Podmnožiny v matematike sú základným konceptom v štúdiu teórie množín, podobne ako množiny. Skupina prvkov, objektov alebo členov uzavretých v zložených zátvorkách, ako napríklad {x, y, z}, sa nazýva Set , kde je každý člen súboru jedinečný. Takže pre množinu {x, y, z} sú možné podmnožiny {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} alebo { x, y, z}. Pri definovaní množiny môžu byť jej prvkami reálne čísla, konštanty, premenné alebo akékoľvek iné objekty.

Tento článok podrobne skúma koncept podmnožín a uľahčuje pochopenie pre všetkých čitateľov článku bez ohľadu na ich akademickú úroveň. Všetky podtémy, ako je ich význam, definícia, symbol, príklad a mnohé ďalšie, sú v článku pokryté množstvom príkladov. Začnime teda našu cestu do krajiny teórie množín a pochopme tento koncept podmnožín.

V tomto článku sme poskytli podrobné informácie o čo sú podmnožiny v matematike, nadmnožiny v matematike, správna podmnožina a nesprávna podmnožina s príkladmi a často kladenými otázkami.

Obsah

• Čo sú podmnožiny v matematike?
• Príklad podmnožín
• Výkonová sada súpravy
• Typy podmnožín
• Správna podmnožina
• Nesprávna podmnožina
• Správne a nesprávne podmnožiny
• Podmnožiny verzus nadmnožiny

Čo sú podmnožiny v matematike?

Množina „A“ je podmnožinou množiny „B“, ak všetky prvky množiny A patria do množiny B. Podmnožina sa tiež môže rovnať množine v konkrétnom prípade, keď sú všetky prvky podmnožiny obsiahnuté v nastaviť.

Aby sme lepšie porozumeli podmnožine, uvažujme, že množina A je zbierkou nepárnych čísel a množina B pozostáva z {1,3,5}, takže tu B je podmnožina A a A je nadmnožina B.

Napríklad: Ak množina A obsahuje {jablko, banán} a množina B obsahuje {všetko ovocie}, potom A je podmnožinou B.

Uvažujme ešte jeden príklad pre lepšie pochopenie.

Príklad: Určite, ktorá je podmnožina a ktorá nadmnožina, ak A = {a, e, i, o, u} a B = { Všetky abecedy}.

odpoveď:

linux ako premenovať adresár

Tu A obsahuje všetky prvky samohlásky, ktoré sú súčasťou abecedy. Takže tu A je podmnožina B a B je nadmnožina A.

Definícia podmnožiny

Matematicky sa predpokladá, že množina A je podmnožinou množiny B, ak všetky zložky množiny A existujú aj v množine B. Podmnožina je teda podskupinou akejkoľvek množiny. Inými slovami, množina A je obsiahnutá v množine B.

Napríklad: Ak množina A = {1, 2, 3} a množina B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, potom môžeme povedať, že množina A je podmnožinou množiny B, keďže všetky prvky v množine A sú dostupné v súprave B.

Význam podmnožiny

Množina, ktorej prvky sú všetky prvky inkluzívnej množiny, je významom podmnožiny. Uvažujme množinu X takú, že X obsahuje názvy všetkých riek krajiny. Ďalšia množina Y obsahuje názvy riek vo vašej severnej Indii. Tu y bude podmnožinou x, pretože všetky rieky v severnej Indii by boli tiež riekami našej krajiny; teda Y je podmnožinou X. Existuje len určitý počet odlišných alebo jedinečných podmnožín pre akúkoľvek množinu, preto zostávajúce sú irelevantné a opakujúce sa.

Príklad: Vypíšte všetky podmnožiny množiny Q = {1, 2, 3}.

odpoveď:

Podmnožiny Q sú { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} a {1, 2, 3}

Symbol podmnožiny

Podmnožina je označená symbolom a čítaná ako „je podmnožinou“ v teória množín . Podmnožinu predstavuje symbol daný ⊆. Podmnožiny môžu byť vyjadrené pomocou tohto symbolu takto:

A ⊆ B to znamená, že množina A je podmnožinou množiny B.

herec govinda

Príklad podmnožín

Jediná potreba, aby množina A bola podmnožinou množiny B, je, aby každý prvok A bol prítomný v B. Tu je niekoľko príkladov podmnožín založených na tomto.

• A = {2, 3, 10} je podmnožinou B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Množina všetkých prvočísel je podmnožinou N = Množina všetkých prirodzených čísel a
• X = {a, e, i, o ,u} sú zbierkou samohlások a sú podmnožinou Y = množina všetkých abeced.

Stojí za zmienku, že každá množina je podmnožinou samej seba, rovnako ako prázdna množina ().

Príklad: Môže byť null Set podmnožinou akejkoľvek množiny?

odpoveď:

Null je podmnožinou každej množiny. Štandardne túto skutočnosť považujeme za to, že celá množina obsahuje prvok nazývaný nulová množina.

Podmnožiny skutočného čísla

Reálne čísla, ktoré možno vyjadriť ako desatinné čísla, spadajú do rôznych kategórií. Zo svojej každodennej existencie už nepochybne poznáte zlomky, desatinné miesta a počítanie čísel. Nasledujúce čísla sa považujú za podmnožinu reálnych čísel:

• Racionálne čísla : Akékoľvek číslo, ktoré možno vyjadriť ako zlomok, p/q, kde p aj q sú kladné celé čísla. Sú to neukončovacie, opakujúce sa desatinné miesta a koncové desatinné miesta v desatinnom tvare. Príklad: -5/9, 1/8
• Iracionálne čísla : Tieto čísla nekončia ani sa neopakujú, keď sú vyjadrené v desatinnej forme. Exe.
• Celé čísla : Všetky počítacie čísla vrátane nuly a ich protikladov. Príklad: -2,-1,0,3
• Celé čísla : Nula a všetky kladné čísla. Ex- 0, 2, 500
• Prirodzené čísla : Všetky kladné čísla. Ex- 1,2,40

Príklad: Do ktorých podmnožín reálnych čísel patrí -5?

odpoveď:

-5 je racionálne číslo a celé číslo.

Výkonová sada súpravy

Súprava napájací set pozostáva z každej podmnožiny, ako aj pôvodnej množiny a prázdnej množiny. P(A) predstavuje množinu mocniny danej množiny A. Napríklad, ak A = {1, 2}, potom P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Tu môžeme jasne vidieť, že všetky podmnožiny A sú obsiahnuté v P(A), t.j. výkonová množina A.

Počet podskupín sady

Pre každú množinu A je počet seusetov daný pomocou nasledujúceho vzorca

Počet podmnožín = 2 ⁿ

Kde n je počet prvkov v množine.

Keďže mocninná množina obsahuje všetky podmnožiny ľubovoľnej množiny, teda pre množinu A, ktorá má „n“ prvkov, má P(A) 2ⁿprvkov.

Príklad: Koľko prvkov mocninovej množiny možno vytvoriť, ak sú v množine štyri prvky?

odpoveď:

Počet prvkov výkonovej sady s tromi prvkami sú 2⁴= 16.

Typy podmnožín

Existujú dva typy podmnožín, ktoré sú:

• Správna podmnožina
• Nesprávna podmnožina

Poďme diskutovať o týchto typoch podrobne takto:

Správna podmnožina

A správna podmnožina pozostáva len z niekoľkých členov pôvodného súboru. Správna podmnožina sa nikdy nemôže rovnať pôvodnej množine. V správnej podmnožine je vylúčená podmnožina tvoriaca pôvodný súbor.

Správny symbol podmnožiny

Správna podmnožina je označená ⊂,

Vlastnú podmnožinu pre množinu A a množinu B môžeme vyjadriť ako;

A ⊂ B

Príklad správnych podmnožín

Nech množina A = {1, 3, 5}, potom vlastné podmnožiny A sú {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Tiež {1, 3, 5} je podmnožinou A, ale nie je správnou podmnožinou A.

Správny vzorec podmnožiny

Počet vlastných podmnožín množiny s „n“ prvkami je 2ⁿ- 1.

Príklad: Množina obsahuje 3 prvky, aký bude počet vlastných podmnožín?

odpoveď:

abeceda ako čísla

Počet vlastných podmnožín = 2ⁿ- 1

Tu n = 3

N = 2³– 1 = 7

Nesprávna podmnožina

An nesprávna podmnožina obsahuje obsahuje nulovú množinu aj každý člen počiatočnej množiny. Nesprávna podmnožina sa môže rovnať pôvodnej množine. V nesprávnej podmnožine je zahrnutá podmnožina tvoriaca pôvodnú súpravu. Toto je znázornené symbolom ⊆ .

Príklad: Aká bude nevlastná podmnožina množiny A = {1, 3, 5}?

odpoveď:

Nesprávna podmnožina: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} a {1,3,5}

Nesprávny vzorec podmnožiny

Pre kolekciu ‚n‘ prvkov je počet nesprávnych podmnožín vždy 1. Inými slovami, počet nesprávnych podmnožín množiny je nezávislý od počtu jej prvkov.

Uč sa viac, Vzorce teórie množín

Správne a nesprávne podmnožiny

Kľúčové rozdiely medzi správnymi podmnožinami a nevhodnými podmnožinami sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Príklad: Pre množinu P = {1,2} nájdite správnu a nevlastnú podmnožinu.

Riešenie:

cast string to int

Správna množina je daná { }, {1} a {2}

Nesprávna množina je daná { }, {1}, {2} a {1,2}

Podmnožiny verzus nadmnožiny

Kľúčové rozdiely medzi oboma podmnožiny a supersety sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Vzorec podmnožiny

Všetky vzorce týkajúce sa podmnožín sú uvedené nižšie.

• Počet podmnožín množiny s n prvkami je 2ⁿ. To zahŕňa správne aj nesprávne podmnožiny.
• Počet vlastných podmnožín množiny s n prvkami je 2ⁿ- 1.
• Počet nesprávnych podmnožín akejkoľvek množiny je vždy 1.

Tiež si prečítajte

• Zastúpenie spoločnosti Set
• Typy súprav
• Univerzálne súpravy

Vyriešené problémy s podmnožinami

Úloha 1: Koľko podmnožín v množine so 4 prvkami?

Riešenie:

Sada obsahujúca 4 prvky bude mať 2⁴prvkov v ňom = 16.

Úloha 2: Koľko podmnožín v množine s 5 prvkami?

Riešenie:

Sada obsahujúca 5 prvkov bude mať 2⁵prvky v ňom = 32.

Časté otázky o podskupinách

Čo sú podmnožiny v matematike?

Ak je každý komponent množiny A prítomný aj v množine B, potom sa o množine A hovorí, že je podmnožinou množiny B. Inak povedané, množina B obsahuje množinu A.

Čo sú správne podmnožiny?

Podmnožina množiny A, ktorá sa nerovná A, je vlastnou podmnožinou množiny A. Inými slovami, ak B je vlastnou podmnožinou A, potom A má aspoň jeden prvok, ktorý nie je v B, ale všetky prvky B sú v.

Čo sú nesprávne podmnožiny?

Podmnožina, ktorá obsahuje každý komponent pôvodnej sady, sa považuje za nevhodnú podmnožinu.

Môže byť podmnožina rovná sama sebe?

Každá množina je považovaná za podmnožinu samej seba. Správna podmnožina žiadnej množiny je ona sama. Každá množina má prázdnu množinu ako podmnožinu.

Môže byť podskupinou univerzálna sada?

Môžeme povedať, že množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok v množine A je zároveň prvkom množiny B. Potom na vytvorenie podmnožín možno použiť ľubovoľnú univerzálnu množinu. Je tiež dôležité mať na pamäti, že každá univerzálna sada je v skutočnosti podmnožinou samej seba.

Môže mať podmnožina hodnotu Null?

Áno, nulová množina je predvolene podmnožinou akejkoľvek množiny.

Aké sú dve klasifikácie podmnožiny?

Klasifikácia podskupín je nasledovná:

• Správna podmnožina
• Nevhodná podskupina