Trigonometrické identity sú rôzne identity, ktoré sa používajú na zjednodušenie rôznych zložitých rovníc zahŕňajúcich goniometrické funkcie. Trigonometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá vzťahom medzi stranami a uhlami trojuholníka., Tieto vzťahy sú definované vo forme šiestich pomerov, ktoré sa nazývajú trigonometrické pomery – sin, cos, tan, cot, sec a cosec.

Rozšíreným spôsobom sa skúmajú aj uhly tvoriace prvky trojuholníka. Logicky, diskusia o vlastnostiach trojuholníka; riešenie trojuholníka a fyzikálne úlohy v oblasti výšok a vzdialeností s využitím vlastností trojuholníka – to všetko je súčasťou štúdia. Poskytuje tiež metódu riešenia goniometrických rovníc.

Obsah

• Čo sú to trigonometrické identity?
• Zoznam trigonometrických identít
• Recipročné trigonometrické identity
• Pytagorejské trigonometrické identity
• Trigonometrické pomerové identity
• Trigonometrické identity opačných uhlov
• Doplnkové identity uhlov
• Doplnkové identity uhlov
• Periodicita goniometrickej funkcie
• Súčtové a rozdielové identity
• Dvojité uhly identity
• Vzorce polovičného uhla
• Niektoré ďalšie identity polovičného uhla
• Identity súčtu produktov
• Identity produktov
• Vzorce s trojitým uhlom
• Dôkaz o goniometrických identitách
• Vzťah medzi uhlami a stranami trojuholníka
• Časté otázky o trigonometrických identitách

Čo sú to trigonometrické identity?

Rovnica zahŕňajúca trigonometrické pomery uhla sa nazýva trigonometrická identita, ak platí pre všetky hodnoty uhla. Sú užitočné vždy, keď sú vo výraze alebo rovnici zahrnuté goniometrické funkcie. Šesť základných trigonometrických pomerov je sínus, kosínus, tangens, kosekans, sekans a kotangens . Všetky tieto trigonometrické pomery sú definované pomocou strán pravouhlého trojuholníka, ako je priľahlá strana, opačná strana a strana prepony.

Trigonometrické identity

Zoznam trigonometrických identít

V štúdiu trigonometrie, ktorá zahŕňa všetky trigonometrické pomery, existuje veľa identít. Tieto identity sa používajú na riešenie rôznych problémov v akademickom prostredí, ako aj v reálnom živote. Naučme sa všetky základné a pokročilé trigonometrické identity.

Recipročné trigonometrické identity

Vo všetkých trigonometrických pomeroch existuje recipročný vzťah medzi dvojicou pomerov, ktorý je daný nasledovne:

• sin θ = 1/kosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos 0 = 1/s 0
• sek. 0 = 1/cos 9
  
• tan 6 = 1/detská postieľka 9
• detská postieľka 9 = 1/tan 9

Pytagorejské trigonometrické identity

Pytagorove goniometrické identity vychádzajú z Pravo-trojuholníkovej vety resp Pythagorova veta , a sú nasledovné:

• bez²θ + cos²θ = 1
• 1 + tak²θ = sek²i
• cosec²θ = 1 + detská postieľka²i

Prečítajte si viac o Pytagorejské trigonometrické identity .

Trigonometrické pomerové identity

Ako tan a cot sú definované ako pomer sin a cos, ktorý je daný nasledujúcimi identitami:

• tan θ = sin θ/cos θ
• detská postieľka θ = cos θ/sin θ

Trigonometrické identity opačných uhlov

Pri trigonometrii sa uhol meraný v smere hodinových ručičiek meria v zápornej parite a všetky trigonometrické pomery definované pre zápornú paritu uhla sú definované takto:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-6) = -tan 6
• detská postieľka (-θ) = -detská posteľ θ
• sek (-θ) = sek θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Doplnkové identity uhlov

Doplnkové uhly sú dvojice uhlov, ktorých súčet je 90°. Teraz sú trigonometrické identity pre komplementárne uhly nasledovné:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = detská postieľka θ
• detská postieľka (90° – θ) = tan θ
• sek (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sek θ

Doplnkové identity uhlov

Doplnkové uhly sú dvojice uhlov, ktorých súčet je 180°. Teraz sú trigonometrické identity pre doplnkové uhly:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- 6) = -cos 9
• cosec (180°- 6) = cosec 9
• sek (180°- 6) = -sek 9
• tan (180°- 6) = -tan 9
• detská postieľka (180°- 0) = - detská postieľka 9

Periodicita goniometrickej funkcie

Goniometrické funkcie ako sin, cos, tan, cot, sec a cosec sú všetky svojou povahou periodické a majú rôznu periodicitu. Nasledujúce identity pre trigonometrický pomer vysvetľujú ich periodicitu.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n x 360° + 6) = cos 9
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n x 180° + 6) = tan 6
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sek (n x 360° + 0) = sek 9
• sek (2nπ + θ) = sek θ
  
• detská postieľka (n × 180° + θ) = detská postieľka θ
• detská postieľka (nπ + θ) = detská postieľka θ

Kde, n ∈ S, (Z = množina všetkých celých čísel)

Poznámka: sin, cos, cosec a sec majú periódu 360° alebo 2π radiánov a pre periódu opálenia a detskej postieľky je 180° alebo π radiánov.

Súčtové a rozdielové identity

Trigonometrické identity pre súčet a rozdiel uhla zahŕňajú vzorce ako sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) atď.

• sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
• cos (A+B) = cos A cos B – hriech A hriech B
• cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• opálenie (A-B) = (opálenie A – opálenie B)/(1 + opálenie A opálenie B)

Poznámka: Identity pre hriech (A+B), sin (A-B), cos (A+B) a cos (A-B) sa nazývajú Ptolemaiove identity .

Dvojité uhly identity

Pomocou trigonometrických identít súčtu uhlov môžeme nájsť novú identitu, ktorá sa nazýva identita dvojitého uhla. Aby sme našli tieto identity, môžeme vložiť A = B do súčtu uhlových identít. Napríklad,

a vieme, hriech (A+B) = hriech A cos B + cos A hriech B

Dosaďte tu A = B = θ na oboch stranách a dostaneme:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

podobne,

• cos 2θ = cos ² θ – hriech ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – hriech ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² i)

Prečítajte si viac o Dvojité uhly identity .

Vzorce polovičného uhla

Pomocou vzorcov s dvojitým uhlom možno vypočítať vzorce s polovičným uhlom. Ak chcete vypočítať vzorce polovičného uhla, nahraďte θ za θ/2, potom

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Prečítajte si viac o Identity polovičného uhla .

Niektoré ďalšie identity polovičného uhla

Okrem vyššie uvedených identít existuje niekoľko identít s polovičným uhlom, ktoré sú nasledovné:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identity súčtu produktov

Nasledujúce identity uvádzajú vzťah medzi súčtom dvoch trigonometrických pomerov so súčinom dvoch trigonometrických pomerov.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identity produktov

Identity produktu sa vytvoria, keď sčítame dve zo súčtu a rozdielu identít uhla a sú nasledovné:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Vzorce s trojitým uhlom

Okrem vzorcov s dvojitým a polovičným uhlom existujú identity pre trigonometrické pomery, ktoré sú definované pre trojitý uhol. Ide o tieto identity:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Prečítajte si viac o Trojitý uhol identity .

Dôkaz o goniometrických identitách

Pre akýkoľvek ostrý uhol θ to dokážte

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . detská postieľkaθ = 1
4. bez ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + tak ² θ = sek ² i
6. 1 + detská postieľka ² θ = kosec ² i

dôkaz:

Uvažujme pravouhlý △ABC, v ktorom ∠B = 90°

Nech AB = x jednotiek, BC = y jednotiek a AC = r jednotiek.

potom

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) detská postieľkaθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . detská postieľkaθ = 1

Potom podľa Pytagorovej vety máme

X²+ a²= r².

teraz

(4) bez²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= (a²/r²+ x²/r²)

= (x²+ a²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ a²= r²]

bez ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + tak²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/X²= (a²+ x²)/X²= r²/X²[X²+ a²= r²]

(r/x)²= sek²i

∴ 1 + opálenie ² θ = sek ² i.

(6) 1 + detská postieľka²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/a²= (x²+ a²)/a²= r²/a²[X²+ a²= r²]

(r²/a²) = cosec²i

∴ 1 + detská postieľka ² θ = kosec ² i

Vzťah medzi uhlami a stranami trojuholníka

Tri pravidlá, ktoré spájajú strany trojuholníkov s vnútornými uhlami trojuholníkov, sú:

• Jeho Pravidlo
• Kosínové pravidlo
• Pravidlo tangenty

Ak trojuholník ABC so stranami a, b a c, ktoré sú opačnými stranami ∠A, ∠B a ∠C, potom

Jeho Pravidlo

Jeho pravidlá udáva vzťah medzi stranami a uhlami trojuholníka, čo je pomer strany a sínusu uhla protiľahlého k strane, ktorý zostáva vždy rovnaký pre všetky uhly a strany trojuholníka a je daný nasledovne:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Kosínové pravidlo

Kosínové pravidlo zahŕňa všetky strany a jeden vnútorný uhol trojuholníka je daný takto:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ALEBO

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ALEBO

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Pravidlo tangenty

• Tangentové pravidlo tiež uvádza vzťah medzi stranami a vnútorným uhlom trojuholníka pomocou trigonometrického pomeru tan, ktorý je nasledujúci:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Tiež si prečítajte

• Trigonometria Výška a vzdialenosť
• Trigonometrická tabuľka

Vyriešený príklad na trigonometrických identitách

Príklad 1: Dokážte, že (1 – hriech ² θ) sek ² θ = 1

Riešenie:

Máme:

LHS = (1 – hriech²θ) sek²i

= cos²θ. sek²i

= cos²θ. (1/kos²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Preto dokázané]

Príklad 2: Dokážte, že (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Riešenie:

Máme:

LHS = (1 + tan²θ) cos²i

⇒ LHS = sek²θ. cos²i

⇒ LHS = (1/cos²θ). cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Preto dokázané]

Príklad 3: Dokážte, že (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Riešenie:

Máme:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + postieľka²θ – 1) tak²i

⇒ LHS = detská postieľka²θ. tak²i

⇒ LHS = (1/tan²θ). tak²i

sieťová vrstva v počítačových sieťach

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Preto dokázané]

Príklad 4: Dokážte, že (sek ⁴ θ – sek ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ i)

Riešenie:

Máme:

LHS = (sek⁴θ – sek²i)

⇒ LHS = sek²θ(sek²ja – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²ja – 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) tak²i

⇒ LHS = (tan²θ + tan⁴6) = RHS

∴ LHS = RHS. [Preto dokázané]

Príklad 5: Dokážte, že √(sek ² θ + kosec ² θ) = (tanθ + detská postieľkaθ)

Riešenie:

Máme:

LHS = √ (sek²θ + kosec²θ) = √((1 + tan²i) + (1 + postieľka²i))

⇒ LHS = √ (tan²θ + detská postieľka²ja + 2)

⇒ LHS = √ (tan²θ + detská postieľka²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [preukázané]

Cvičné otázky o goniometrických identitách

Q1: Zjednodušte výrazfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Dokážte identitu tan (x) . detská postieľka (x) = 1.

3. otázka: Ukáž tofrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Zjednodušiťsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

5. otázka: Dokážte totožnosťcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Zjednodušiťfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Dokážte totožnosťsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Časté otázky o trigonometrických identitách

Čo je to trigonometrická identita?

Trigonometrická identita je rovnica, ktorá dáva do súvislosti rôzne trigonometrické funkcie, ako sú sin, cos, tan, cot, sec a cosec.

Ako dokázať trigonometrické identity?

Existujú rôzne metódy na preukázanie goniometrických identít, jednou z nich je použitie 6 hlavných trigonometrických známych identít na prepísanie výrazu do inej formy. Ako každý iný dôkaz pracujeme s jednou stranou, aby sme dospeli k výrazu identickému s druhou stranou rovnice.

Koľko trigonometrických identít existuje?

Existuje veľa trigonometrických identít, pretože každá identita môže byť s určitou variáciou stále identitou. Preto nemôžeme presne povedať, koľko identít existuje.

Ako si zapamätať všetky trigonometrické identity?

Najjednoduchší spôsob, ako si zapamätať všetky identity, je precvičiť si problémy súvisiace s identitou. Zakaždým, keď riešite problém pomocou nejakej identity, revidujete túto identitu a nakoniec sa stane pre vás druhou prirodzenosťou.

Napíšte tri hlavné goniometrické funkcie.

Tri hlavné funkcie používané v trigonometrii sú sínus, kosínus a tangens.
sin θ = kolmica/ prepona
cos θ = báza/hypotenza
tan θ = kolmica/základňa

Čo je Pythagorova veta?

Pythagorova veta uvádza v pravouhlom trojuholníku so stranami ako prepona (H), kolmica (P) a základňa (B), pričom vzťah medzi nimi je daný:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Napíšte použitie trigonometrických identít.

Goniometrické identity sa používajú na riešenie rôznych problémov zahŕňajúcich zložité goniometrické funkcie. Používajú sa na výpočet vlnových rovníc, rovnice harmonického oscilátora, riešenie geometrických otázok a iných problémov.

Napíšte osem základných goniometrických identít.

Osem základných identít v trigonometrii je:

• sin θ = 1/kosec θ
• cos 0 = 1/s 0
• tan 6 = 1/detská postieľka 9
• bez²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ tak²θ = sek²i
• detská postieľka θ = cosθ/sinθ
• 1+ detská postieľka²θ = kosec²i