Štandardná odchýlka je mierou rozptylu štatistík. Vzorec štandardnej odchýlky sa používa na nájdenie odchýlky hodnoty údajov od strednej hodnoty, t. j. používa sa na nájdenie rozptylu všetkých hodnôt v súbore údajov k strednej hodnote. Na výpočet štandardnej odchýlky náhodnej premennej existujú rôzne vzorce smerodajnej odchýlky.

V tomto článku sa dozvieme o čo je štandardná odchýlka, vzorce pre štandardnú odchýlku, ako vypočítať štandardnú odchýlku a podrobné príklady štandardnej odchýlky.

Obsah

• Čo je štandardná odchýlka?
• Definícia štandardnej odchýlky
• Vzorec štandardnej odchýlky
• Vzorec na výpočet smerodajnej odchýlky
• Ako vypočítať smerodajnú odchýlku?
• Čo je variance
• Rozdiel medzi odchýlkou ​​a odchýlkou
• Variačný vzorec
• Ako vypočítať rozptyl?
• Štandardná odchýlka nezoskupených údajov
• Štandardná odchýlka diskrétnych zoskupených údajov
• Štandardná odchýlka súvislých zoskupených údajov
• Štandardná odchýlka rozdelenia pravdepodobnosti
• Štandardná odchýlka náhodných premenných
• Príklad vzorca pre štandardnú odchýlku
• Vzorec pre štandardnú odchýlku Excel
• Štatistika vzorca pre štandardnú odchýlku

Čo je štandardná odchýlka?

Štandardná odchýlka je definovaná ako stupeň rozptylu dátového bodu k strednej hodnote dátového bodu. Hovorí nám, ako sa mení hodnota dátových bodov od strednej hodnoty dátového bodu a hovorí nám o variácii dátového bodu vo vzorke dát.

Štandardná odchýlka danej vzorky súboru údajov je tiež definovaná ako druhá odmocnina rozptyl súboru údajov. Stredná odchýlka z n hodnôt (povedzme x₁, X₂, X₃, …, X_n) sa vypočíta tak, že sa zoberie súčet druhých mocnín rozdielu každej hodnoty z priemeru, t.j.

Stredná odchýlka = 1/n∑ _i ⁿ (X _i - X) ²

Stredná odchýlka nám hovorí o rozptyle údajov. Nižší stupeň odchýlky nám hovorí, že pozorovania xi sú blízke strednej hodnote a depresia je nízka, zatiaľ čo vyšší stupeň odchýlky nám hovorí, že pozorovania xi sú ďaleko od strednej hodnoty a rozptyl je vysoký.

koľko je 10 zo 60

Definícia štandardnej odchýlky

Smerodajná odchýlka je miera používaná v štatistike na pochopenie toho, ako sú dátové body v množine rozložené od priemerný hodnotu. Označuje rozsah variácií údajov a ukazuje, ako ďaleko sa jednotlivé údajové body líšia od priemeru.

Skontrolujte: Ako nájsť štandardnú odchýlku v štatistike?

Vzorec štandardnej odchýlky

Smerodajná odchýlka sa používa na meranie rozptylu štatistických údajov. Hovorí nám o tom, ako sú rozložené štatistické údaje. Vzorec na výpočet smerodajnej odchýlky sa používa na nájdenie odchýlky všetkých súborov údajov od ich strednej polohy. Môžete mať otázky, že smerodajná odchýlka ako vypočítať resp ako vypočítať smerodajnú odchýlku . Existujú dva vzorce smerodajnej odchýlky, ktoré sa používajú na nájdenie štandardnej odchýlky akéhokoľvek daného súboru údajov. Oni sú,

• Vzorec štandardnej odchýlky populácie
• Vzorec štandardnej odchýlky

kde,

• s je populačná štandardná odchýlka
• X _i je i ^th pozorovanie
• x̄ je vzorový priemer
• N je počet pozorovaní

kde,

• σ je štandardná odchýlka populácie
• X_ije i^thPozorovanie
• μ je populačný priemer
• N je počet pozorovaní

Je zrejmé, že oba vzorce vyzerajú rovnako a majú len zmeny v menovateli. Menovateľ v prípade vzorky je n-1 ale v prípade populácia je N. Spočiatku menovateľ v vzorová smerodajná odchýlka vzorec má n v menovateli, ale výsledok z tohto vzorca nebol vhodný. Došlo teda k náprave a n sa nahradí n-1, táto korekcia sa nazýva Besselova korekcia čo zase prinieslo najvhodnejšie výsledky.

Čítaj viac: Rozdiel medzi rozptylom a štandardnou odchýlkou

Vzorec na výpočet smerodajnej odchýlky

Vzorec použitý na výpočet štandardnej odchýlky je uvedený na obrázku nižšie,

Ako vypočítať smerodajnú odchýlku?

Vo všeobecnosti, keď hovoríme o štandardnej odchýlke, hovoríme o nej smerodajná odchýlka populácie . Kroky na výpočet štandardnej odchýlky daného súboru hodnôt sú nasledovné,

Krok 1: Vypočítajte priemer pozorovania pomocou vzorca

(Priemer = súčet pozorovaní/počet pozorovaní)

Krok 2: Vypočítajte druhé mocniny rozdielov hodnôt údajov od priemeru.

(hodnota údajov – priemer)²

Krok 3: Vypočítajte priemer druhej mocniny rozdielov.

(Variancia = súčet štvorcových rozdielov / počet pozorovaní)

Krok 4: Vypočítajte druhú odmocninu rozptylu, čím získate štandardnú odchýlku.

(Štandardná odchýlka = √Variancia)

Čo je variance

Odchýlka nám v podstate hovorí, ako rozložená je množina údajov. Ak sú všetky dátové body rovnaké, rozptyl je nulový. Akýkoľvek nenulový rozptyl sa považuje za pozitívny . Nízky rozptyl znamená, že dátové body sú blízko priemeru (alebo priemeru) a navzájom. Vysoký rozptyl znamená, že dátové body sú rozložené od priemeru a od seba navzájom. Zjednodušene povedané, rozptyl je priemer toho, ako ďaleko je každý údajový bod od strednej hodnoty, na druhú.

Rozdiel medzi odchýlkou ​​a odchýlkou

Skontrolujte:

• Rozdiel medzi rozptylom a štandardnou odchýlkou
• Priemer, rozptyl a smerodajná odchýlka

Vzorec rozptylu

Vzorec na výpočet rozptylu množiny údajov je nasledujúci:

Rozptyl (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N

Kde:

• Σ označuje súčet (sčítanie)
• x predstavuje každý jednotlivý dátový bod
• μ (mu) je priemer (priemer) súboru údajov
• N je celkový počet dátových bodov

Ako vypočítať rozptyl?

Kroky na výpočet rozptylu množiny údajov:

Krok 1: Vypočítajte priemer (priemer):

Spočítajte všetky hodnoty v množine údajov a vydeľte ich celkovým počtom hodnôt. To vám dáva priemer (μ).

Priemer (μ) = (súčet všetkých hodnôt) / (celkový počet hodnôt)

Krok 2: Nájdite štvorcové rozdiely od priemeru:

Pre každú hodnotu v množine údajov odpočítajte od tejto hodnoty priemer vypočítaný v prvom kroku a potom odmocnite výsledok. Takto získate druhú mocninu rozdielu pre každú hodnotu.

Štvorcový rozdiel pre každú hodnotu = (hodnota – priemer)^2

Krok 3: Vypočítajte priemer štvorcových rozdielov:

Spočítajte všetky štvorcové rozdiely vypočítané v predchádzajúcom kroku a potom ich vydeľte celkovým počtom hodnôt v množine údajov. Získate tak rozptyl (σ^2).

Rozptyl (σ^2) = (súčet všetkých umocnených rozdielov) / (celkový počet hodnôt)

Skontrolujte: Rozptyl a štandardná odchýlka

Štandardná odchýlka nezoskupených údajov

Metóda predpokladaného priemeru

Metóda krokovej odchýlky

Štandardná odchýlka metódou skutočného priemeru

Metóda štandardnej odchýlky skutočným priemerom používa základný vzorec na výpočet priemeru daných údajov a pomocou tejto strednej hodnoty zistíme smerodajnú odchýlku daných hodnôt dát. Priemer v tejto metóde vypočítame pomocou vzorca,

μ = (súčet pozorovaní)/(počet pozorovaní)

a potom sa štandardná odchýlka vypočíta pomocou vzorca pre štandardnú odchýlku.

σ = √(∑ _i ⁿ (X _i - X) ² /n)

Príklad: Nájdite štandardnú odchýlku množiny údajov. X = {2, 3, 4, 5, 6}

Riešenie:

Vzhľadom na to,

• n = 5
• X_i= {2, 3, 4, 5, 6}

Vieme,

Priemer (μ) = (súčet pozorovaní)/(počet pozorovaní)

⇒ μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5

⇒ μ = 4

p²= ∑_iⁿ(X_i- X)²/n

⇒ str²= 1/n[(2 – 4)²+ (3 – 4)²+ (4 – 4)²+ (5 – 4)²+ (6 – 4)²]

⇒ str²= 10/5 = 2

Teda σ = √(2) = 1,414

Štandardná odchýlka metódou predpokladaného priemeru

Pre veľmi veľké hodnoty x je hľadanie priemeru zoskupených údajov zdĺhavou úlohou, preto sme ako strednú hodnotu predpokladali ľubovoľnú hodnotu (A) a potom vypočítali štandardnú odchýlku pomocou normálnej metódy. Predpokladajme pre skupinu n údajových hodnôt ( x₁, X₂, X₃, …, X_n), predpokladaný priemer je A, potom odchýlka je,

d _i = x _i – A

teraz predpokladaný priemerný vzorec je,

σ = √(∑ _i ⁿ (d _i ) ² /n)

Metóda štandardnej odchýlky za krokom

Smerodajnú odchýlku zoskupených údajov môžeme vypočítať aj pomocou metódy skokovej odchýlky. Rovnako ako vo vyššie uvedenej metóde aj v tejto metóde sme tiež zvolili nejakú ľubovoľnú hodnotu údajov ako predpokladaný priemer (povedzme A). Potom vypočítame odchýlky všetkých hodnôt údajov (x ₁ , X ₂ , X ₃ , …, X _n ), d _i = x _i – A

V ďalšom kroku Krokové odchýlky (d’) vypočítame pomocou

d' = d/i

kde ' i “ je spoločným faktorom všetkých hodnôt „d“.

potom Vzorec štandardnej odchýlky je,

σ = √[(∑(d’) ² /n) – (∑d’n) ² ] × i

kde ' n ‘ je celkový počet hodnôt údajov

Štandardná odchýlka diskrétnych zoskupených údajov

V zoskupených údajoch sme najskôr vytvorili frekvenčnú tabuľku a potom sa vykonali ďalšie výpočty. Pre diskrétne zoskupené údaje možno štandardnú odchýlku vypočítať aj pomocou troch metód, ktoré sú:

• Metóda skutočného priemeru
• Metóda predpokladaného priemeru
• Metóda krokovej odchýlky

Vzorec štandardnej odchýlky založený na diskrétnom rozdelení frekvencie

Pre daný súbor údajov, ak má n hodnôt (x₁, X₂, X₃, …, X_n) a im zodpovedajúca frekvencia je (f₁, f₂, f₃, …, f_n) potom sa jeho smerodajná odchýlka vypočíta pomocou vzorca,

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (X _i - X) ² /n)

kde,

• n je celková frekvencia (n = f₁+ f₂+ f₃+…+ f_n)
• X je priemer údajov

Príklad: Vypočítajte smerodajnú odchýlku pre daný údaj

Riešenie:

Priemer (x̄) = ∑(f_iX_i)/∑(f_i)

⇒ Priemer (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)

⇒ Priemer (μ) = 60/10 = 6

n = ∑(f_i) = 1+3+5+1 = 10

teraz

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (X _i - X) ² /n)

⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]

⇒ σ = √(3,6) = 1,897

Štandardná derivácia (σ) = 1,897

d _i = x _i – A

Teraz vzorec pre štandardnú odchýlku metódou predpokladaného priemeru je,

σ = √[(∑(f _i d _i ) ² /n) – (∑f _i d _i /n) ² ]

kde,

• ' f ‘ je frekvencia hodnoty údajov x
• ' n “ je Celková frekvencia [n = ∑(f _i )]

V ďalšom kroku Krokové odchýlky (d’) vypočítame pomocou

d' = d/i

kde ' i „je spoločným faktorom všetkých“ d hodnoty

potom Vzorec štandardnej odchýlky je,

σ = √[(∑(fd’) ² /n) – (�’/n) ² ] × i

kde ' n ‘ je celkový počet hodnôt údajov

Štandardná odchýlka súvislých zoskupených údajov

Pre spojité zoskupené údaje môžeme ľahko vypočítať štandardnú odchýlku pomocou diskrétnych dátových vzorcov nahradením každej triedy jej stredom (ako x_i) a potom normálnym výpočtom vzorcov.

Stred každej triedy sa vypočíta pomocou vzorca,

X _i (Midpoint) = (Horná hranica + Dolná hranica)/2

Napríklad, Vypočítajte smerodajnú odchýlku spojitých zoskupených údajov, ako je uvedené v tabuľke,

Metóda skutočného priemeru

• Metóda predpokladaného priemeru
• Metóda krokovej odchýlky

Na nájdenie štandardnej odchýlky môžeme použiť ktorúkoľvek z vyššie uvedených metód. Tu nájdeme štandardnú odchýlku pomocou metódy skutočného priemeru.

Riešením vyššie uvedenej otázky je,

Priemer (x̄) = ∑(f_iX_i)/∑(f_i)

⇒ Priemer (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)

⇒ Priemer (μ) = 240/10 = 24

n = ∑(f_i) = 2+4+2+2 = 10

teraz

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (X _i - X) ² /n)

⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]

⇒ σ = √(104) = 10 198

Štandardná derivácia (σ) = 10 198

Podobne je možné použiť aj iné metódy na nájdenie štandardnej odchýlky spojitých zoskupených údajov.

Skontrolujte: Štandardná odchýlka v individuálnych sériách

Štandardná odchýlka rozdelenia pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť všetkých možných výsledkov je vo všeobecnosti rovnaká a robíme mnoho pokusov, aby sme našli experimentálnu pravdepodobnosť daného experimentu.

• Pre normálne rozdelenie je stredný očakávaný priemer nula a smerodajná odchýlka je 1.
• Pre binomické rozdelenie je štandardná odchýlka daná vzorcom,

σ = √ (npq)

kde,

• n je Počet pokusov
• p je pravdepodobnosť úspechu súdneho konania
• q je pravdepodobnosť zlyhania pokusu (q = 1 – p)

• Pre Poissonovo rozdelenie je štandardná odchýlka daná ako

σ = √λt

kde,

• l je priemerný počet úspechov
• t je daný časový interval

Štandardná odchýlka náhodných premenných

Náhodné premenné sú číselné hodnoty, ktoré označujú možný výsledok náhodného experimentu v priestore vzorky. Výpočet smerodajnej odchýlky náhodnej premennej nám hovorí o rozdelení pravdepodobnosti náhodnej premennej a miere rozdielu od očakávanej hodnoty.

Používame X, Y a Z ako funkcie reprezentujúce náhodné premenné. Pravdepodobnosť náhodnej premennej je označená ako P(X) a očakávaná hodnota je označená symbolom μ.

Potom je daná štandardná odchýlka rozdelenia pravdepodobnosti pomocou vzorca,

σ = √(∑ (x _i – m) ² × P(X)/n)

tlač z javy

Čítaj viac,

• Priemerná
• Režim
• Stredná odchýlka

Príklad vzorca pre štandardnú odchýlku

Príklad 1: Nájdite smerodajnú odchýlku nasledujúcich údajov,

Riešenie:

Najprv vytvorte tabuľku nasledovne, aby sme mohli ľahko vypočítať ďalšie hodnoty.

Priemer (μ) = ∑(f _i X _i )/∑(f _i )

⇒ Priemer (μ) = 91/8 = 11,375

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (X _i – m) ² /n)

⇒ σ = √[(121,87)/(8)]

⇒ σ = √ (15,234)

⇒ σ = 3,90

Štandardná derivácia (σ) = 3,90

Riešenie:

Trieda	Xi	fi	f×Xi	Xi – μ	(Xi – μ)2	f×(Xi– m)2
0-10	5	3	pätnásť	- pätnásť	225	675
10-20	pätnásť	6	90	-5	25	150
20-30	25	4	100	5	25	100
30-40	35	2	70	pätnásť	225	450
40-50	Štyri	1	Štyri	25	625	625
Celkom		16	320			2000 gimp uložiť ako jpeg

Priemer (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)

⇒ Priemer (μ) = 320/16 = 20

σ = √(∑ _i ⁿ f _i (X _i – m) ² /n)

⇒ σ = √[(2000)/(16)]

⇒ σ = √ (125)

⇒ σ = 11,18

Štandardná derivácia (σ) = 11,18

Skontrolujte: Metódy výpočtu smerodajnej odchýlky v diskrétnych radoch

Pre komplexnú zbierku matematické vzorce naprieč rôznymi úrovňami a konceptmi sledujte techcodeview.com.

Skontrolujte tiež:

• Priemer, medián, režim
• Centrálna tendencia

Vzorec pre štandardnú odchýlku Excel

• Jednoduchý výpočet: Použite vstavané funkcie ExceluSTDEV.P>pre celú populáciu respSTDEV.S>za vzorku.
• Podrobný sprievodca: Zadajte množinu údajov do jedného stĺpca a potom zadajte=STDEV.S(A1:A10)>(nahraďte A1:A10 rozsahom údajov) v novej bunke, aby ste získali štandardnú odchýlku vzorky.
• Vizuálne pomôcky: Využite nástroje grafov Excelu na vizuálne znázornenie variability údajov spolu so štandardnou odchýlkou.

Skontrolujte: Metódy výpočtu smerodajnej odchýlky v radoch rozdelenia frekvencií

Štatistika vzorca pre štandardnú odchýlku

• Základný koncept: Štandardná odchýlka meria množstvo variácií alebo rozptylu množiny hodnôt.
• Kľúčový poznatok: Nízka štandardná odchýlka znamená, že hodnoty majú tendenciu byť blízko priemeru, zatiaľ čo vysoká štandardná odchýlka znamená, že hodnoty sú rozložené v širšom rozsahu.
• Štatistická významnosť: Používa sa na určenie, či sú rozdiely medzi skupinami spôsobené náhodou, najmä pri testovaní hypotéz a analýze experimentálnych údajov.

Záver – štandardná odchýlka

Štandardná odchýlka poskytuje cenné informácie o variabilite alebo konzistencii v rámci súboru údajov. Je široko používaný v rôznych oblastiach, vrátane štatistiky, financií a vedy, na pochopenie distribúcie údajov a prijímanie informovaných rozhodnutí na základe úrovne prítomnej variability.

Časté otázky o štandardnej odchýlke

Čo je štandardná odchýlka v štatistike?

Smerodajná odchýlka definuje volatilitu hodnôt údajov vzhľadom na strednú hodnotu daného súboru údajov. Je definovaná ako druhá odmocnina druhej mocniny priemernej odchýlky.

Ako vypočítať smerodajnú odchýlku?

Smerodajná odchýlka sa vypočíta pomocou vzorca,

σ =Prečo sa používa štandardná odchýlka?

Smerodajná odchýlka sa používa na rôzne účely, niektoré z jej dôležitých použití sú,

• Používa sa na zistenie volatility hodnôt údajov vzhľadom na strednú hodnotu.
• Používa sa na zistenie rozsahu odchýlky údajov.
• Predpovedá maximálnu volatilitu v danej hodnote súboru údajov.

Aký je rozdiel medzi štandardnou odchýlkou ​​a rozptylom?

Rozptyl sa vypočíta ako priemer druhej mocniny odchýlky od priemeru, zatiaľ čo štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu. Ďalší rozdiel medzi nimi je v ich jednotke. Smerodajná odchýlka je vyjadrená v rovnakých jednotkách ako pôvodné hodnoty, zatiaľ čo rozptyl je vyjadrený v jednotkách².

Metóda skutočného priemeru

Metóda predpokladaného priemeru

Metóda krokovej odchýlky

Môže byť štandardná odchýlka negatívna?

Nie, smerodajná odchýlka nemôže byť nikdy záporná, pretože vo vzorci vidíme, že všetky členy, ktoré môžu byť záporné, sú umocnené na druhú.

Čo je štandardná odchýlka vysvetliť pomocou príkladov?

Štandardná odchýlka je miera variácie alebo rozptylu daných hodnôt súboru údajov.

Príklad: Ak chcete nájsť priemer 1, 2, 3 a 4

Priemer dát = 13/4 = 3,25

Smerodajná odchýlka = √[(3,25-1)2 + (3-3,25)2 + (4-3,25)2 + (5-3,25)2]/4 = √2,06 = 1,43

Čo je vzorec pre štandardnú odchýlku?

Vzorec štandardnej odchýlky je,

Smerodajná odchýlka (σ) = √[ Σ(x – μ) ² / N]

Keď je štandardná odchýlka 1?

Štandardná odchýlka s 1 a strednou hodnotou 0 sa nazýva štandardná normálna distribúcia.

Čo je štandardná odchýlka prvých 10 prirodzených čísel?

Smerodajná odchýlka prvých 10 prirodzených čísel je 2,87

Čo je štandardná odchýlka 40, 42 a 48?

Smerodajná odchýlka 40, 42 a 48 je 3,399

Čo vám povie štandardná odchýlka?

Štandardná odchýlka je miera rozšírenia pre normálne rozdelenie. Štandardná odchýlka nám hovorí o rozptyle súboru údajov okolo strednej hodnoty súboru údajov.