Kvocientové pravidlo je metóda na nájdenie derivácie funkcie, ktorá je podielom dvoch ďalších funkcií. Je to metóda používaná na rozlišovanie problémov, kde jedna funkcia je rozdelená druhou. Kvocientové pravidlo používame, keď musíme nájsť deriváciu funkcie v tvare: f(x)/g(x).

Dozvieme sa o podielovom pravidle v kalkule, jeho vzorci a odvodení pomocou vyriešených príkladov.

Definícia kvocientového pravidla

Kvocientové pravidlo je pravidlo diferenciácie z tých funkcií, ktoré sú uvedené vo forme zlomky , kde obaja čitateľ a menovateľ sú jednotlivé funkcie. Kvocientové pravidlo je základnou technikou kalkul na nájdenie derivácie funkcie, ktorá je kvocientom (pomerom) dvoch diferencovateľné funkcie . Poskytuje metódu na rozlíšenie výrazov, kde je jedna funkcia rozdelená na druhú.

Predpokladajme, že máme danú funkciu f(x) = g(x)/h(x), potom a diferenciácia f(x), f'(x) sa nájde ako,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Vzorec kvocientového pravidla

Vzorec kvocientového pravidla je vzorec, ktorý sa používa na nájdenie diferenciácie funkcie, ktorá je vyjadrená ako kvocientová funkcia. Nižšie je uvedený vzorec kvocientového pravidla,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Kde,

• u(x) je prvá funkcia, ktorá je diferencovateľnou funkciou,
• u'(x) je derivácia funkcie u(x),
• v(x) je druhá funkcia, ktorá je diferencovateľnou funkciou a
• v'(x) je derivácia funkcie v(x).

Dôkaz podielového pravidla

Pravidlo podielu môžeme odvodiť pomocou nasledujúcich metód:

• Použitie pravidla reťazca
• Použitie implicitnej diferenciácie
• Použitie derivačných a limitných vlastností

Teraz sa o nich dozvieme podrobne.

Odvodenie kvocientového pravidla pomocou reťazového pravidla

Dokázať: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Vzhľadom na to: H(x) = f(x)/g(x)

dôkaz:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Pomocou pravidla produktu,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Použitie pravidla moci,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Tak je dokázané kvocientové pravidlo.

Čítaj viac:

• Pravidlo reťaze

Odvodenie kvocientového pravidla pomocou implicitnej diferenciácie

Zoberme si diferencovateľnú funkciu f(x), takú, že f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

pomocou pravidla produktu,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Teraz riešenie pre f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Nahradením hodnoty f(x) ako, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Tak je dokázané kvocientové pravidlo.

Čítaj viac

• Implicitná diferenciácia

Odvodenie kvocientového pravidla pomocou derivačných a limitných vlastností

Zoberme si diferencovateľnú funkciu f(x) takú, že f(x) = u(x)/v(x),

My to vieme,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Nahradením hodnoty f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Rozdelenie limitu,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{101} 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{101} 1/v²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{101} 1/v²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Čo je požadované kvocientové pravidlo.

Čítaj viac

• Vlastnosti limitov
• Pravidlá derivátov

Ako používať kvocientové pravidlo pri diferenciácii?

Ak chcete použiť pravidlo podielu, postupujte podľa nasledujúcich krokov:

Krok 1: Jednotlivé funkcie zapíšte ako u(x) a v(x).

Krok 2: Nájdite deriváciu individuálnej funkcie u(x) a v(x), t.j. nájdite u'(x) a v'(x). Teraz použite vzorec kvocientového pravidla,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Krok 3: Zjednodušte vyššie uvedenú rovnicu a dostanete deriváciu f(x).

Tento koncept môžeme pochopiť pomocou príkladu.

Príklad: Nájdite f'(x), ak f(x) = 2x ³ /(x+2)

Vzhľadom na to,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Porovnaním s f(x) = u(x)/v(x) dostaneme

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Teraz rozlišujeme u(x) a v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Pomocou pravidla podielu,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​)/(x + 1)²

Pravidlo produktu a podielu

Súčinové pravidlo diferenciácie sa používa na nájdenie diferenciácie funkcie, keď je funkcia daná ako súčin dvoch funkcií.

Produktové pravidlo diferenciácie uvádza, že ak P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Zatiaľ čo kvocientové pravidlo diferenciácie sa používa na diferenciáciu funkcie, ktorá je reprezentovaná ako rozdelenie dvoch funkcií, t.j. f(x) = p(x)/q(x).

Potom odvodenie f(x) pomocou kvocientové pravidlo sa počíta ako,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Musíte prečítať

• Produktové pravidlo v kalkule
• Pravidlo reťaze
• Diferenciačný a integračný vzorec
• Logaritmická diferenciácia
• Základy kalkulu
• Aplikácia derivátov

Príklady kvocientových pravidiel

Poďme vyriešiť niekoľko vzorových otázok o pravidle podielu.

Príklad 1: Diferencujte old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Riešenie:

Funkcie Čitateľ aj Menovateľ sú diferencovateľné.

Použitie pravidla podielu,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Príklad 2: Diferencujte, f(x) = tan x.

Riešenie:

tan x sa píše ako sinx/cosx, t.j.

tan x = (hriech x) / (cos x)

Funkcie Čitateľ aj Menovateľ sú diferencovateľné.

Použitie pravidla podielu,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Príklad 3: Diferencujte, f(x)= e ^X /X ²

Riešenie:

Funkcie Čitateľ aj Menovateľ sú diferencovateľné.

Uplatnenie podielového pravidla,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Príklad 4: Diferencujte, y=frac{cosx}{x^2}

Riešenie:

Funkcie Čitateľ aj Menovateľ sú diferencovateľné.

Použitie pravidla podielu,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Príklad 5: Diferencujte, f(p) = p+5/p+7

Riešenie:

Funkcie Čitateľ aj Menovateľ sú diferencovateľné.

Použitie pravidla podielu,

java n-tice

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problémy s praxou

Tu je niekoľko praktických problémov týkajúcich sa Podielového pravidla, ktoré musíte vyriešiť.

P1. Nájdite deriváciu f(x) = (x ² + 3)/(bez x)

P2. Nájdite deriváciu f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Nájdite deriváciu f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Nájdite deriváciu f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Kvocientové pravidlo derivátu – často kladené otázky

Čo je to kvocientové pravidlo diferenciácie?

Kvocientové pravidlo diferenciácie je pravidlo, ktoré sa používa na nájdenie diferenciácie funkcie, ktorá je daná v kvocientovom tvare, t. j. funkcia zadaná ako delenie dvoch funkcií.

Čo je vzorec kvocientového pravidla?

Vzorec kvocientového pravidla je,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Tento vzorec udáva diferenciáciu funkcie, ktorá je reprezentovaná ako f(x)/g(x).

Ako odvodiť vzorec kvocientového pravidla?

Podielové pravidlo možno odvodiť pomocou troch metód,

• Podľa derivátových a limitných vlastností
• Implicitnou diferenciáciou
• Podľa pravidla reťazca

Ako používať kvocientové pravidlo?

Podielové pravidlo sa používa na nájdenie diferenciácie funkcie vyjadrenej ako rozdelenie dvoch funkcií, ktoré zahŕňa všetky funkcie tvaru f(x) a g(x) tak, že existuje individuálna diferenciácia f(x) a g(x). a g(x) nemôže byť nikdy nula.

Ako nájdete derivát funkcie delenia?

Deriváciu deliacej funkcie možno ľahko nájsť pomocou vzorca kvocientového pravidla, t.j. ak musíme nájsť diferenciáciu H(x) tak, že H(x) je vyjadrené ako H(x) = f(x)/g(x) potom je jeho derivát vyjadrený ako,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Čo je pravidlo limitu podielu?

Kvocientové pravidlo pre limity uvádza, že limita kvocientových funkcií sa rovná kvocientu limity každej funkcie.