Diferenciácia goniometrických funkcií je derivát goniometrických funkcií ako sin, cos, tan, cot, sec a cosec. Diferenciácia je dôležitou súčasťou kalkulu. Je definovaná ako rýchlosť zmeny jednej veličiny vzhľadom na inú veličinu. Diferenciácia goniometrických funkcií sa používa v reálnom živote v rôznych oblastiach, ako sú počítače, elektronika a matematika.

V tomto článku sa dozvieme o diferenciácii goniometrických funkcií spolu so vzorcami, ich súvisiacimi dôkazmi a ich aplikáciami. Tiež vyriešime niekoľko príkladov a dostaneme odpovede na niektoré často kladené otázky o diferenciácii goniometrických funkcií. Začnime naše učenie na tému Diferenciácia goniometrických funkcií.

Čo je to diferenciácia?

Diferenciácia funkcie je rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na akúkoľvek premennú. The derivát z f(x) sa označuje ako f'(x) alebo (d/dx)[f(x)].

Postup diferenciácie goniometrické funkcie sa nazýva diferenciácia goniometrických funkcií. Inými slovami, zistenie rýchlosti zmeny goniometrických funkcií vzhľadom na uhly sa nazýva diferenciácia goniometrickej funkcie.

Šesť základných goniometrických funkcií sú sin, cos, tan, cosec, sec a cot. Nájdeme derivácie všetkých goniometrických funkcií s ich vzorcami a dôkazom.

Diferenciačné pravidlo pre goniometrické funkcie

Rozdelenie šiestich základných goniometrických funkcií je nasledovné:

Dôkaz derivácie týchto šiestich goniometrických funkcií môžete skontrolovať na nižšie uvedených odkazoch:

Vzorec dôkazu o derivácii goniometrických funkcií

Ako bolo uvedené vyššie pri vzorcoch pre všetky goniometrické funkcie, teraz dokážeme vyššie uvedené vzorce derivácie goniometrických funkcií pomocou prvého princípu derivácie, podielového pravidla a reťazového pravidla pomocou limity.

Diferenciácia hriechu (x)

Na dokázanie derivácie sin x použijeme prvý princíp diferenciácie a niekoľko základných goniometrických identít a limitov. Vzorec goniometrických identít a limitov, ktorý sa používa v dôkaze, je uvedený nižšie:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Začnime s dôkazom pre deriváciu goniometrickej funkcie sin x

Podľa prvého princípu diferenciácie

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + limit_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0. sin x + 1. cos x [pomocou 2 a 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Preto je diferenciácia hriechu x cos x.

Diferenciácia cos(x)

Na dôkaz derivácie cos x použijeme prvý princíp diferenciácie a niekoľko základných goniometrických identít a limít. Vzorec goniometrických identít a limitov, ktorý sa používa v dôkaze, je uvedený nižšie:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Začnime s dôkazom pre deriváciu goniometrickej funkcie cos x

Podľa prvého princípu diferenciácie

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = limit_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = limit_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = limit_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – limit_h→0[(bez h/h) bez x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [pomocou 2 a 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Preto je diferenciácia cos x -sin x.

Diferenciácia tan(x)

Na dôkaz derivácie tan x použijeme kvocientové pravidlo a niekoľko základných goniometrických identít a limitov. Vzorec goniometrických identít a limitov, ktorý sa používa v dôkaze, je uvedený nižšie:

1. tan x = hriech x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + hriech²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Začnime s dôkazom na deriváciu goniometrickej funkcie tan x

Keďže podľa (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Pomocou pravidla podielu

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [o 4 a 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + hriech²x] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [o 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² X [Do 2]

Preto je diferenciácia tan x sek ² X.

Diferenciácia cosec(x)

Na dôkaz derivácie cosec x použijeme reťazové pravidlo a niekoľko základných goniometrických identít a limitov. Vzorec goniometrických identít a limitov, ktorý sa používa v dôkaze, je uvedený nižšie:

1. detská postieľka x = cos x / hriech x
2. cosec x = 1 / hriech x
3. (d/dx) sin x = cos x

Začnime s dôkazom pre deriváciu goniometrickej funkcie cosec x

(d/dx) kosec x = (d/dx) [1 / sin x] [o 2]

Použitie reťazového pravidla

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] čos x

⇒ (d/dx) kosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x postieľka x [o 1 a 2]

Preto je diferenciácia cosec x – cosec x cot x.

Diferenciácia sek(x)

Na dôkaz derivácie sek x použijeme kvocientové pravidlo a nejaké základné trigonometrické identity a limitný vzorec . Vzorec goniometrických identít a limitov, ktorý sa používa v dôkaze, je uvedený nižšie:

1. tan x = hriech x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Začnime dôkazom pre deriváciu goniometrickej funkcie sec x

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [o 2]

Použitie reťazového pravidla

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (-bez x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x [o 1 a 2]

Preto je diferenciácia sek x sek x tan x.

Diferenciácia postieľok (x)

Na dôkaz derivácie cot x použijeme kvocientové pravidlo a niekoľko základných goniometrických identít a limitov. Vzorec goniometrických identít a limitov, ktorý sa používa v dôkaze, je uvedený nižšie:

1. detská postieľka x = cos x / hriech x
2. cosec x = 1 / hriech x
3. cos²x + hriech²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Začnime s dôkazom pre diferenciáciu goniometrickej funkcie cot x

Keďže podľa (1)

detská postieľka x = cos x / hriech x

(d/dx) detská postieľka x = (d/dx)[cosx / hriech x]

Pomocou pravidla podielu

(d/dx) detská postieľka x = [{(d/dx)cosx} hriech x – {(d/dx) hriech x} cos x] / hriech²X

⇒ (d/dx) detská postieľka x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [o 4 a 5]

⇒ (d/dx) detská postieľka x = [ -sin²x – cos²x] / hriech²X

⇒ (d/dx) detská postieľka x = -[ sin²x + cos²x] / hriech²X

⇒ (d/dx) detská postieľka x = -1 / sin²x [o 3]

⇒ (d/dx) detská postieľka x = -cosec ² X [Do 2]

Preto je rozlíšenie detskej postieľky x -cosec ² X.

Niektoré ďalšie deriváty spúšťacej funkcie

Diferenciáciu goniometrických funkcií je možné ľahko vykonať pomocou reťazového pravidla. Komplexné goniometrické funkcie a zložené goniometrické funkcie je možné riešiť aplikáciou reťazové pravidlo diferenciácie. V nasledujúcich nadpisoch budeme podrobnejšie študovať reťazové pravidlo a diferenciáciu zložených trig funkcií.

• Diferenciácia pomocou pravidla reťazca
• Diferenciácia funkcie Composite Trig

Poďme diskutovať o týchto témach podrobne.

susedné uhly

Reťazové pravidlo a goniometrická funkcia

Reťazové pravidlo hovorí, že ak p(q(x)) je funkcia, potom derivácia tejto funkcie je daná súčinom derivácie p(q(x)) a derivácie q(x). Na rozlíšenie sa používa reťazové pravidlo zložené funkcie . Reťazové pravidlo sa väčšinou používa na jednoduché rozlíšenie zložených spúšťacích funkcií.

Príklad: Nájdite deriváciu f(x) = tan 4x

Riešenie:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Aplikovaním reťazového pravidla

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x) (4)

Diferenciácia funkcie Composite Trig

Na vyhodnotenie diferenciácie zložených trig funkcií aplikujeme reťazové pravidlo diferenciácie. Zložené trig funkcie sú funkcie, v ktorých samotný uhol goniometrickej funkcie je funkciou. Diferenciáciu zložených goniometrických funkcií možno ľahko vyhodnotiť použitím reťazového pravidla a diferenciačných vzorcov pre trigové funkcie.

Príklad: Nájdite deriváciu f(x) = cos(x ² +4)

Riešenie:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Aplikovaním reťazového pravidla

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Čo sú inverzné goniometrické funkcie?

The inverzné goniometrické funkcie sú inverzné funkcie goniometrických funkcií. Existuje šesť inverzných goniometrických funkcií: hriech^-1, čos^-1, teda^-1, cosec^-1, sek^-1, detská postieľka^-1. Inverzné goniometrické funkcie sa tiež nazývajú oblúkové funkcie.

Diferenciácia inverzných goniometrických funkcií

Derivácie šiestich inverzných goniometrických funkcií sú nasledovné:

Príklad: Nájdite deriváciu f(x) = 3sin ^-1 x + 4 cos ^-1 X

Riešenie:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4 cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4kos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x]+ 4(d/dx) [kos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Aplikácie na diferenciáciu goniometrických funkcií

Existuje mnoho rôznych aplikácií diferenciácie goniometrických funkcií v reálnom živote. Nasledujú aplikácie diferenciácie goniometrických funkcií.

• Sklon dotyčnice a normály k trigonometrickej krivke možno určiť pomocou diferenciácie goniometrických funkcií.
• Môže sa použiť aj na určenie maxím a miním funkcie.
• Používa sa aj v oblasti počítačov a elektroniky.

Tiež skontrolujte

• Inverzný trigový derivát
• Antiderivát
• Diferenciačné vzorce

Vzorové problémy pri diferenciácii spúšťacích funkcií

Úloha 1: Nájdite deriváciu f(x) = tan 2x.

Riešenie:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Aplikovaním reťazového pravidla

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2 sekundy²2x

Úloha 2: Nájdite deriváciu y = cos x / (4x ² )

Riešenie:

y = cos x / (4x²)

Použitie pravidla podielu

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx) (4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Úloha 3: Vyhodnoťte deriváciu f(x) = cosec x + x tan x

Riešenie:

f(x) = kosec x + x tan x

Aplikovaním receptúry a pravidla produktu

f'(x) = (d/dx) kosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x postieľka x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x detská postieľka x + tan x + xsec²X

Úloha 4: Nájdite deriváciu funkcie f(x) = 6x ⁴ cos x

Riešenie:

f(x) = 6x⁴cos x

Aplikovaním produktového pravidla

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-bez x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴bez x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Úloha 5: Vyhodnoťte deriváciu: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Riešenie:

f(x) = (x + cos x) (1 – hriech x)

Aplikovaním produktového pravidla

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – hriech x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – hriech x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – hriech x)]

⇒ f'(x) = [(1 – hriech x) (1 – hriech x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – hriech x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + hriech²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Cvičné úlohy o diferenciácii goniometrických funkcií

Problém 1: Nájdite deriváciu y = sin(x) + cos(x).

Problém 2: Vypočítajte deriváciu y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problém 3: Nájdite deriváciu y = 2sin(3x).

Problém 4: Určte deriváciu y = tan(5x).

Problém 5: Nájdite deriváciu y = sin(x) cos(x).

Problém 6: Vypočítajte deriváciu y = cos²(X).

Problém 7: Určte deriváciu y = tan²(X).

Problém 8: Určte deriváciu y = tan(x) sek(x).

Časté otázky o diferenciácii goniometrických funkcií

Čo je to diferenciácia?

Diferenciácia je matematická operácia, ktorá počíta rýchlosť, ktorou sa funkcia mení vzhľadom na jej nezávislú premennú.

Čo je to goniometrická funkcia?

Goniometrické funkcie sú matematické funkcie, ktoré spájajú uhly pravouhlého trojuholníka s pomermi jeho strán.

Čo sú bežné goniometrické funkcie?

Bežné goniometrické funkcie zahŕňajú sínus (sin), kosínus (cos), tangens (tan), kosekans (cosec), sekans (sec) a kotangens (cot).

Definujte diferenciáciu goniometrických funkcií.

Metóda diferenciácie goniometrických funkcií sa nazýva derivácia goniometrických funkcií.

Ako rozlišujete sínusovú funkciu, tj sin (x)?

Derivát hriechu (x) je cos (x). V matematickom zápise d/dx(sin(x)) = cos(x).

Čo dostaneme po diferenciácii kosínusovej funkcie, t.j. cos (x)?

Derivát cos (x) je -sin (x). V matematickom zápise d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Ako diferencujete funkciu dotyčnice, tj tan (x)?

Derivát tan(x) je sek²(x), kde sec(x) je funkcia sečan. V matematickom zápise d/dx(tan(x)) = sek²(X).

Aké sú vzorce na diferenciáciu goniometrických funkcií?

Vzorec na diferenciáciu goniometrických funkcií je:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x detská postieľka x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) detská postieľka x = -cosec²X

Uveďte jeden príklad diferenciácie goniometrickej funkcie.

Uvažujme funkciu f(x) = 2sin(3x).

Pomocou reťazového pravidla

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos (3x)

Aké metódy sa používajú na odvodenie diferenciácie goniometrických funkcií?

Rôzne spôsoby, ktorými možno odvodiť vzorec pre deriváciu goniometrických funkcií, sú:

• Použitím prvého princípu derivátov
• Pomocou Podielové pravidlo
• Pomocou pravidla reťazca

Čo je antidiferenciácia goniometrických funkcií?

Anti-diferenciácia goniometrických funkcií znamená nájsť integráciu goniometrických funkcií.