Objem kužeľa možno definovať ako priestor, ktorý zaberá kužeľ. Ako vieme, kužeľ je trojrozmerný geometrický tvar, ktorý má kruhovú základňu a jeden vrchol (vrchol).
Dozvieme sa podrobnejšie o Volume of Cone, vrátane jeho vzorca, príkladov a Frustum of Cone.
Čo je to Volume of Cone?
Objem kužeľa je definovaný ako množstvo priestoru alebo kapacity, ktorú vypĺňa. Objem kužeľa sa meria v kubických jednotkách, napríklad cm3, m3, v3, a tak ďalej. Otáčaním trojuholníka okolo ktoréhokoľvek z jeho vrcholov možno vytvoriť kužeľ. Objem kužeľa možno merať aj v litroch.
- Kužeľ možno rozdeliť na dva typy: pravé kruhové kužele a šikmé kužele.
- Vrchol pravý kruhový kužeľ je vertikálne nad stredom základne, ale vrchol šikmého kužeľa nie je vertikálne nad stredom základne.
Vzorce súvisiace s objemom kužeľa | |
---|---|
Objem kužeľa | V = 1/3 πr 2 h = = (1/12)πd 2 h |
Objem kužeľa (výška sklonu) | V = 1/3 πr 2 (√{L 2 – r 2 }) |
Objem kusu kužeľa | 1/3 hodiny [{r3– (r’)3} / r] |
Objem kužeľa (dvojnásobný polomer a výška) | V = (8/3)πr 2 h |
Objem kužeľa (polovičný polomer a výška) | V = (1/24)πr 2 h |
Objem kužeľového vzorca
Kužeľ je pevná trojrozmerná forma s kruhovou základňou. Má zakrivený povrch. Kolmá výška je vzdialenosť od základne k vrcholu.
Vzorec objemu kužeľa:
V = 1/3 πr2h
Kde,
- r je polomer kužeľa
- h je polomer kužeľa
- Pi je konštantná s hodnotou 22/7 alebo 3,14
Šikmá výška kužeľa
Výška sklonu kužeľa je vzdialenosť od jeho vrcholu (horného bodu) k akémukoľvek bodu na obvode jeho kruhovej základne. Je to priama vzdialenosť pozdĺž bočného povrchu, nie cez vnútro kužeľa.
Výška sklonu kužeľa možno odvodiť pomocou Pythagorova veta ,
h2+ r2= L2
h = √(L2– r2)
Objem kužeľa z hľadiska výšky sklonu
Pre kužeľ s výškou „h“ a polomerom „r“ je výška sklonu „L“ kužeľa daná vzorcom,
c#
h2+ r2= L2
h = √(L2– r2)…(i)
Potom objem kužeľa z hľadiska výšky sklonu je,
V = (1/3)πr2Ahoj ja)
Pomocou hodnoty h v rovnici (ii) dostaneme vzorec pre objem kužeľa ako,
V = (1/3)πr 2 √ (L 2 – r 2 )
Objem odvodenia kužeľa
Predpokladajme, že máme kužeľ s kruhovou základňou, ktorého polomer je r a výška je h.
Vieme, že objem kužeľa sa rovná jednej tretine objemu valca s rovnakým polomerom a výškou základne.
Takže objem sa stáva,
V = 1/3 × plocha kruhovej základne × výška
V = 1/3 × πr2× h
V = πr2h/3
Toto odvodí vzorec pre objem kužeľa.
Ako zistiť objem kužeľa?
Zoberme si príklad na určenie objemu kužeľa.
Príklad: Určte objem kužeľa, ak polomer jeho kruhovej základne je 3 cm a výška je 5 cm.
Krok 1: Všimnite si polomer kruhovej základne (r) a výšku kužeľa (h).
Tu je polomer 3 cm a výška 5 cm.
Krok 2: Vypočítajte obsah kruhovej základne = πr2. Dosaďte hodnotu r a π v danej rovnici,
t.j. 3,14 × (3)2= 28,26 cm2.
Krok 3: Vieme, že objem kužeľa je (1/3) × (plocha kruhovej základne) × výška kužeľa.
Potom dosaďte hodnoty do rovnice = (1/3) × 28,26 × 5 = 47,1 cm3.
Krok 4: Objem daného kužeľa je teda 47,1 cm3.
Pomocou vyššie uvedených krokov je možné vypočítať objem kužeľa.
Objem kužeľa s výškou a polomerom
Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a polomer (r), sa vypočíta pomocou vzorca,
V = (1/3)πr 2 h kubických jednotiek
Objem kužeľa s výškou a priemerom
Objem kužeľa, keď je uvedený priemer a výška kužeľa, je vypočítaný nižšie. Predpokladajme, že máme kužeľ s polomerom r a priemerom d.
Potom je polomer základne polovica priemeru základne, t.j. r = d/2
Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a priemer (d), sa vypočíta pomocou vzorca,
V = (1/12)πd 2 h kubických jednotiek
Objem kužeľa (ak sú polomer a výška zdvojnásobené)
Predpokladajme,
- Polomer kužeľa (r) = 2r
- Výška kužeľa (h) = 2h
Potom je objem kužeľa daný ako,
Objem kužeľa = (1/3)π(2r)2(2h) kubické jednotky
V = (⅓)π(4r2) (2 h)
V = (8/3)πr 2 h
teda objem kužeľa sa stane 8-násobkom pôvodného objemu t.j. V = (8/3)πr2h, keď sa jeho polomer a výška zdvojnásobia.
Objem kužeľa (ak sú polomer a výška polovičné)
Predpokladajme,
- Polomer kužeľa (r) = r/2
- Výška kužeľa (h) = h/2
Potom je objem kužeľa daný ako,
Objem kužeľa = (1/3)π(r/2)2(h/2) kubických jednotiek
V = (1/3)π(r2/4) (h/2)
V = (1/24)πr 2 h
Objem kužeľa sa tak stane 1/8-násobkom pôvodného objemu, t.j. V = (1/24)πr2h, keď sa jeho polomer a výška zmenší na polovicu.
Kus kužeľa
Zrezaný kužeľ je narezaná časť kužeľa a objem zrezaného kužeľa je množstvo tekutiny, ktoré môže zrezaný kužeľ pojať.
Takže na výpočet objemu musíme nájsť rozdiel v objemoch dvoch kužeľov.
Objem kusu kužeľa
Vzorec objemu zrezaného kužeľa je daný odčítaním objemu menšieho kužeľa od väčšieho.
Z vyššie uvedeného obrázku máme,
- Celková výška H‘ = H + h
- Výška sklonu L = l1+ l2
- Polomer kužeľa = r
- Polomer krájaného kužeľa = r'
Teraz je objem väčšieho kužeľa = 1/3 π r2H' = 1/3 πr2(H+h)
Objem menšieho kužeľa = 1/3 π(r’)2h. Objem zrezaného okraja sa dá vypočítať rozdielom medzi dvoma kužeľmi, t.j.
Objem kusu = 1/3 π r2H' -1/3 π(r')2h
pružinové moduly
V = 1/3π r2(H+h) – 1/3 π(r’)2h
v = 1/3 π [ r2(H+h) – (r’)2h ] ………(1)
Použitie vlastností podobných trojuholníkov v Δ QPS a Δ QAB. máme,
r/r' = H+h/h
H+h = (rv)/r'
Dosadením hodnoty H+h do vzorca pre objem zrezaného okraja dostaneme,
Objem kusu = 1/3 π [r2(rh/r’) – (r’)2h]
V = 1/3 π [r3h/r’ – (r’)2h]
V = 1/3 π h (r3/r – (r’)2)
V = 1/3 π h [{r3– (r’)3} / r]
Objem kusu kužeľa = 1/3 π h [{r 3 – (r’) 3 } / r]
Kde,
- r je polomer spodnej základne Frustum of Cone
- r' je polomer hornej základne zrezaného kužeľa
- h je výška menšieho kužeľa
- Pi je konštantná s hodnotou 22/7 alebo 3,14
Čítaj viac
- Kus kužeľa
- Kužeľ: Vzorec, typy a vlastnosti
- Plocha povrchu kužeľa
- Plochy povrchu a objemy
- Objem kocky
- Objem kvádra
- Objem gule
- Objem valca
Vyriešené príklady objemu kužeľa
Vyriešte niekoľko otázok o vzorcoch Objem kužeľa.
Príklad 1. Nájdite objem kužeľa pre polomer 7 cm a výšku 14 cm.
Riešenie:
Máme,
- r = 7
- h = 14
Objem kužeľa = 1/3 πr2h
V = (1/3) (22/7) (7) (7) (14)
V = (1/3) (7) (7) (2)
V = 32.66 cm3
Príklad 2. Nájdite objem kužeľa pre a polomer 5 cm a výška 9 cm.
Riešenie:
Máme,
- r = 5
- h = 9
Objem kužeľa = 1/3 πr2h
V = (1/3) (3.14) (5) (5) (9)
V = (3.14) (5) (5) (3)
V = 235.49 cm3
Príklad 3. Nájdite objem a kužeľ pre a polomer 7 cm a výška 12 cm.
Riešenie:
Máme,
- r = 7
- h = 12
Objem kužeľa = 1/3 πr2h
V = (1/3) (22/7) (7) (7) (12)
V = (22) (7) (4)
V = 616 cm3
Príklad 4. Nájdite objem kužeľa pre a polomer 8 cm a výška 15 cm.
Riešenie:
Máme,
- r = 8
- h = 15
Objem kužeľa = 1/3 πr2h
V = (1/3) (22/7) (8) (8) (15)
V = (1/3) (22/7) (8) (8) (5)
V = 335.02 cm3
Cvičné otázky o objeme kužeľa
Q1. Nájdite polomer kužeľa, ak je jeho objem 121 cm 2 a jeho výška je 2 cm.
Q2. Nájdite objem kužeľa pre výšku 12 cm a výšku sklonu 7 cm.
Q3. Nájdite objem kužeľa pre výšku 21 cm a priemer základne je 12 cm.
Q4. Nájdite objem kužeľa pre polomer 12 cm a výšku 5 cm.
Objem kužeľa – často kladené otázky
Definujte objem kužeľa.
Objem kužeľa je definovaný ako celková kapacita kvapaliny, ktorú môže kužeľ zadržať v 3 rozmeroch. Je to celkový priestor, ktorý zaberá kužeľ.
Čo je vzorec objemu kužeľa?
Objem kužeľa je daný nasledujúcim vzorcom:
referenčná premenná v jazyku JavaObjem kužeľa = ⅓ πr 2 h kubických jednotiek.
Ako nájsť objem kužeľa so šikmou výškou?
Objem kužeľa, ak je daná jeho výška (L) a jeho polomer (r), sa vypočíta pomocou vzorca, V = (1/3)πr 2 √ (L 2 – r 2 )
Aká je celková plocha povrchu (TSA) kužeľového vzorca?
Celková plocha kužeľa je daná vzorcom, TSA kužeľa = πr(l + r) štvorcových jednotiek .
Aký je vzťah medzi objemom valca a kužeľa?
V objem kužeľa je 1/3 objemu valca.
Čo je vzorec šikmej výšky kužeľa?
Výška sklonu (l) kužeľa sa vypočíta pomocou vzorca, l = √(h 2 + r 2 ) .
Aký je objem kužeľa, ak je uvedená výška a priemer?
Objem kužeľa, ak je uvedená jeho výška (h) a priemer základne (d), je, V = (1/12)πd 2 h kubických jednotiek .
Ako zistiť objem tekutiny v kuželi?
Objem kvapaliny vo vnútri kužeľa sa vypočíta pomocou objemu kužeľového vzorca pridaného vyššie.