logo

Objem kužeľa: Vzorec, odvodenie a príklady

Objem kužeľa možno definovať ako priestor, ktorý zaberá kužeľ. Ako vieme, kužeľ je trojrozmerný geometrický tvar, ktorý má kruhovú základňu a jeden vrchol (vrchol).

Objem kužeľa



Dozvieme sa podrobnejšie o Volume of Cone, vrátane jeho vzorca, príkladov a Frustum of Cone.

Čo je to Volume of Cone?

Objem kužeľa je definovaný ako množstvo priestoru alebo kapacity, ktorú vypĺňa. Objem kužeľa sa meria v kubických jednotkách, napríklad cm3, m3, v3, a tak ďalej. Otáčaním trojuholníka okolo ktoréhokoľvek z jeho vrcholov možno vytvoriť kužeľ. Objem kužeľa možno merať aj v litroch.

  • Kužeľ možno rozdeliť na dva typy: pravé kruhové kužele a šikmé kužele.
  • Vrchol pravý kruhový kužeľ je vertikálne nad stredom základne, ale vrchol šikmého kužeľa nie je vertikálne nad stredom základne.
Vzorce súvisiace s objemom kužeľa
Objem kužeľa V = 1/3 πr 2 h = = (1/12)πd 2 h
Objem kužeľa (výška sklonu) V = 1/3 πr 2 (√{L 2 – r 2 })
Objem kusu kužeľa 1/3 hodiny [{r3– (r’)3} / r]
Objem kužeľa (dvojnásobný polomer a výška) V = (8/3)πr 2 h
Objem kužeľa (polovičný polomer a výška) V = (1/24)πr 2 h

Objem kužeľového vzorca

Kužeľ je pevná trojrozmerná forma s kruhovou základňou. Má zakrivený povrch. Kolmá výška je vzdialenosť od základne k vrcholu.



Vzorec objemu kužeľa:

V = 1/3 πr2h

Kde,



  • r je polomer kužeľa
  • h je polomer kužeľa
  • Pi je konštantná s hodnotou 22/7 alebo 3,14

Šikmá výška kužeľa

Výška sklonu kužeľa je vzdialenosť od jeho vrcholu (horného bodu) k akémukoľvek bodu na obvode jeho kruhovej základne. Je to priama vzdialenosť pozdĺž bočného povrchu, nie cez vnútro kužeľa.

Výška sklonu kužeľa možno odvodiť pomocou Pythagorova veta ,

h2+ r2= L2

h = √(L2– r2)

Objem kužeľa z hľadiska výšky sklonu

Pre kužeľ s výškou „h“ a polomerom „r“ je výška sklonu „L“ kužeľa daná vzorcom,

c#

h2+ r2= L2

h = √(L2– r2)…(i)

Potom objem kužeľa z hľadiska výšky sklonu je,

V = (1/3)πr2Ahoj ja)

Pomocou hodnoty h v rovnici (ii) dostaneme vzorec pre objem kužeľa ako,

V = (1/3)πr 2 √ (L 2 – r 2 )

Objem odvodenia kužeľa

Predpokladajme, že máme kužeľ s kruhovou základňou, ktorého polomer je r a výška je h.

Objem odvodenia kužeľa

Vieme, že objem kužeľa sa rovná jednej tretine objemu valca s rovnakým polomerom a výškou základne.

Takže objem sa stáva,

V = 1/3 × plocha kruhovej základne × výška

V = 1/3 × πr2× h

V = πr2h/3

Toto odvodí vzorec pre objem kužeľa.

Ako zistiť objem kužeľa?

Zoberme si príklad na určenie objemu kužeľa.

Príklad: Určte objem kužeľa, ak polomer jeho kruhovej základne je 3 cm a výška je 5 cm.

Krok 1: Všimnite si polomer kruhovej základne (r) a výšku kužeľa (h).

Tu je polomer 3 cm a výška 5 cm.

Krok 2: Vypočítajte obsah kruhovej základne = πr2. Dosaďte hodnotu r a π v danej rovnici,

t.j. 3,14 × (3)2= 28,26 cm2.

Krok 3: Vieme, že objem kužeľa je (1/3) × (plocha kruhovej základne) × výška kužeľa.

Potom dosaďte hodnoty do rovnice = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm3.

Krok 4: Objem daného kužeľa je teda 47,1 cm3.

Pomocou vyššie uvedených krokov je možné vypočítať objem kužeľa.

Objem kužeľa s výškou a polomerom

Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a polomer (r), sa vypočíta pomocou vzorca,

V = (1/3)πr 2 h kubických jednotiek

Objem kužeľa s výškou a priemerom

Objem kužeľa, keď je uvedený priemer a výška kužeľa, je vypočítaný nižšie. Predpokladajme, že máme kužeľ s polomerom r a priemerom d.

Potom je polomer základne polovica priemeru základne, t.j. r = d/2

Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a priemer (d), sa vypočíta pomocou vzorca,

V = (1/12)πd 2 h kubických jednotiek

Objem kužeľa (ak sú polomer a výška zdvojnásobené)

Predpokladajme,

  • Polomer kužeľa (r) = 2r
  • Výška kužeľa (h) = 2h

Potom je objem kužeľa daný ako,

Objem kužeľa = (1/3)π(2r)2(2h) kubické jednotky

V = (⅓)π(4r2) (2 h)

V = (8/3)πr 2 h

teda objem kužeľa sa stane 8-násobkom pôvodného objemu t.j. V = (8/3)πr2h, keď sa jeho polomer a výška zdvojnásobia.

Objem kužeľa (ak sú polomer a výška polovičné)

Predpokladajme,

  • Polomer kužeľa (r) = r/2
  • Výška kužeľa (h) = h/2

Potom je objem kužeľa daný ako,

Objem kužeľa = (1/3)π(r/2)2(h/2) kubických jednotiek

V = (1/3)π(r2/4) (h/2)

V = (1/24)πr 2 h

Objem kužeľa sa tak stane 1/8-násobkom pôvodného objemu, t.j. V = (1/24)πr2h, keď sa jeho polomer a výška zmenší na polovicu.

Kus kužeľa

Zrezaný kužeľ je narezaná časť kužeľa a objem zrezaného kužeľa je množstvo tekutiny, ktoré môže zrezaný kužeľ pojať.

Takže na výpočet objemu musíme nájsť rozdiel v objemoch dvoch kužeľov.

Objem kusu kužeľa

Vzorec objemu zrezaného kužeľa je daný odčítaním objemu menšieho kužeľa od väčšieho.

Kus objemu kužeľa

Z vyššie uvedeného obrázku máme,

  • Celková výška H‘ = H + h
  • Výška sklonu L = l1+ l2
  • Polomer kužeľa = r
  • Polomer krájaného kužeľa = r'

Teraz je objem väčšieho kužeľa = 1/3 π r2H' = 1/3 πr2(H+h)

Objem menšieho kužeľa = 1/3 π(r’)2h. Objem zrezaného okraja sa dá vypočítať rozdielom medzi dvoma kužeľmi, t.j.

Objem kusu = 1/3 π r2H' -1/3 π(r')2h

pružinové moduly

V = 1/3π r2(H+h) – 1/3 π(r’)2h

v = 1/3 π [ r2(H+h) – (r’)2h ] ………(1)

Použitie vlastností podobných trojuholníkov v Δ QPS a Δ QAB. máme,

r/r' = H+h/h

H+h = (rv)/r'

Dosadením hodnoty H+h do vzorca pre objem zrezaného okraja dostaneme,

Objem kusu = 1/3 π [r2(rh/r’) – (r’)2h]

V = 1/3 π [r3h/r’ – (r’)2h]

V = 1/3 π h (r3/r – (r’)2)

V = 1/3 π h [{r3– (r’)3} / r]

Objem kusu kužeľa = 1/3 π h [{r 3 – (r’) 3 } / r]

Kde,

  • r je polomer spodnej základne Frustum of Cone
  • r' je polomer hornej základne zrezaného kužeľa
  • h je výška menšieho kužeľa
  • Pi je konštantná s hodnotou 22/7 alebo 3,14

Čítaj viac

Vyriešené príklady objemu kužeľa

Vyriešte niekoľko otázok o vzorcoch Objem kužeľa.

Príklad 1. Nájdite objem kužeľa pre polomer 7 cm a výšku 14 cm.

Riešenie:

Máme,

  • r = 7
  • h = 14

Objem kužeľa = 1/3 πr2h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)

V = (1/3) (7) (7) (2)

V = 32.66 cm3

Príklad 2. Nájdite objem kužeľa pre a polomer 5 cm a výška 9 cm.

Riešenie:

Máme,

  • r = 5
  • h = 9

Objem kužeľa = 1/3 πr2h

V = (1/3) (3.14) (5) (5) (9)

V = (3.14) (5) (5) (3)

V = 235.49 cm3

Príklad 3. Nájdite objem a kužeľ pre a polomer 7 cm a výška 12 cm.

Riešenie:

Máme,

  • r = 7
  • h = 12

Objem kužeľa = 1/3 πr2h

V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)

V = (22) (7) (4)

V = 616 cm3

Príklad 4. Nájdite objem kužeľa pre a polomer 8 cm a výška 15 cm.

Riešenie:

Máme,

  • r = 8
  • h = 15

Objem kužeľa = 1/3 πr2h

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)

V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)

V = 335.02 cm3

Cvičné otázky o objeme kužeľa

Q1. Nájdite polomer kužeľa, ak je jeho objem 121 cm 2 a jeho výška je 2 cm.

Q2. Nájdite objem kužeľa pre výšku 12 cm a výšku sklonu 7 cm.

Q3. Nájdite objem kužeľa pre výšku 21 cm a priemer základne je 12 cm.

Q4. Nájdite objem kužeľa pre polomer 12 cm a výšku 5 cm.

Objem kužeľa – často kladené otázky

Definujte objem kužeľa.

Objem kužeľa je definovaný ako celková kapacita kvapaliny, ktorú môže kužeľ zadržať v 3 rozmeroch. Je to celkový priestor, ktorý zaberá kužeľ.

Čo je vzorec objemu kužeľa?

Objem kužeľa je daný nasledujúcim vzorcom:

referenčná premenná v jazyku Java

Objem kužeľa = ⅓ πr 2 h kubických jednotiek.

Ako nájsť objem kužeľa so šikmou výškou?

Objem kužeľa, ak je daná jeho výška (L) a jeho polomer (r), sa vypočíta pomocou vzorca, V = (1/3)πr 2 √ (L 2 – r 2 )

Aká je celková plocha povrchu (TSA) kužeľového vzorca?

Celková plocha kužeľa je daná vzorcom, TSA kužeľa = πr(l + r) štvorcových jednotiek .

Aký je vzťah medzi objemom valca a kužeľa?

V objem kužeľa je 1/3 objemu valca.

Čo je vzorec šikmej výšky kužeľa?

Výška sklonu (l) kužeľa sa vypočíta pomocou vzorca, l = √(h 2 + r 2 ) .

Aký je objem kužeľa, ak je uvedená výška a priemer?

Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a priemer základne (d), je, V = (1/12)πd 2 h kubických jednotiek .

Ako zistiť objem tekutiny v kuželi?

Objem kvapaliny vo vnútri kužeľa sa vypočíta pomocou objemu kužeľového vzorca pridaného vyššie.