Polygón v matematike je dvojrozmerný tvar tvorený rovnými čiarami, ktoré tvoria uzavretý polygonálny reťazec. Slovo mnohouholník pochádza zo slov poly a gon, čo znamená veľa a strany.

Polygóny môžu byť jednoduché alebo sa môžu pretínať. Jednoduchý mnohouholník sa nepretína, s výnimkou zdieľaných koncových bodov po sebe nasledujúcich segmentov. Polygonálny reťazec, ktorý sa pretína sám nad sebou, vytvára samo sa pretínajúci mnohouholník. Polygóny môžu byť tiež klasifikované ako konkávne alebo konvexné.

V tomto článku sme podrobne spomenuli mnohouholníky a ich typy, vzorce a príklady.

Obsah

• Čo sú to polygóny?
• Definícia polygónu
• Polygónový graf založený na počte strán
• Vlastnosti polygónov
• Polygónové tvary
• Typy polygónov
• Polygóny na báze strán
• Polygóny na základe uhlov
• Polygóny na základe hraníc
• Polygónové vzorce
• Oblasť polygónov
• Obvod polygónov
• Uhly v polygónoch
• často kladené otázky

Čo sú to polygóny?

Výraz „mnohouholník“ pochádza z gréckeho slova polugonos, kde „poly“ znamená „veľa“ a „gon“ označuje „uhol“. Vo všeobecnosti je mnohouholník uzavretý útvar tvorený rovnými čiarami, ktorých vnútorné uhly vytvárajú tieto linky. Na vytvorenie uzavretého tvaru sú potrebné minimálne trojriadkové segmenty. Je všeobecne známy ako trojuholník alebo 3-uholník. Všeobecný výraz pre n-stranný mnohouholník je n-uholník.

Definícia polygónu

Polygóny sú ploché, dvojrozmerné postavy zložené z rovných strán, ktoré tvoria úplne uzavretý tvar. V geometrii je mnohouholník rovinný obrazec vytvorený z úsečiek spojených tak, aby vytvorili uzavretý polygonálny reťazec. Pozostávajú z rovných strán, nie z kriviek, a môžu mať ľubovoľný rôzny počet strán. Niektoré polygóny rôzneho druhu sú: otvorené, iba hraničné, uzavreté a pretínajúce sa.

V geometrii je mnohouholník definovaný ako uzavretý, dvojrozmerný tvar, ktorý leží naplocho v rovine a je ohraničený rovnými stranami.

Polygónu chýbajú zakrivené strany a jeho okraje sú rovné segmenty definujúce jeho hranicu. Body stretnutia týchto hrán sa nazývajú vrcholy alebo rohy.

Príklady mnohouholníkov

Z hľadiska matematiky sú príkladmi mnohouholníkov trojuholníky, šesťuholníky, päťuholníky a štvoruholníky. Reálne príklady Polygonu sú obdĺžniková obrazovka na vašom notebooku, televízore, mobilnom telefóne; obdĺžnikové futbalové ihrisko alebo ihrisko, Bermudský trojuholník a egyptské pyramídy trojuholníkového tvaru.

Časti mnohouholníka

Polygón pozostáva z troch základných komponentov:

• Strany mnohouholníka: Strany mnohouholníkov sú hranicou mnohouholníkov, ktoré definujú uzavretú oblasť.
• Vrcholy: Bod, v ktorom sa dve strany stretávajú, je známy ako vrchol.
• Uhly: Polygón obsahuje vnútorné aj vonkajšie uhly. Vnútorný uhol je vytvorený v uzavretej oblasti mnohouholníka priesečníkom jeho strán.

Polygónový graf založený na počte strán

Nomenklatúra polygónu definovaná na základe počtu strán, ktoré majú. Označuje sa ako n-uholníky, kde „n“ označuje počet strán. Polygóny sú všeobecne identifikované počtom ich hrán. Napríklad polygón s piatimi stranami sa nazýva 5-uholník, zatiaľ čo polygón s desiatimi stranami sa označuje ako 10-uholník.

Vlastnosti polygónov

Vlastnosti polygónov ich ľahko identifikujú. Nasledujúce vlastnosti prispievajú k ľahkému poznaniu polygónov:

• Mnohouholník je uzavretý tvar bez otvorených koncov. Počiatočný a koncový bod by mal byť rovnaký.
• Preberá rovinnú formu pozostávajúcu z úsečiek alebo priamych línií, ktoré spoločne formujú postavu.
• Ako dvojrozmerná entita existuje mnohouholník iba v rozmeroch dĺžky a šírky, bez hĺbky alebo výšky.
• Má tri alebo viac strán na vytvorenie mnohouholníka.
• Uhly v polygóne sa môžu líšiť. Zobrazuje odlišnú konfiguráciu.
• Dĺžka strán mnohouholníka sa môže meniť; môže alebo nemusí byť rovnaká v celom polygóne.

Polygónové tvary

Mnohouholník je plochý, dvojrozmerný tvar charakterizovaný rovnými stranami spojenými tak, aby vytvorili uzavretý obrazec. Príklady tvarov mnohouholníka zahŕňajú:

• Trojuholník
• Štvoruholník
• Pentagon
• Šesťuholník
• sedemuholník
• osemuholník
• Nonagon
• Desaťuholník

Trojuholník

• Má 3 strany a 3 vrcholy.
• Nemá žiadne uhlopriečky.
• Súčet interiéru je 180°.

Štvoruholník

• Má 4 strany a 4 vrcholy.
• Má 2 uhlopriečky.
• Súčet vnútorného uhla je 360°.

Pentagon

• Má 5 strán a 5 vrcholov.
• Má 5 uhlopriečok.
• Súčet vnútorného uhla je 540°.

Šesťuholník

• Má 6 strán a 6 vrcholov.
• Má 9 uhlopriečok.
• Súčet vnútorného uhla je 720°.

sedemuholník

• Má 7 strán a 7 vrcholov.
• Má 14 uhlopriečok.
• Súčet vnútorného uhla je 900°.

osemuholník

• Má 8 strán a 8 vrcholov.
• Má 20 uhlopriečok.
• Súčet vnútorného uhla je 1080°.

Nonagon

• Má 9 strán a 9 vrcholov.
• Má 27 uhlopriečok.
• Súčet vnútorného uhla je 1260°.

Desaťuholník

• Má 10 strán a 10 vrcholov.
• Má 35 uhlopriečok.
• Súčet vnútorného uhla je 1440°.

Typy polygónov

V závislosti od strán a uhlov môžu byť polygóny rozdelené do rôznych typov na rôznych základoch, ako napríklad:

• Na základe strán
• Na základe uhlov
• Na základe hranice

Polygóny na báze strán

Polygóny je možné kategorizovať na základe charakteristík ich strán do dvoch základných typov:

• Pravidelný mnohouholník
• Nepravidelný mnohouholník

Pravidelný mnohouholník

Pravidelný mnohouholník sa vyznačuje tým, že má všetky strany rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly s rovnakými rozmermi. Môže byť rovnostranný aj rovnouholníkový. Príklady pravidelných mnohouholníkov zahŕňajú trojuholník, štvoruholník, päťuholník a šesťuholník.

Pravidelný mnohouholník

Nepravidelný mnohouholník

Nepravidelný mnohouholník má strany nerovnakej dĺžky a uhly rôznych rozmerov. Akýkoľvek mnohouholník, ktorý nespĺňa kritériá bežného mnohouholníka, je klasifikovaný ako nepravidelný. Bežnými príkladmi nepravidelného mnohouholníka sú zmenšený trojuholník, štvoruholníky ako obdĺžnik, lichobežník alebo drak, ako aj nepravidelné päťuholníkové a šesťuholníkové štruktúry.

Nepravidelný mnohouholník

Polygóny na základe uhlov

Polygóny možno klasifikovať na základe povahy ich uhlov do dvoch hlavných kategórií:

• Konvexný mnohouholník
• Konkávny polygón

Konvexný mnohouholník

Konvexný mnohouholník nemá vnútorný uhol väčší ako 180°. Konvexné polygóny môžu mať tri alebo viac strán. V konvexných mnohouholníkoch ležia všetky diagonály vo vnútri uzavretého útvaru. Bežnými príkladmi konvexných mnohouholníkov sú trojuholníky, všetky konvexné štvoruholníky, ako aj pravidelné päťuholníky a šesťuholníky.

Konkávny polygón

Konkávny mnohouholník má aspoň jeden vnútorný uhol, ktorý je reflexným uhlom a smeruje dovnútra. Konkávne polygóny majú minimálne štyri strany. Tento typ mnohouholníka má aspoň jeden vnútorný uhol merajúci viac ako 180°. V konkávnych polygónoch niektoré uhlopriečky presahujú mimo priložený obrázok. Príklady konkávnych mnohouholníkov zahŕňajú šípku alebo šípku v štvoruholníkoch, ako aj určité nepravidelné päťuholníky a šesťuholníky.

Rozdiel medzi konkávnymi a konvexnými polygónmi

Pozrime sa na rozdiel medzi konvexným a konkávnym polygónom v tabuľke nižšie:

Polygóny na základe hraníc

Polygóny možno kategorizovať na základe povahy ich hraníc do dvoch základných typov:

• Jednoduchý mnohouholník
• Komplexný polygón

Jednoduchý mnohouholník

Jednoduchý mnohouholník sa vyznačuje jedinečnou, nepretínajúcou sa hranicou. Inými slovami, neprekračuje samú seba a pozostáva z jednej hranice.

Jednoduché polygóny

diana ankudinová

Komplexný polygón

Na druhej strane je komplexný polygón definovaný samotným pretínaním. Vo svojej štruktúre pozostáva z viac ako jednej hranice. V komplexných polygónoch sa hranice pretínajú a vytvárajú v rámci polygónu viacero odlišných oblastí.

Komplexný polygón

Prečítajte si viac o Typy polygónov.

Polygónové vzorce

Existuje niekoľko vzorcov súvisiacich s polygónmi v geometrii. Medzi tie najpoužívanejšie patria:

• Plošný vzorec
• Vzorec obvodu
• Počet uhlopriečok

Všetky vzorce týkajúce sa rôznych polygónov sú diskutované nižšie:

Oblasť polygónov

Oblasť polygónu predstavuje celkový priestor, ktorý zaberá v dvojrozmernej rovine, je určený špecifickými vzorcami založenými na počte strán a klasifikácii polygónu. Vzorce oblasti sú nasledovné:

Obvod polygónov

Obvod dvojrozmerného tvaru predstavuje celkovú dĺžku jeho vonkajšej hranice. Pre polygóny sa obvod vypočíta takto:

Diagonála mnohouholníkového vzorca

Diagonála mnohouholníka je úsečka vytvorená spojením dvoch vrcholov, ktoré nie sú susediace.

Počet uhlopriečok v mnohouholníku = n(n−3)/2,

Kde „n“ predstavuje počet strán, ktoré má mnohouholník.

Prečítajte si viac o Diagonála mnohouholníkového vzorca .

Uhly v polygónoch

V geometrii sa uhly v mnohouholníkoch vzťahujú na uhly, ktoré tvoria strany mnohouholníka, a to vo vnútri aj vonku. V polygóne teda môžu byť oba uhly, t.j.

• Vnútorné uhly
• Vonkajšie uhly

Poďme diskutovať podrobne o vzorci pre tieto uhly takto:

Vzorec vnútorného uhla mnohouholníkov

Vnútorné uhly mnohouholníka sú tie, ktoré sú vytvorené medzi jeho priľahlými stranami a sú rovnaké v prípade pravidelného mnohouholníka. Počet vnútorných uhlov zodpovedá počtu strán v polygóne.

Súčet vnútorných uhlov „S“ v mnohouholníku so stranami „n“ sa vypočíta ako

S = (n – 2) x 180°

Kde „n“ predstavuje počet strán.

Vzorec vonkajšieho uhla mnohouholníkov

Každý vonkajší uhol pravidelného mnohouholníka je vytvorený predĺžením jednej z jeho strán (buď v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek) a zmeraním uhla medzi týmto predĺžením a priľahlou stranou. V pravidelnom mnohouholníku sú všetky vonkajšie uhly rovnaké

Celkový súčet vonkajších uhlov v akomkoľvek polygóne je pevne stanovený na 360°

preto

Každý vonkajší uhol je daný 360°/n

Kde „n“ je počet strán.

Súčet vnútorných a zodpovedajúcich vonkajších uhlov v ktoromkoľvek vrchole mnohouholníka je vždy 180 stupňov, čo vyjadruje doplnkový vzťah:

Vnútorný uhol + Vonkajší uhol = 180°

Vonkajší uhol = 180° – Vnútorný uhol

Záver

• Polygón je uzavretý útvar ohraničený tromi alebo viacerými úsečkami
• Súčet vnútorných uhlov: Súčet všetkých vnútorných uhlov v n-strannom mnohouholníku je daný vzorcom (n–2)×180°.
• Počet uhlopriečok: Pre mnohouholník s n stranami sa počet uhlopriečok vypočíta pomocou vzorca n(n–3)/2.
• Trojuholníky tvorené uhlopriečkami: Počet trojuholníkov vytvorených spojením uhlopriečok z jedného rohu mnohouholníka je n–2.
• Vnútorný uhol pravidelného mnohouholníka: Veľkosť každého vnútorného uhla v n-strannom pravidelnom mnohouholníku je {(n–2)×180°}/n.
• Vonkajší uhol pravidelného mnohouholníka: Miera každého vonkajšieho uhla v n-strannom pravidelnom mnohouholníku je 360°/n.

Tiež si prečítajte

• Námestie
• Paralelogram
• Obdĺžnik

Vyriešené príklady polygónu v matematike

Príklad 1: Uvažujme štvoruholník so štyrmi stranami. Nájdite súčet všetkých jeho vnútorných uhlov štvoruholníka.

Riešenie:

Vzorec pre súčet vnútorných uhlov v n-strannom pravidelnom mnohouholníku = (n − 2) × 180°

Súčet všetkých vnútorných uhlov štvoruholníka = (4 – 2) × 180°

Súčet všetkých vnútorných uhlov štvoruholníka = 2 × 180°

Súčet všetkých vnútorných uhlov štvoruholníka = 360°

Preto je súčet všetkých vnútorných uhlov štvoruholníka 360°.

Príklad 2: Uvažujme pravidelný mnohouholník s daným pomerom vonkajších a vnútorných uhlov 7:3. Určite typ mnohouholníka.

Riešenie:

Pomer vonkajšieho a vnútorného uhla je 7:3.

Predpokladajme, že vonkajší a vnútorný uhol mnohouholníka je 7x a 3x.

Súčet vonkajších a vnútorných uhlov akéhokoľvek mnohouholníka je 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Vonkajší uhol = 18°

Počet strán = 360°/vonkajší uhol

= 360°/18°

= 20

Daný mnohouholník je teda ikosagon, keďže má 20 strán.

Príklad 3: Každý vonkajší uhol mnohouholníka meria 90 stupňov, určte typ mnohouholníka?

Riešenie:

rovná sa reťazec v jazyku Java

Podľa vzorca je každý vonkajší uhol = 360°/n

Tu n = počet strán.

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

Polygón, o ktorý ide, je teda štvoruholník, pretože má štyri strany.

Príklad 4: Strany sú 10 m, 10 m, 8 m, 8 m, 5 m, 5 m, 9 m, 9 m. Koľko metrov lana bude potrebných na obvod?

Riešenie:

Aby sme našli dĺžku lana potrebnú na obvod, musíme sčítať dĺžky všetkých strán:

Obvod = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

Obvod = 64 m.

Na Perimeter teda bude potrebných celkovo 64 metrov lana.

Cvičné otázky o mnohouholníkoch v geometrii

Nasleduje niekoľko praktických otázok založených na vzorci mnohouholníkov:

Q1. Daný jeden uhol päťuholníka je 140°, určte veľkosť najväčšieho uhla, ak sú zvyšné uhly v pomere 1:2:3:4.

Q2. Ak je súčet vnútorných uhlov mnohouholníka 160°, nájdite počet strán mnohouholníka.

Q3. Počet strán dvoch pravidelných mnohouholníkov je v pomere 2:3 a pomer ich vnútorných uhlov je 4:5. Nájdite príslušný počet strán týchto mnohouholníkov.

Q4. Určte celkový súčet uhlov v sedemuholníku.

Q5. Vypočítajte súčet vonkajších uhlov v päťuholníku.

Q6. Koľko strán má šesťuholník?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

Q7. Ktorá z nasledujúcich možností nie je pravidelným mnohouholníkom?

1. Trojuholník
2. Námestie
3. Pentagon
4. Paralelogram

Časté otázky o mnohouholníkoch v matematike

Čo je to mnohouholník v matematike?

V matematike sa mnohouholník vzťahuje na uzavretý dvojrozmerný útvar vytvorený spojením troch alebo viacerých priamych čiar. Termín mnohouholník je odvodený z gréckeho jazyka, pričom poly- znamená mnoho a gon predstavuje uhol.

Ktorý je najmenší polygón?

Najmenší vytvorený mnohouholník je trojuholník s tromi stranami.

Čo je 20-uholník?

20-uholník je v geometrii dvadsaťstranný mnohouholník.

Aký je celkový súčet vonkajších uhlov mnohouholníka?

Súčet vonkajších uhlov mnohouholníka je 360°.

Môže byť kruh klasifikovaný ako mnohouholník?

Polygón je uzavretý tvar vytvorený z priamych segmentov. Kruh je uzavretý obrazec, ale je vyrobený z krivky. Kruh teda nie je mnohouholník.

Aký je súčet vnútorného uhla mnohouholníka?

Súčet vnútorného uhla mnohouholníka je daný vzťahom (n–2)×180°, kde n je počet strán mnohouholníka.