PRIEMER, ROZPTYL A SMERODAJNÁ ODCHÝLKA

Priemer, rozptyl a smerodajná odchýlka sú životne dôležité štatistické ukazovatele. Rozptyl kvantifikuje odchýlku údajového bodu od priemeru, zatiaľ čo štandardná odchýlka meria distribúciu údajov. Kľúčový rozdiel spočíva v tom, že štandardná odchýlka je v rovnakých jednotkách ako priemer, zatiaľ čo rozptyl je v jednotkách na druhú. Ponorte sa hlbšie do týchto pojmov s definíciami, vzorcami a názorným príkladom.

Priemerná

Priemerná je priemer daného súboru údajov. Pozrime sa na príklad nižšie

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

Týchto osem údajových bodov má priemer (priemer) 5:

$frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Vzorec: mu=frac{sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

Kde ? je stredná hodnota a x₁, X₂, X₃…., X_iVšimnite si tiež, že stredná hodnota sa niekedy označuje ako $egin{pole}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (- 1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. end{pole}$

Rozptyl

Rozptyl je súčet druhých mocnín rozdielov medzi všetkými číslami a priemermi.
Odchýlka pre vyššie uvedený príklad. Najprv vypočítajte odchýlky každého údajového bodu od priemeru a utvorte druhú mocninu výsledku každého:

$Vzorec: sigma^{2}= frac { sum_{i=1}^{N} (x_{i}-mu)^{2}}{N}$

rozptyl = $extup{Koeficient variácie } =frac{ extup{Štandardná odchýlka}}{Priemerná hodnota}*100$ = 4.

Kde ? je priemer, N je celkový počet prvkov alebo frekvencia distribúcie.

Štandardná odchýlka

Štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu. Je to miera, do akej sa údaje líšia od priemeru.

Smerodajná odchýlka (pre vyššie uvedené údaje) = = 2

Prečo si matematici vybrali druhú mocninu a potom druhú odmocninu, aby našli odchýlku, prečo jednoducho nezobrali rozdiel hodnôt?
Jedným z dôvodov je, že súčet rozdielov sa stáva 0 podľa definície priemeru. Súčet absolútnych rozdielov by mohol byť možnosťou, ale s absolútnymi rozdielmi bolo ťažké dokázať veľa pekných teorémov. [Zdroj: Video prednáška MIT o 1:19]

Hodnota štandardnej odchýlky je 0, ak sú všetky vstupy rovnaké.
Ak pripočítame (alebo odčítame) číslo povedzme 7 ku všetkým hodnotám vo vstupnej množine, priemer sa zvýši (alebo zníži) o 7, ale štandardná odchýlka sa nezmení.
Ak vynásobíme všetky hodnoty vo vstupnej množine číslom 7, priemer aj smerodajná odchýlka sa vynásobia 7. Ak však všetky vstupné hodnoty vynásobíme záporným číslom, povedzme -7, priemer sa vynásobí -7, ale štandardná odchýlka sa vynásobí 7.
Smerodajná odchýlka a rozptyl je miera, ktorá hovorí, ako rozložené sú čísla. Zatiaľ čo rozptyl vám poskytuje približnú predstavu o rozptyle, štandardná odchýlka je konkrétnejšia a poskytuje presné vzdialenosti od priemeru.
Priemer, medián a modus sú mierou centrálnej tendencie údajov (buď zoskupených alebo nezoskupených).

Skontrolujte:

Rozptyl a štandardná odchýlka
Aplikácie štandardnej odchýlky v reálnom živote
Rozdiel medzi rozptylom a štandardnou odchýlkou

Nižšie uvedené otázky boli položené na skúškach GATE v predchádzajúcom roku Referencie:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Priemer, rozptyl a štandardná odchýlka – často kladené otázky

Aký je rozdiel medzi štandardnou odchýlkou a rozptylom?

Smerodajná odchýlka aj rozptyl merajú rozptyl údajových bodov v súbore údajov vzhľadom na priemer. Kľúčový rozdiel je v tom, že rozptyl meria priemer štvorcových odchýlok od priemeru, zatiaľ čo štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu, čo poskytuje mieru rozptylu v rovnakých jednotkách ako údaje.

Ako vypočítate priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku?

Význam: Sčítajte všetky čísla a vydeľte ich počtom.
Rozptyl: Vypočítajte priemer, odčítajte priemer od každého čísla, umocnite výsledok, spočítajte tieto umocnené výsledky a vydeľte počtom čísel mínus jedna.
Štandardná odchýlka: Vezmite druhú odmocninu z rozptylu.

Prečo sú stredná hodnota, rozptyl a smerodajná odchýlka dôležité?

Tieto štatistické merania sú kľúčové pre pochopenie distribúcie údajov. Priemer poskytuje centrálnu hodnotu, zatiaľ čo rozptyl a štandardná odchýlka poskytujú prehľad o variabilite alebo rozptyle údajov, čo naznačuje konzistenciu alebo nestálosť súboru údajov.

Môžu byť rozptyl a štandardná odchýlka negatívne?

Nie, rozptyl a štandardná odchýlka nemôžu byť záporné. Rozptyl sa vypočíta ako priemer druhej mocniny rozdielov od priemeru, výsledkom čoho je nezáporná hodnota. Keďže štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu, nemôže byť ani záporná.

Ako odľahlé hodnoty ovplyvňujú priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku?

Odľahlé hodnoty môžu výrazne ovplyvniť priemer jeho pritiahnutím smerom k odľahlej hodnote, čím presne neodrážajú centrálnu tendenciu súboru údajov. Odchýlka a štandardná odchýlka sú tiež ovplyvnené, pretože sa budú zvyšovať, čo naznačuje vyššie rozšírenie údajov v dôsledku odľahlých hodnôt.