Arctan je definovaná ako inverzná funkcia dotyčnice. Arctan(x) sa označuje ako tan^-1(X). Existuje šesť goniometrických funkcií a inverzná hodnota všetkých šiestich funkcií je potlačená ako hriech^-1x, cos^-1x, teda^-1x, kosec^-1x, sek^-1x a detská postieľka^-1X.

Arctan (opálenie^-1x) nie je podobné 1 / tan x. opálenie^-1x je prevrátená hodnota tan x, zatiaľ čo 1/ tan x je prevrátená hodnota tan x. opálenie^-1x sa používa na riešenie rôznych goniometrických rovníc. V tomto článku budeme podrobne študovať vzorec arktanovej funkcie, graf, vlastnosti a ďalšie.

Obsah

• Čo je Arctan?
• Čo je Arktan Formula?
• Arktánske identity
• Doména a rozsah Arktan
• Vlastnosti Arktanu (x).
• Arctanský stôl

Čo je Arctan?

Arcatan je opakom goniometrická funkcia tan x. Pomer kolmice a základne v pravouhlom trojuholníku sa nazýva goniometrická funkcia a jej inverzná funkcia dáva arktanovú funkciu. Toto sa vysvetľuje ako,

tan (π/4) = 1

⇒ π/4 = tan^-1(1)…(toto je arktánska funkcia)

Ak máme pravouhlý trojuholník s uhlom θ, potom tan θ je kolmica/základňa, potom arktanová funkcia je,

θ = tan ^-1 (kolmá/základňa)

Uč sa viac, Inverzná goniometrická funkcia

Čo je Arktan Formula?

Dotyčnica je goniometrická funkcia a v pravouhlom trojuholníku sa dotyčnica rovná pomeru kolmice a základne (kolmica/základňa).

Arctan je odkaz na inverznú funkciu dotyčnice. Symbolicky je arctan reprezentovaný tan^-1x v goniometrických rovniciach.

Definícia arktanského vzorca

Ako je uvedené vyššie, základný vzorec pre arktan je daný vzťahom, arktan (Komica/Základňa) = θ, kde θ je uhol medzi preponou a základňou pravouhlého trojuholníka. Tento vzorec používame pre arctan na nájdenie hodnoty uhla θ v stupňoch alebo radiánoch.

Predpokladajme, že dotyčnica uhla θ sa rovná x.

x = tan θ ⇒ θ = tan ^-1 X

Zoberme si pravouhlý trojuholník ABC s uhlom BCA ako θ. Strana AB je kolmá (p) a strana BC je základňa (b). Teraz, keď sme študovali, že dotyčnica sa rovná kolmici k základni.

t.j. tan θ = kolmica/základňa = p/b

príklady kódu c#

A pomocou vyššie uvedeného výrazu

θ = tan ^-1 (p/b)

Arktánske identity

Existujú rôzne arktanské identity, ktoré sa používajú na riešenie rôznych goniometrických rovníc. Niektoré z dôležitých arktanských identít sú uvedené nižšie,

• arctan(-x) = -arctan(x), pre všetky x ∈ R
• tan(arctan x) = x, pre všetky reálne čísla x
• arctan (tan x) = x, pre x ∈ (-π/2, π/2)
• arctan(1/x) = π/2 – arctan(x) = arccot(x), ak x> 0
• arctan(1/x) = -π/2 – arctan(x) = arccot(x) – π, ak x <0
• sin(arktan x) = x/ √(1+x²)
• cos(arktan x) = 1/ √(1+x²)
• arctan(x) = 2arctan {x/(1 + √(1+x²))}
• arctan(x) = ∫_O^X1/√ (1+z²)dz

Ako aplikovať Arctan Formula?

Arctan Formula sa používa pri riešení rôznych goniometrických problémov a to isté je vysvetlené v príklade pridanom nižšie.

Príklad: V pravouhlom trojuholníku PQR, ak je výška trojuholníka √3 jednotky a základňa trojuholníka je 1 jednotka. Nájdite uhol.

Ako nájsť uhol (θ)

θ = arktan (kolmý/výška)

θ = arktan (√3/1)

6 = 60°

Doména a rozsah Arktan

Všetky goniometrické funkcie vrátane tan (x) majú vzťah mnoho ku jednej. Inverzná funkcia funkcie však môže existovať iba vtedy, ak má vzťah jedna k jednej a on. Z tohto dôvodu musí byť doména tan x obmedzená, inak inverzná hodnota nemôže existovať. Inými slovami, goniometrická funkcia musí byť obmedzená na svoju hlavnú vetvu, pretože chceme iba jednu hodnotu.

• Doména arctan x je Reálne číslo
• Rozsah arctanu (x) je (-p/2, p/2)

Vieme, že definičný obor a obor goniometrickej funkcie sa konvertujú na rozsah a obor inverznej goniometrickej funkcie. Môžeme teda povedať, že doménou opálenia^-1x sú všetky reálne čísla a rozsah je (-π/2, π/2).

Zaujímavým faktom je, že arktanovú funkciu môžeme rozšíriť na komplexné čísla. V takom prípade budú doménou arctanu všetky komplexné čísla.

Vlastnosti Arktanu (x).

Vlastnosti Arctan x sa používajú na riešenie rôznych goniometrických rovníc. Existujú rôzne trigonometrické vlastnosti, ktoré je potrebné študovať na štúdium trigonometrie. Niektoré dôležité vlastnosti arctanovej funkcie sú uvedené nižšie v tomto článku:

• tak tak^-1x) = x
• tak^-1(-x) = -tan^-1X
• tak^-1(1/x) = detská postieľka^-1x, keď x> 0
• tak^-1x + tak^-1y = tak^-1[(x + y)/(1 – xy)], keď xy <1
• tak^-1x – teda^-1y = tak^-1[(x – y)/(1 + xy)], keď xy> -1
• tak^-1x + detská postieľka^-1x = π/2
• tak^-1(tan x) = x [keď x ∈ R – {x : x = (2n + 1) (π/2), kde n ∈ Z}]
• tak^-1(tan x) = x [keď x NIE JE nepárny násobok π/2. inak, tan^-1(tan x) nie je definované.]
• 2 tak^-1x = hriech^-1(2x / (1+x²)), keď |x| ≤ 1
• 2 tak^-1x = cos^-1((1-x²) / (1+x²)), keď x ≥ 0
• 2 tak^-1x = tan-1(2x / (1-x²)), keď -1

Arctanský stôl

Akýkoľvek uhol vyjadrený v stupňoch možno tiež previesť na radiány. Aby sme to dosiahli, vynásobíme hodnotu stupňa koeficientom π/180°. Okrem toho funkcia arctan berie ako vstup reálne číslo a vydáva zodpovedajúcu jedinečnú hodnotu uhla. Nižšie uvedená tabuľka podrobne uvádza hodnoty arktanových uhlov pre niektoré reálne čísla. Tie možno použiť aj pri vykresľovaní arktanového grafu.

Ako sme študovali vyššie, hodnotu arctanu možno odvodiť podľa stupňov alebo radiánov. Nižšie uvedená tabuľka teda ilustruje odhadované hodnoty arctanu.

Arctanský graf

Graf arktanovej funkcie je nekonečný graf. Definičný obor arktanu je R (reálne čísla) a rozsah arktanovej funkcie je (-π/2, π/2). Graf funkcie Arctan je diskutovaný nižšie na obrázku nižšie:

Graf je vytvorený pomocou hodnoty známych bodov pre funkciu y = tan^-1(X)

• x = ∞ ⇒ y = π/2
• x = √3 ⇒ y = π/3
• x = 1/√3 ⇒ y = π/6
• x = 0 ⇒ y = 0
• x = -1/√3 ⇒ y = -π/6
• x = -√3 ⇒ y = -π/3
• x = -∞ ⇒ y = -π/2

Arctan x Derivát

Derivát arktanu je veľmi dôležitý pre štúdium matematiky. Derivácia arktanovej funkcie sa vypočíta pomocou nasledujúceho konceptu:

y = arctan x (nech)…(1)

Opálenie na oboch stranách

tan y = tan (arctan x) [vieme, že tan (arctan x) = x]

tan y = x

Rozlíšenie oboch strán (pomocou reťazového pravidla)

sek²y × dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec²a

dy/dx = 1/ (1 + tan²y) {použitie, sek²y = 1 + tan²a}

d / dx (arktan x) = 1 / (1 + x ² )

Arktan Integral

Integrál arktanu je definovaný ako primitívna derivácia funkcie inverznej tangenty. Integrácia Arctan x je odvodená pomocou konceptu uvedeného nižšie,

Vezmime si f(x) = tan^-1x a g(x) = 1

Vieme, že ∫f(x)g(x)dx = f(x) ∫g(x)dx – ∫[d(f(x))/dx × ∫g(x) dx] dx

vložením hodnoty f(x) a g(x) do vyššie uvedenej rovnice dostaneme,

∫tan ^-1 x dx = x opálenie ^-1 x – ½ ln |1+x ² | + C

kde C je integračná konštanta

Arktan 0

Arctan 0 je 0. Môžeme tiež povedať, že tan^-1(x) = 0. Arktan(0) = 0

Arktan 2

Arctan 2 je 63,435. Môžeme to povedať aj opálení^-1(2) = 63,435. Teda Arctan(2) = 63,435.

Arctan Infinity

Arktánske nekonečno sa uvádza ako lim_x→∞tak^-1x = π/2.

Tiež skontrolujte

• Trigonometrická tabuľka
• Trigonometrické pomery
• Trigonometrické identity

Arktanské príklady

Príklad 1: Zhodnoťte sa ^-1 (1).

Riešenie:

tak^-1(1)

Hodnotu 1 je možné zapísať aj ako,

1 = hnedá (45°)

teraz

tak^-1(1) = tak^-1(tan 45°) = 45°

Príklad 2: Zhodnoťte sa ^-1 (1,732).

Riešenie:

tak^-1(1 732)

Hodnota 1,732 môže byť tiež zapísaná ako

1,732 = tan (60°)

teraz

tak^-1(1,732) = tak^-1(tan 60°) = 60°

Príklad 3: Riešte tak ^-1 x + tak ^-1 1/x

príklad

Riešenie:

• My to vieme, tan^-1x + tak^-1y = tak^-1[(x + y)/(1 – xy)]

= tak^-1x + tak^-11/x

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – x × 1/x)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(1 – 1)]

= tak^-1[(x + 1/x)/(0)]

= tak^-1[∞]

= π/2

Príklad 4: Nájdite deriváciu tan ^-1 √x

Riešenie:

Vieme, že d/dx (tan^-1x) = 1 / (1 + x²)

⇒ d/dx (tak^-1√x)

Použitím Pravidlo reťaze

= 1 / (1 + [√x]²)

= 1 / (1+x) × d/dx(1/√x)

= 1/(1+x) × 1/2√x

= √x/{2x(x+1)}

Takže derivát d/dx (tan^-1√x) je √x/{2x(x+1)}

Otázky z praxe v Arctane

Q1. Nájdite derivát tan ^-1 (2x ² + 3)

Q2. Nájdite integrál opálenia ^-1 √x

Q3. Tak sa ohodnoťte ^-1 (10)

Q4. Riešiť tak ^-1 (x) + tan ^-1 (X ² )

Časté otázky o Arctane

1. Čo je Arktan?

Inverzná funkcia dotyčnice sa nazýva arktan. Označuje sa ako arctan x alebo tan^-1X. Vzorec používaný na určenie hodnoty arctanu je θ = tan ^-1 (X)

2. Nájdite derivát Arktanu.

Derivát arctanu je, d/dx (arktan x) = 1 / (1 + x ² )

3. Je funkcia Arctan inverzná k funkcii Tan?

Áno, arctanová funkcia je inverzná funkcia opálenia. Ak, tan x = y ako x = tan^-1a

4. Je Arctan podobný ako Cot?

Nie, arctan nie je podobný detskej postieľke. Postieľka je recipročná s funkciou opálenia. t.j. tan x = 1/cot x, zatiaľ čo Arctan je inverzný k funkcii tan arctan x = tan^-1X

5. Čo je Arctan of Infinity?

Ako už vieme, že hodnota tan (π/2) = ∞. Arctan je teda inverzná funkcia tan, môžeme povedať, že arctan(∞) = π/2.

6. Je Arctan a tan^-1rovnaký?

Áno, Arctan and tan^-1je to isté ako, Arctan je iný názov tan^-1(X)

7. Prečo má Arctan (1) pi viac ako 4?

Hodnota hriechu^-1(π/4) je 1/√2 a hodnota cos^-1(π/4) je 1/√2 a my to vieme, tan^-1(π/4) je hriech-¹(π/4)/cos^-1(π/4) a hodnota arcsin a arccos sa rovná, potom hodnota arctanu (1) je π/4.