logo

TechCodeview

Nastaviť symboly

Symboly množín sú súhrnný termín používaný pre všetky symboly používané v teórii množín, čo je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá zhromažďovaním objektov a ich rôznymi vlastnosťami. Sada je dobre definovaná kolekcia objektov, kde sa každý objekt v kolekcii nazýva prvok a každý prvok sady sa riadi veľmi špecifickým pravidlom. Vo všeobecnosti sa veľké písmeno anglických abecied používa na označenie množín a niektoré písmená označujú niektoré špecifické množiny v teórii množín.

Pri štúdiu tohto odvetvia matematiky sa používa veľa symbolov, niektoré z bežných symbolov sú {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø atď. Všetky tieto symboly si podrobne rozoberieme v článku vrátane histórie týchto symbolov. Začnime teda našu cestu učenia sa o rôznych rôznych symboloch množín používaných v teórii množín.



Set-Symboly

Obsah

Čo sú nastavené symboly?

Symboly množín sú základné stavebné kamene matematiky, ktoré sa používajú na reprezentáciu a popis skupín objektov, čísel alebo položiek, ktoré majú podobné vlastnosti. Tieto symboly ponúkajú jasný a konzistentný prístup ku komunikácii zložitých predstáv o množinách a ich interakciách. Najtypickejším symbolom množiny je ∈, čo znamená členstvo a vyslovuje sa ako patrí. ∈ označuje, že prvok je súčasťou konkrétnej množiny.

Naproti tomu ∉ znamená, že prvok nie je súčasťou množiny. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ atď. sú niektoré z bežných príkladov symbolov v teórii množín. Tieto a ďalšie symboly umožňujú matematikom definovať operácie, špecifikovať operácie a formulovať presné matematické tvrdenia, čím sa vytvárajú základy pre rôzne matematické špeciality a praktické využitie.



Prečítajte si viac o Teória množín .

Príklad sady symbolov

Na ilustráciu použijeme symbol, ktorý predstavuje priesečník množín. Nech E a F sú dve množiny také, že množina E = {1, 3, 5, 7} a množina F = {3, 6, 9}. Potom symbol ∩ predstavuje priesečník medzi oboma množinami, tj E ∩ F.

Tu E ∩ F obsahuje všetky prvky, ktoré sú spoločné v oboch množinách E a F, t.j. {3}.



Na záver, symbol ∩ sa používa na identifikáciu prvkov, ktoré sú zdieľané dvoma alebo viacerými súbormi. Priesečník vytvára iba množiny, ktoré majú prvky zdieľané všetkými množinami, ktoré sa pretínajú.

Naučiť sa viac o Priesečník množín .

História nastavených symbolov

V rokoch 1874 až 1897 volal nemecký matematik Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor vyvinul abstraktnú teóriu s názvom Teória množín. Navrhol to pri skúmaní niektorých faktických problémov týkajúcich sa špecifických foriem nekonečných množín reálnych čísel. Súbor je podľa pojmu zoskupením určitých definovaných a odlišných objektov pozorovania. Všetky tieto veci sa označujú ako členovia alebo zložky sady. Vlastnosť reálnych algebraických kombinácií čísel je základom Cantorovej teórie.

Základné pojmy množiny symbolov

Teória množín sa zaoberá rôznymi myšlienkami na rôznych úrovniach vzdelávania. Medzi základné pojmy patria reprezentácia množín, typy množín, operácie množín (ako napríklad spojenie a prienik), mohutnosť množín a vzťahy atď. Niektoré zo základných pojmov v teórii množín sú nasledovné:

Univerzálna sada

Veľké písmeno „U“ sa bežne používa na označenie univerzálnej súpravy. Príležitostne je tiež symbolizovaný ε(epsilon). Ide o súpravu, ktorá obsahuje všetky prvky iných súprav aj svoje vlastné.

Doplnok súpravy

Doplnok súpravy obsahuje všetky zložky univerzálnej súpravy okrem prvkov skúmanej súpravy. Ak je A množina, jej doplnky budú obsahovať všetky členy špecifikovanej univerzálnej množiny (U), ktoré nie sú zahrnuté v A. Doplnok súboru je označený alebo vyjadrený ako A' alebo Aca je definovaný ako:

A’= {x ∈ U: x ≠ A}

Prečítajte si viac o Doplnok súpravy .

Nastavte notáciu Buildera

Notácia Set Builder je metóda na reprezentáciu množín takým spôsobom, že tam, kde nepotrebujeme uvádzať všetky prvky množiny, stačí špecifikovať pravidlo, ktorým sa riadia všetky prvky množiny. Niektoré príklady týchto zápisov sú:

Ak A je zbierka reálnych čísel.

A = {x : x ∈ R}

Ak A je súbor prirodzených čísel.

A = {x : x> 0 a x ∈ Z]

Kde S je množina celých čísel.

Čítaj viac, Zastúpenie množín .

Nastaviť symboly v matematike

Na označenie rôznych vecí a čiastok sa v symbole sady často používa preddefinovaný zoznam variabilných symbolov. Ak chcete čítať a vytvárať množinovú notáciu, musíte najprv pochopiť, ako používať symboly v rôznych situáciách. Pozrime sa na všetky zápisy teórie množín a symboly súvisiace s operáciami, vzťahmi atď., spolu s ich významom a príkladmi v tejto kategórii.

Symboly používané v číselnej sústave

Symboly používané v číselných systémoch sú zahrnuté v tabuľke nižšie:

Symbol názov Význam/Definícia Príklad
W alebo 𝕎 Celé čísla Toto sú prirodzené čísla.

Vieme, že N = {1, 2, 3, . . . }

1 ∈ N
N alebo ℕ Prirodzené čísla Prirodzené čísla sa niekedy označujú ako čísla, ktoré začínajú 1.

Vieme, že W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }

0 ∈ W
Z alebo ℤ Celé čísla Celé čísla sú porovnateľné s celými číslami, okrem toho, že zahŕňajú aj záporné hodnoty.

Vieme, že Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . .}

-6 ∈ Z
Q alebo ℚ Racionálne čísla Racionálne čísla sú tie, ktoré sú uvedené ako a/b. V tomto prípade sú a a b celé čísla s b ≠ 0.

Q= x=a/b, a, b ∈ Z a b ≠ 0

2/6 ∈ Q

P alebo ℙ

Iracionálne čísla

Čísla, ktoré nemožno znázorniť v tvare a/b, sa nazývajú iracionálne čísla, t.j. všetky reálne čísla, ktoré nie sú racionálne.

scan.nextstring java

P = x

π a ∈ P
R alebo ℝ Skutočné čísla Celé čísla, racionálne čísla a iracionálne čísla tvoria reálne čísla.

R = x

6,343434 ∈ R
C alebo ℂ Komplexné čísla Komplexné číslo je kombináciou reálneho čísla a imaginárneho čísla. C= z = a + bi, a, b ∈ R

6 + 2 i ∈ C

Symboly teórie množín

Oddeľovače sú špeciálne znaky alebo postupnosti znakov, ktoré označujú začiatok alebo koniec určitého príkazu alebo tela funkcie určenej množiny. Nasledujú symboly a významy teórie množín oddeľovačov:

Symbol názov Význam/Definícia Príklad
{} Set V týchto zátvorkách je veľa prvkov/čísiel/abeced v množine. {15, 22, c, d}
| Taký, že Používajú sa na zostavenie množiny špecifikovaním toho, čo je v nej obsiahnuté.

q> 6

Príkaz špecifikuje súbor všetkých q tak, že q je väčšie ako 6.
: Taký, že Symbol : sa niekedy používa namiesto | symbol. Vyššie uvedená veta môže byť alternatívne napísaná ako q.

Množiny a relačné symboly v teórii množín

Symboly teórie množín sa používajú na identifikáciu konkrétnej množiny, ako aj na určenie/ukázanie vzťahu medzi odlišnými množinami alebo vzťahmi vo vnútri množiny, ako je napríklad vzťah medzi množinou a jej zložkou. Nižšie uvedená tabuľka zobrazuje takéto symboly vzťahov spolu s ich významom a príkladmi:

Symbol názov Význam/Definícia Príklad
a ∈ A Je súčasťou Toto určuje, že prvok je členom konkrétnej množiny. Ak je množina A={12, 17, 18, 27}, môžeme povedať, že 27 ∈ a.
b ∉ B Nie je súčasťou To znamená, že prvok nepatrí do konkrétnej množiny. Ak množina B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, potom akýkoľvek iný prvok ako ten, ktorý je v množine, do tejto množiny nepatrí. Napríklad 18 ∉ B.
A = B Vzťah rovnosti Poskytnuté sady sú ekvivalentné v tom zmysle, že majú rovnaké komponenty. Ak dáte P={16, 22, a} a Q={16, 22, a}, potom P=Q.
A ⊆ B Podmnožina Keď sú všetky položky A prítomné v B, A je podmnožinou B.

A= {31, b} a B={a, b, 31, 54}

{31, b} ⊆ {a, b, 31, 54}
A ⊂ B Správna podmnožina P sa považuje za správnu podmnožinu B, keď je podmnožinou B a nerovná sa B.

A= {24, c} a B={a, c, 24, 50}

A ⊂ B
A ⊄ B Nie podskupina Výsledkom je, že množina A nie je podmnožinou množiny B.

A = {67,52} a B = {42,34,12}

A ⊄ B
A ⊇ B Superset A je nadmnožinou B, ak je množina B podmnožinou A. Množina A môže byť rovnaká alebo väčšia ako množina B.

A = {14, 18, 26} a B = {14, 18, 26}

{14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26}
A ⊃ B Správna Superset Sada A má viac prvkov ako množina B, pretože je to nadmnožina B. {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26}
A ⊅ B Nie Superset Keď všetky prvky B nie sú prítomné v A, A nie je skutočnou nadmnožinou B.

A = {11, 12, 16} a B = {11, 19}

{11, 12, 16} ⊅ {11, 19}
Ø Prázdna sada Prázdna alebo nulová množina je taká, ktorá neobsahuje žiadne prvky. {22, y} ∩ {33, a} = Ø
IN Univerzálna sada Množina, ktorá obsahuje prvky zo všetkých relevantných množín vrátane svojich vlastných. Ak A = {a,b,c} a B = {1,2,3,b,c}, potom U = {1,2,3,a,b,c}
|A| alebo n{A} Mohutnosť súboru Mohutnosť sa vzťahuje na počet položiek v konkrétnej kolekcii. Ak A= {17, 31, 45, 59, 62}, potom |A|=5.
P(X) Súprava napájania Výkonová množina je množina všetkých podmnožín množiny X, vrátane samotnej množiny a nulovej množiny.

Ak, X = {12, 16, 19}

P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}}

Symboly založené na operátoroch v teórii množín

Na príkladoch budeme študovať symboly a významy teórie množín pre početné operácie, ako je spojenie, doplnok, prienik, rozdiel a iné.

Symbol názov Význam/Definícia Príklad
A ∪ B Union of Sets Spojenie súprav vytvára úplne novú súpravu spojením všetkých komponentov dodaných súprav.

A = {p, q, u, v, w}

B = {r, s, x, y}

A ∪ B (A zväzok B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y}
A ∩ B Priesečník množín Spoločná zložka oboch súprav je zaradená do križovatky.

A = { 4, 8, a, b} a B = {3, 8, c, b}, potom

A ∩ B = {8, b}
XcALEBOX' Doplnok setu Doplnok súpravy obsahuje všetky veci, ktoré nepatria do dodávanej súpravy.

Ak je A univerzálna množina a A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} a B = {13, 15, 17, 18, 19}, potom

X' = ​​A – B

⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24}

abeceda v číslach
A - B Nastaviť rozdiel Rozdielová sada je sada, ktorá obsahuje položky z jednej sady, ktoré sa nenachádzajú v inej.

A = {12, 13, 15, 19} a B = {13, 14, 15, 16, 17}

A – B = {12, 19}
A × B Kartézsky súčin množín Kartézsky súčin je súčinom objednaných komponentov súprav.

A = {4, 5, 6} a B = {r}

Teraz, A × B = {(4, r), (2, r), (6, r)}
A ∆ B Symetrický rozdiel množín A Δ B = (A – B) U (B – A) označuje symetrický rozdiel.

A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31}

A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31}

Čítaj viac

  • Typy súprav
  • Prevádzka na súpravách

Vyriešené príklady na nastavenie symbolov

Príklad 1: Ak sú dané dve množiny s P={21, 32, 43, 54, 65, 75} a Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, aká je hodnota P∪Q?

odpoveď:

P={21, 32, 43, 54, 65, 75} a Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}

P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}

Príklad 2: Aká je hodnota |Y| ak Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?

odpoveď:

|Y| = Mohutnosť množiny=počet prvkov v množine je riešením.

|Y| = n(Y)=6, keďže množina Y má 6 prvkov.

Príklad 3: Dané dve množiny s hodnotami P={a,c,e} a Q={4,3} určte ich karteziánsky súčin.

odpoveď:

Kartézsky súčin = P × Q

Ak P={b, d, f} a Q={5, 6}

Potom P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}

Príklad 4: Predpokladajme, že P = {x: x je prirodzené celé číslo a násobok 24 a Q = {x: x je prirodzené číslo menšie ako 8}. Určite P ∪ Q.

odpoveď:

Vzhľadom na to

P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

dvojito prepojený zoznam

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Výsledkom je, že P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}

Príklad 5: Predpokladajme, že P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Nájdite (P ∩ Q)“.

odpoveď:

Dané, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}

P ∩ Q = {4}

preto

(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}

Príklad 6: Ak P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} a Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, určite

(i) P-Q a (ii) P-Q.

odpoveď:

Vzhľadom na to,

P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} a Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}

(i) P – Q = {4, 8, 10}

(ii) Q – P = {3, 12, 14}

Cvičné otázky pre nastavené symboly

Otázka 1: Vzhľadom na zostavy:

  • A = {2, 4, 6, 8}
  • B = {4, 8, 12, 16}

Určte prvky v zjednotení množín A a B.

Otázka 2: Zoberme si sady:

  • X = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Y = {3, 4, 5, 6, 7}

Nájdite priesečník množín X a Y.

Otázka 3: Predpokladajme, že máte sady:

  • P = {a, b, c, d}
  • Q = {c, d, e, f}

Vypočítajte prvky v množine P – Q, ako aj Q – P.

Otázka 4: Povedzme, že máte sady:

  • U = {1, 2, 3, 4, 5}
  • V = {4, 5, 6, 7}

Zistite, či množina V je podmnožinou množiny U.

Otázka 5: Zvážte sady:

  • S = {jablko, banán, pomaranč, hruška}
  • T = {hruška, mango, čerešňa}

Nájdite kartézsky súčin množín S a T.

Otázka 6: Predpokladajme, že máte univerzálnu sadu:

  • U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}

A zostavy:

  • E = {b, d, f, h, j}
  • F = {a, c, e, g, i}

Vypočítajte doplnok množiny E a F vzhľadom na univerzálnu množinu U.

Často kladené otázky o nastavení symbolov

1. Definujte symbol sady.

Symbol množiny je vetva, ktorá študuje zoskupenia entít/čísel/objektov, ich vzťahy s inými množinami, rôzne operácie (zjednotenie, priesečník, doplnok a rozdiel) a súvisiace vlastnosti.

2. Čo predstavuje tento symbol ⊆?

Symbol ⊆ znamená, že je podmnožinou. Podmnožina je množina, ktorej položky boli pridané, akoby to boli všetky prvky inej množiny.

3. Čo znamená ∪ v množinách?

„∪“ je znakom zväzku množín. A ∪ B je množina, ktorá obsahuje všetky prvky množín A a B.

4. Čo predstavuje P = Q?

Ak sa množina P rovná množine Q, potom členovia P a Q sú rovnaké. Napríklad:

P = {4,5,6} a Q = {6,5,4}

Výsledkom je, že P = Q.

5. Čo v matematike znamená ∩?

„∩“ znamená spojenie dvoch množín. A ∩ B je sada, ktorá obsahuje položky zdieľané A aj B.

6. Čo je ∈ v množinách?

∈ je znak, ktorý znamená „patrí do“. Ak b ∈ B, znamená to, že b je prvkom B.

7. Aká je množina N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} známy ako?

Množina prirodzených čísel je definovaná ako N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Obsahuje všetky kladné čísla v rozsahu od 1 po nekonečné číslo. Táto zbierka je kľúčová pre matematiku a poskytuje rámec pre usporiadanie aj počítanie.

8. Čo je A × B v množinách?

Kartézsky súčin množín A a B je v symbole množiny znázornený ako A x B. Je to sada, ktorá obsahuje všetky možné usporiadané páry, v ktorých je prvý prvok vytiahnutý zo sady A a druhý zo sady B.

9. Ako budete čítať A ∩ B?

A∩B sa vyslovuje A priesečník B. Znamená množinu, ktorá obsahuje prvky spoločné v oboch množinách.

10. Čo znamená Ø v teórii množín?

V teórii množín sa myšlienka prázdnej množiny, ktorá nemá žiadne položky, označuje symbolom Ø (vyslovuje sa prázdna množina).

11. Čo je AUB?

AUB v matematike znamená spojenie množín A a B. Vzťahuje sa na množinu, ktorá obsahuje každý prvok z oboch množín A a B.

12. Je ∅ to isté ako {}?

Áno, ∅ a {} predstavujú prázdnu množinu v matematike. Obidve sú teda odlišným označením tej istej veci.