí

Tabuľková integrácia, známa aj ako tabuľková metóda alebo metóda tabuľkovej integrácie, je alternatívna technika na hodnotenie integrálov, ktorá zahŕňa opakované použitie integrácie po častiach. Táto metóda je obzvlášť užitočná pri práci s integrálmi, kde je možné súčin funkcií integrovať viackrát, aby sa dosiahol jednoduchý výsledok.

Tabuľková metóda organizuje proces opakovanej integrácie podľa častí do tabuľky, čím uľahčuje sledovanie pojmov a efektívne zjednodušuje integráciu. Tabuľková metóda funguje takto:

1. Začnite zapisovaním funkcií zahrnutých do integrálu do dvoch stĺpcov: jeden pre funkciu na deriváciu (u) a druhý pre funkciu na integráciu (dv).
   • Začnite s funkciou integrácie (dv) v ľavom stĺpci a funkciou diferenciácie (u) v pravom stĺpci.
2. Pokračujte v diferencovaní funkcie v stĺpci u, kým nedosiahnete nulu alebo konštantu. V každom kroku integrujte funkciu do stĺpca dv, až kým nedosiahnete bod, kedy už nie je potrebná ďalšia integrácia.
3. Vynásobte výrazy diagonálne a striedajte znamienka (+ a -) pre každý výraz. Zhrňte tieto produkty a nájdite výsledok integrácie.

Tu je príklad na ilustráciu tabuľková integračná metóda :

Vypočítajme integrál ∫x sin(x) dx.

• Krok 1: Vytvorte tabuľku s dvoma stĺpcami pre u (funkcia na diferencovanie) a dv (funkcia na integráciu):

• Krok 2: Diferencujte funkciu v stĺpci u a integrujte funkciu v stĺpci dv:

• Krok 3: Vynásobte pojmy diagonálne a striedajte znamienka:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Takže výsledok integrálu ∫x sin(x) dx je -x cos(x) + sin(x).

Metóda tabuľkovej integrácie je obzvlášť užitočná pri práci s integrálmi, ktoré zahŕňajú funkcie, ktoré sa opakujú pri diferenciácii alebo integrácii, čo umožňuje systematický a organizovaný prístup k hľadaniu primitívnej derivácie.

Aplikácie integrácie podľa častí

Integrácia podľa častí má rôzne aplikácie v integrálnom počte, používa sa na nájdenie integrácie funkcie tam, kde bežné integračné techniky zlyhajú. Integráciu inverzných a logaritmických funkcií môžeme ľahko nájsť pomocou konceptu integrácie po častiach.

Nájdeme integráciu logaritmickej funkcie a arktanovej funkcie pomocou integrácie podľa časti pravidla,

Integrácia logaritmickej funkcie (log x)

Integrácia inverznej logaritmickej funkcie (log x) sa dosiahne pomocou vzorca integrácie podľa časti. O integrácii sa hovorí nižšie,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Ak vezmeme log x ako prvú funkciu a 1 ako druhú funkciu.

Použitie ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Čo je požadovaná integrácia logaritmickej funkcie.

Integrácia inverznej goniometrickej funkcie (tan^-1X)

Integrácia inverznej goniometrickej funkcie (tan^-1x) sa dosiahne pomocou vzorca Integrácia podľa časti. O integrácii sa hovorí nižšie,

∫ tak^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Opálenie^-1x ako prvá funkcia a 1 ako druhá funkcia.

Použitie ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. tak^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. tak^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Čo je požadovaná integrácia inverznej goniometrickej funkcie.

Reálne aplikácie čiastočnej integrácie

Niektoré z bežných aplikácií čiastočnej integrácie v reálnom živote sú:

• Hľadanie antiderivátov
  • V inžinierstve a fyzike sa čiastočná integrácia používa na hľadanie primitívnych derivátov funkcií, ktoré predstavujú fyzikálne veličiny. Napríklad v mechanike sa používa na odvodenie pohybových rovníc z rovníc sily a zrýchlenia.
• Produkt Wallis
  • Wallisov produkt, nekonečná reprezentácia produktu pí, možno odvodiť pomocou techník čiastočnej integrácie. Tento produkt má aplikácie v oblastiach ako teória čísel, teória pravdepodobnosti a spracovanie signálov.
• Identita funkcie gama
  • Funkcia gama, ktorá rozširuje faktorovú funkciu na komplexné čísla, má rôzne aplikácie v matematike, fyzike a inžinierstve. Čiastočná integrácia sa používa na preukázanie identít zahŕňajúcich funkciu gama, ktoré sú kľúčové v oblastiach ako teória pravdepodobnosti, štatistická mechanika a kvantová mechanika.
• Použitie v harmonickej analýze
  • Čiastočná integrácia hrá významnú úlohu v harmonickej analýze, najmä vo Fourierovej analýze. Používa sa na odvodenie vlastností Fourierových transformácií, ako je konvolučný teorém a vlastnosti Fourierových radov. Tieto výsledky sa aplikujú v oblastiach ako spracovanie signálu, analýza obrazu a telekomunikácie.

Integrácia podľa vzorcov častí

Integráciu rôznych funkcií môžeme odvodiť pomocou konceptu integrácie po častiach. Niektoré z dôležitých vzorcov odvodených pomocou tejto techniky sú

• ∫ a^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√ (x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√ (x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) – a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√ (a²- X²).dx = ½ . x.√(a²- X²) + a²/2. bez^-1x/a + C

Príklady integrácie podľa častí

Príklad 1: Nájdite ∫ e ^X x dx.

Riešenie:

Nech I = ∫ e^Xx dx

Výber u a v pomocou pravidla ILATE

u = x
v = e^X

Rozlišovanie u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = e^X

Pomocou vzorca Integrácia podľa časti

⇒ I = ∫ e^Xx dx

⇒ I = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ e^Xdx) dx

⇒ I = xe^X− a^X+ C

⇒ I = e^X(x - 1) + C

Príklad 2: Vypočítajte ∫ x sin x dx.

Riešenie:

Nech I = ∫ x sin x dx

Výber u a v pomocou pravidla ILATE

u = x
v = hriech x

Rozlišovanie u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Pomocou vzorca Integrácia podľa časti

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

písmo gimp

Príklad 3: Nájdite ∫ sin ⁻¹ x dx.

Riešenie:

Nech I= ∫ hreším⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.hriech⁻¹x dx

Výber u a v pomocou pravidla ILATE

u = hriech⁻¹X
v = 1

Rozlišovanie u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x)/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Pomocou vzorca Integrácia podľa časti

⇒ I = ∫ hriech⁻¹x dx

np.nuly

⇒ I = bez⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√ (1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x hriech⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²))dx

Nech, t = 1 − x²

Rozlišovanie oboch strán

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ hriech⁻¹x dx = x hriech⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x hriech⁻¹x + 1/2 t^−1/2dt

⇒ I = x hriech⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x hriech⁻¹x + √(1 − x²) + C

Cvičné problémy s integráciou po častiach

1. Integrujte xe ^X

2. Integrácia x sin(x)

3. Integrujte x ² ln(x)

4. Integrujte e ^X cos(x)

5. Integrujte ln(x)

Časté otázky o integrácii podľa častí

Čo je integrácia po častiach?

Integrácia podľa častí je technika na nájdenie integrácie súčinu dvoch funkcií tam, kde bežné techniky integrácie zlyhajú. Integrácia podľa vzorca časti je,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Čo je integrácia podľa vzorca častí?

Pre dve funkcie f(x) a g(x) je integrácia podľa časticového vzorca:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

kde f'(x) je diferenciácia f(x).

Ako odvodiť integráciu podľa vzorca častí?

Integrácia podľa časticového vzorca je odvodená pomocou súčinového pravidla diferenciácie.

Prečo používame vzorec integrácie podľa častí?

Vzorec integrácie podľa časti sa používa na nájdenie integrácie funkcie, keď zlyhajú bežné techniky diferenciácie. Integráciu inverzných goniometrických funkcií a logaritmických funkcií môžeme nájsť pomocou integrácie podľa časticového vzorca

Aká je aplikácia integrácie po častiach?

Integrácia podľa časti má rôzne aplikácie a jej základná aplikácia spočíva v tom, že sa používa na nájdenie integrácie funkcie, keď je funkcia daná ako súčin funkcií, ktoré nemožno ďalej zjednodušiť. Napríklad ∫ f(x).g(x) dx sa dosiahne pomocou integrácie po častiach.