Derivácia inverznej trigonometrickej funkcie sa týka rýchlosti zmeny inverzných goniometrických funkcií. Vieme, že derivácia funkcie je rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na nezávislú premennú. Predtým, ako sa to naučíte, mali by ste poznať vzorce diferenciácie goniometrických funkcií. Aby sme našli deriváciu inverznej goniometrickej funkcie, najprv prirovnáme goniometrickú funkciu k inej premennej, aby sme našli jej inverznú hodnotu, a potom ju diferencujeme pomocou implicitného derivačného vzorca.

V tomto článku sa naučíme D derivát inverzných spúšťacích funkcií, vzorce diferenciácie inverzných spúšťacích funkcií, a na základe toho vyriešte niekoľko príkladov. Ale predtým, než sa vydáme vpred, oprášme koncept i inverzné goniometrické funkcie a implicitná diferenciácia.

• Inverzné goniometrické funkcie
• Čo je to implicitná diferenciácia?
• Čo je to derivát inverzných goniometrických funkcií?
• Dôkaz derivácie inverzných spúšťacích funkcií
• Vzorec inverznej spúšte
• Príklady derivátov inverzného spúšťania

Inverzné goniometrické funkcie

Inverzné goniometrické funkcie sú inverzné funkcie trigonometrických pomerov, t.j. sin, cos, tan, cot, sec a cosec. Tieto funkcie sú široko používané v oblastiach ako fyzika, matematika, inžinierstvo a ďalšie výskumné oblasti. Rovnako ako sčítanie a odčítanie sú vzájomnými inverziami, to isté platí pre inverzné funkcie goniometrických funkcií.

bez θ = x

⇒ i = s v ⁻¹ X ​

Reprezentácia inverzných goniometrických funkcií

Sú reprezentované pridaním oblúk v predpone alebo pridaním -1 k mocnine.

Inverzný sínus možno zapísať dvoma spôsobmi:

• bez^-1X
• arcsin x

To isté platí pre cos a tan.

Poznámka: Nepleťte si hriech^-1x s (hriechom x)^-1. Sú rôzne. Písanie hriechu^-1x je spôsob, ako zapísať inverzný sínus, zatiaľ čo (sin x)^-1znamená 1/sin x.

Oblasť inverzných goniometrických funkcií

Vieme, že funkcia je diferencovateľná iba vtedy, ak je v tomto bode spojitá a ak je funkcia v danom bode spojitá, potom je tento bod definičným oborom funkcie. Preto by sme sa mali naučiť doménu inverzných goniometrických funkcií pre to isté.

Teraz sa stručne naučíme techniku ​​implicitnej diferenciácie.

Čo je implicitná diferenciácia?

Implicitná diferenciácia je metóda, ktorá využíva reťazové pravidlo na rozlíšenie implicitne definovaných funkcií. Implicitná funkcia je funkcia, ktorá obsahuje dve premenné a nie jednu premennú. V takom prípade niekedy môžeme konvertovať funkciu na jednu premennú explicitne, ale nie vždy to tak je. Pretože vo všeobecnosti nie je ľahké funkciu explicitne nájsť a potom ju rozlíšiť. Namiesto toho môžeme úplne diferencovať f(x, y), t.j. obe premenné a potom vyriešiť zvyšok rovnice, aby sme našli hodnotu f'(x).

Prečítajte si podrobne: Počet v matematike

Čo je to derivát inverzných goniometrických funkcií?

Derivácia inverznej trigonometrie je deriváciou inverzných goniometrických funkcií. Je ich šesť goniometrické funkcie a pre každú z týchto goniometrických funkcií existuje inverzná funkcia. Toto sú hriechy^-1x, cos^-1x, teda^-1x, kosec^-1x, sek^-1x, detská postieľka^-1X. Deriváciu inverzných goniometrických funkcií môžeme nájsť pomocou metódy implicitnej diferenciácie. Najprv sa naučme, aké sú deriváty inverzných goniometrických funkcií.

• Derivát hriechu^-1x je d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) pre všetky x ϵ (-1, 1)
• Derivát od cos^-1x je d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) pre všetky x ϵ (-1, 1)
• Derivát tan^-1x je d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) pre všetky x ϵ R
• Derivát cosec^-1x je d (kosec^-1x)/dx = -1/ pre všetky x ϵ R – [-1, 1]
• Derivát sek^-1x je d (sek^-1x)/dx = 1/x pre všetky x ϵ R – [-1, 1]
• Derivát postieľky^-1x je d (do postieľky^-1x)/dx = -1/(1 + x²) pre všetky x ϵ R

Obrázok inverznej trigonometrickej derivácie je priložený nižšie:

Teraz sme sa naučili, aké sú derivácie všetkých šiestich inverzných goniometrických funkcií, teraz sa naučíme, ako nájsť deriváciu šiestich inverzných trigonometrických funkcií.

Dôkaz derivácie inverzných spúšťacích funkcií

Inverzné goniometrické funkcie môžeme diferencovať pomocou prvého princípu a tiež pomocou implicitného diferenciačného vzorca, ktorý zahŕňa aj použitie reťazového pravidla. Nájsť deriváciu inverzných goniometrických funkcií pomocou prvého princípu je zdĺhavý proces. V tomto článku sa naučíme, ako diferencovať inverzné goniometrické funkcie pomocou implicitnej derivácie. Pomocou nasledujúcich krokov môžeme nájsť deriváciu (dy/dx) inverzných spúšťacích funkcií

Krok 1: Predpokladajme goniometrické funkcie v tvare sin y = x

Krok 2: Nájdite deriváciu vyššie uvedenej funkcie pomocou implicitnej diferenciácie

Krok 3: Vypočítajte dy/dx

Krok 4: Nahraďte hodnotu goniometrickej funkcie prítomnej v kroku 3 pomocou goniometrických identít.

Derivácia sin inverznej x

Predpokladajme sin y = x

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x

⇒ cos and. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Keďže vieme, že Sin²a + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – hriech²a

pripojiť k databáze java

⇒ útulný = √(1 – hriech²y) = √(1 – x²) keďže máme sin y = x

Uvedenie tejto hodnoty cos y do rovnice (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²), kde y = hriech^-1X

Derivácia cos inverznej X

Predpokladajme cos y = x

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x

⇒ -bez a. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Keďže vieme, že Sin²a + Cos²y = 1

⇒ bez²y = 1 – cos²a

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) keďže máme cos y = x

Uvedením tejto hodnoty sin y do rovnice (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²), kde y = cos^-1X

Derivát tan inverznej X

Predpokladajme, že tan y = x

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x

⇒ sek²r. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec²a →(i)

Keďže vieme, že sek²a tak²y = 1

⇒ sek²y = 1 + tan²a

⇒ sek²y = (1 + tan²y) = (1 + x²), keďže máme tan y = x

Uvedením tejto hodnoty sek²y v rovnici (i)

dy/dx = 1/(1 + x²), kde y = tan^-1X

Derivát inverznej X

Predpokladajme, že čot y = x

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x

⇒ -cosec²r. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/kosek²a →(i)

Keďže vieme, že csec²a – detská postieľka²y = 1

⇒ kosec²y = 1 + postieľka²a

⇒ kosec²y = (1 + postieľka²y) = (1 + x²) keďže máme detskú postieľku y = x

Uvedením tejto hodnoty cosec²y v rovnici (i)

dy/dx = -1/(1 + x²), kde y = detská postieľka^-1X

Derivát sek. inverznej hodnoty X

Predpokladajme, že sek y = x

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x

⇒ sek y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Keďže vieme, že sek²a tak²y = 1

⇒ teda²y = sek²a – 1

⇒ tan y = √ (sek²y – 1) = √(x²– 1) keďže máme sek y = x

Uvedením tejto hodnoty tan y do rovnice (i)

dy/dx = 1/x, kde sek y = x a y = sek^-1X

Derivát cosec inverznej X

Predpokladajme cosec y = x

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Keďže vieme, že cosec²a – detská postieľka²y = 1

⇒ detská postieľka²y = kosec²a – 1

⇒ detská postieľka y = √(kosec²y – 1) = √(x²– 1) keďže máme cosec y = x

Uvedením tejto hodnoty tan y do rovnice (i)

dy/dx = -1/x, kde cosec y = x a y = cosec^-1X

Vzorec inverznej spúšte

Teraz sme sa naučili, ako diferencovať inverzné goniometrické funkcie, a preto sa teraz pozrieme na vzorce pre deriváciu inverzných goniometrických funkcií, ktoré možno použiť priamo v úlohách. Nižšie je uvedená tabuľka derivácie vzorca inverznej goniometrickej funkcie.

Čítaj viac,

• Derivát v parametrickej forme
• Odvodené vzorce
• Aplikácia derivátu
• Derivácia exponenciálnej funkcie

Príklady derivátov inverzného spúšťania

Príklad 1: Rozlišujte hriech ^-1 (X)?

Riešenie:

nech, a = bez ⁻¹( X )

Ak vezmeme sínus na oboch stranách rovnice,

hriech y = hriech (hriech^-1X)

Podľa vlastnosti inverznej trigonometrie vieme, sin(sin^-1x) = x

hriech y = x

Teraz rozlišujeme obe strany wrt na x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Môžeme to ešte zjednodušiť pomocou nasledujúceho pozorovania:

bez²a + cos²y = 1

X²+ cos²y = 1 {Ako hriech y = x}

hostiteľský linux

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Nahradením hodnoty dostaneme

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Príklad 2: Diferencujte cos ^-1 (X)?

Riešenie:

nech,

a = cos⁻¹( X )

Ak vezmeme kosínus na obe strany rovnice,

cos y = cos(cos^-1X)

Podľa vlastnosti inverznej trigonometrie vieme, že cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Teraz rozlišujeme obe strany wrt na x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Môžeme to ešte zjednodušiť pomocou nasledujúceho pozorovania:

bez²a + cos²y = 1

bez²y + x²= 1 {Ako cos y = x}

bez²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Nahradením hodnoty dostaneme

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Príklad 3: Rozlíšenie opálenia ^-1 (X)?

Riešenie:

nech, a = tak⁻¹( X )

Opálenie na oboch stranách rovnice dáva,

tan y = tan(tan^-1X)

Podľa vlastnosti inverznej trigonometrie poznáme tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Teraz rozlišujeme obe strany wrt na x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sec²X

Môžeme to ešte zjednodušiť pomocou nasledujúceho pozorovania:

sek²a tak²y = 1

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Nahradením hodnoty dostaneme

dy/dx = 1/s²a

dy/dx = 1/(1 + x²)

Príklad 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Nájdite dy/dx na x = 1/2?

Riešenie:

Metóda 1 (pomocou implicitnej diferenciácie)

Vzhľadom na to, a = cos ⁻¹(-2 X ²)

⇒ cos a = -2 X ²

Rozlíšenie oboch strán wrt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Zjednodušenie

bez²a + cos²y = 1

bez²a + (-2x²)²= 1 {Ako cos y = -2x²}

bez²y + 4x⁴= 1

bez²y = 1 – 4x⁴

sin y = √ (1 – 4x⁴)

Vložením získanej hodnoty dostaneme,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metóda 2 (pomocou reťazového pravidla, pretože poznáme diferenciáciu cos inverznej x)

Vzhľadom na to, a = cos ⁻¹(-2 X ²)

Rozlíšenie oboch strán wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Príklad 5: Diferencujte egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Riešenia:

nech,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Rozlíšenie oboch strán wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Otázky odvodenia inverznej spúšte

Vyskúšajte nasledujúce otázky o otázkach týkajúcich sa derivátov inverznej spúšte

Q1: Rozlišujte hriech ^-1 (3x – 4x ³ ) pre x ϵ -1/2