Derivačné vzorce v kalkule sú jedným z dôležitých nástrojov počtu, pretože derivačné vzorce sa široko používajú na ľahké nájdenie derivátov rôznych funkcií a tiež nám pomáhajú preskúmať rôzne oblasti matematiky, inžinierstva atď.

Tento článok skúma všetky odvodené vzorce úzko zahŕňajúce všeobecný derivačný vzorec, derivačné vzorce pre logaritmické a exponenciálne funkcie, derivačné vzorce pre trigonometrické pomery, derivačné vzorce pre inverzné trigonometrické pomery a derivačné vzorce pre hyperbolické funkcie. Vzorec odvodenia je dôležitý pre študentov triedy 12 pri ich skúške. Budeme tiež riešiť niektoré príklady derivácií pomocou rôznych derivačných vzorcov. Pozrime sa bližšie na tému odvodený vzorec.

Obsah

bash inak ak

• Čo je derivát?
• Čo sú odvodené vzorce?
• Základné derivačné vzorce – pravidlá derivácie v kalkule
• Zoznam odvodených vzorcov
• Niektoré ďalšie odvodené vzorce
• Ako nájsť deriváty?
• Aplikácie odvodeného vzorca

Čo je derivát?

The deriváty predstavujú mieru funkcie vzhľadom na akúkoľvek premennú. Derivácia funkcie f(x) je označená ako f'(x) alebo (d/dx) [f(x)]. Proces hľadania derivátov sa nazýva diferenciácia.

Najzákladnejším derivačným vzorcom je definícia derivátu, ktorý je definovaný ako:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Existujú rôzne derivačné vzorce vrátane všeobecných derivačných vzorcov, derivačných vzorcov pre goniometrické funkcie a derivačných vzorcov pre inverzné goniometrické funkcie atď.

Prečítajte si podrobne: Počet v matematike

Čo sú odvodené vzorce?

Derivačné vzorce sú tie matematické výrazy, ktoré nám pomáhajú vypočítať deriváciu nejakej špecifickej funkcie vzhľadom na jej nezávislú premennú. Jednoducho povedané, vzorce, ktoré pomáhajú pri hľadaní derivátov, sa nazývajú odvodené vzorce. Existuje viacero odvodených vzorcov pre rôzne funkcie.

Príklady odvodeného vzorca

Niektoré príklady vzorcov pre deriváty sú uvedené takto:

• Pravidlo výkonu: Ak f(x) = xⁿ, kde n je konštanta, potom je derivácia daná vzťahom:

f'(x) = nx ^n-1

• Konštantné pravidlo: Ak f(x) = c, kde c je konštanta, potom je derivácia nula:

f'(x) = 0

• Exponenciálne funkcie: Ak f(x) = e^X, potom:

f'(x) = e ^X

Poďme diskutovať o všetkých vzorcoch súvisiacich s derivátom štruktúrovaným spôsobom.

Základné derivačné vzorce – pravidlá derivácie v kalkule

Niektoré z najzákladnejších vzorcov na nájdenie derivátov sú:

• Konštantné pravidlo
• Pravidlo moci
• Pravidlo rozdielu súčtu
• Produktové pravidlo
• Podielové pravidlo
• Pravidlo reťaze

Poďme diskutovať o týchto pravidlách podrobne:

Konštantné pravidlo pre deriváty

Konštantné pravidlo pre deriváty je dané:

(d/dx) konštanta = 0

Pravidlo moci pre deriváty

Mocninné pravidlo pre deriváty je dané:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Pravidlo súčtu rozdielov pre deriváty

Pravidlo súčtu a rozdielu pre deriváty je dané:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produktové pravidlo pre deriváty

Produktové pravidlo pre deriváty je dané:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Kvocientové pravidlo pre deriváty

Podielové pravidlo pre deriváty je dané:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Pravidlo reťazca pre deriváty

Reťazové pravidlo pre deriváciu je dané:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Zoznam odvodených vzorcov

Odvodené vzorce pre rôzne funkcie sú uvedené nižšie:

Exponenciálne a logaritmické derivačné vzorce

Derivačné vzorce pre exponenciálne a logaritmické funkcie sú uvedené nižšie:

• (d/dx) e^X= a^X
• (d/dx) a^X= a^XV a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) log_ax= (1/x lna)

Čítaj viac,

• Logaritmy
• Derivácia exponenciálnych funkcií

Trigonometrické derivačné vzorce

Derivačné vzorce pre goniometrické funkcie sú uvedené nižšie:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) detská postieľka x = -cosec²X
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x detská postieľka x

Naučiť sa viac o Derivácia goniometrických funkcií .

Derivačný vzorec pre inverzné goniometrické funkcie

Derivačné vzorce pre inverzné goniometrické funkcie sú uvedené nižšie:

• (d/dx) bez^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) tak^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) detská postieľka^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) kosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Čítaj viac, Derivácia inverzných spúšťacích funkcií .

Derivát hyperbolických funkcií

Derivačné vzorce pre goniometrické funkcie sú uvedené nižšie:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = každý²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Niektoré ďalšie odvodené vzorce

Existujú niektoré ďalšie funkcie, ako sú implicitné funkcie, parametrické funkcie a deriváty vyššieho rádu, ktorých derivačné vzorce sú uvedené nižšie:

Implicitný odvodený vzorec

Metóda hľadania derivácie implicitnej funkcie sa nazýva implicitná diferenciácia. Vezmime si príklad, aby sme pochopili metódu implicitného hľadania derivátov.

ako spustiť skript na linuxe

Príklad: Nájdite deriváciu xy = 2

Riešenie:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Z danej rovnice y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

programovanie cobol

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Naučiť sa viac o Implicitná diferenciácia .

Parametrický derivačný vzorec

Ak je funkcia y(x) vyjadrená v podmienkach tretej premennej t a x a y môžu byť reprezentované v x = f(t) a y = g(t), potom sa tento typ funkcie nazýva parametrická funkcia.

Ak y je funkcia x a x = f(t) a y = g(t) sú dve diferencovateľné funkcie parametra t, potom je derivácia parametrickej funkcie daná vzťahom:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), takže (dx/dt) ≠ 0

Prečítajte si viac o Parametrická diferenciácia .

Derivátsky vzorec vyššieho rádu

Nájdenie derivácie funkcie pre viac ako jeden čas dáva deriváciu vyššieho rádu funkcie.

n ^th Derivát = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Prečítajte si viac o Derivát vyššieho rádu .

Ako nájsť deriváty?

Ak chcete nájsť deriváty funkcie, postupujte podľa nasledujúcich krokov:

• Najprv skontrolujte typ funkcie, či je algebraická, trigonometrická atď.
• Po nájdení typu použite na funkciu zodpovedajúce derivačné vzorce.
• Výsledná hodnota udáva deriváciu funkcie pomocou derivačného vzorca.

Aplikácie odvodeného vzorca

Existuje mnoho aplikácií odvodených vzorcov. Niektoré z týchto aplikácií sú uvedené nižšie:

• Deriváty sa používajú na zistenie rýchlosti zmeny v akomkoľvek množstve.
• Dá sa použiť na nájdenie maxím a miním.
• Používa sa pri zvyšovaní a znižovaní funkcií.

Ľudia si tiež prezerajú:

• Diferenciačné vzorce
• Diferenciačný a integračný vzorec
• Logaritmická diferenciácia

Vyriešené príklady odvodeného vzorca

Príklad 1: Nájdite deriváciu x ⁵ .

Riešenie:

Nech y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Príklad 2: Nájdite deriváciu log ₂ X.

čo je rom

Riešenie:

Nech y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Príklad 3: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = 8 . 6 ^X

Riešenie:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Príklad 4: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = 3sinx + 2x

Riešenie:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Príklad 5: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = 5cos ^-1 x + e ^X

Riešenie:

f(x) = 5cos^-1x + e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + a^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + a^X

Cvičné problémy s odvodeným vzorcom

Problém 1: Vyhodnoťte: (d/dx) [x⁴].

Problém 2: Nájdite deriváciu y = 5cos x.

Problém 3: Nájdite deriváciu y = cosec x + cot x.

Problém 4: Nájdite deriváciu f(x) = 4^X+ denník₃x + tak^-1X.

Problém 5: Vyhodnoťte: (d/dx) [40].

Problém 6: Nájdite deriváciu f(x) = x⁵+ 5x³+ 1.

Časté otázky o odvodenom vzorci

Čo je derivát?

Hodnota, ktorá predstavuje rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na akúkoľvek premennú, sa nazýva derivácia.

Ako sú zastúpené deriváty?

Derivácie sú reprezentované ako (d/dx) alebo ak f(x) je funkcia, potom derivácia f(x) je reprezentovaná ako f'(x).

Ako sa vypočíta derivácia konštanty?

Derivácia konštanty je vždy nula. V matematickom zápise, ak „C“ je konštanta, potom dC/dx = 0.

Napíšte všeobecný vzorec odvodenia xⁿ.

Všeobecný vzorec pre deriváciu xⁿ= nx^n-1.

koľko miest USA

Ako vypočítať deriváty funkcie?

Na výpočet derivácií funkcie môžeme použiť derivačný vzorec podľa danej funkcie.

Aký je vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie?

Derivácia funkcie prirodzeného logaritmu, ln(x), je 1/x. V matematickom zápise, ak y = ln(x), potom dy/dx = 1/x.

Ktorý vzorec sa používa na nájdenie derivácie exponenciálnych funkcií?

Derivácia exponenciálnej funkcie, y = a^X(kde „a“ je konštanta), sa zistí pomocou vzorca dy/dx = a^X× ln(a).

Čo sú deriváty vyššieho rádu?

Deriváty vyššieho rádu sú derivácie funkcie prevzatej viackrát. Druhá derivácia je derivátom prvej, tretia je deriváciou druhej atď.

Čo je odvodený vzorec pre napr^X?

Derivácia funkcie f(x) = e^X(kde „e“ je Eulerovo číslo, približne 2,71828) je jednoducho f'(x) = e^X.

Napíšte vzorec odvodenia pre u/v.

Derivácia podielu dvoch funkcií u(x) a v(x) je daná pravidlom kvocientu:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Čo je odvodený vzorec pre 1/x?

Derivácia funkcie f(x) = 1/x je daná vzťahom:

f'(x) = -1/x ²