Zrezaný kužeľ je špeciálny tvar, ktorý vznikne, keď kužeľ odrežeme rovinou rovnobežnou s jeho základňou. Kužeľ je trojrozmerný tvar s kruhovou základňou a vrcholom. Zrezaný kužeľ je teda pevný objem, ktorý vzniká odstránením časti kužeľa s rovinou rovnobežnou s kruhovou základňou. Zrezaný okraj nie je definovaný len pre kužele, ale môže byť definovaný aj pre rôzne typy pyramíd (štvorcová pyramída, trojuholníková pyramída atď.).

Niektoré z bežných tvarov zrezaného kužeľa, ktoré objavujeme v našom každodennom živote, sú vedrá, tienidlo na lampu a iné. Dozvieme sa viac o zrezaných kužeľoch v tomto článku.

Čo je to Frustum of Cone?

Frustum je latinské slovo, ktoré znamená kusy, preto je zrezaný kužeľ pevný kus kužeľa. Keď pravý kruhový kužeľ je rez rovinou rovnobežnou so základňou kužeľa, pričom takto získaný tvar sa nazýva zrezaný kužeľ. Obrázok uvedený nižšie nám ukazuje, ako rovina reže kužeľ rovnobežne s jeho základňou, aby vytvorila zrezaný kužeľ.

Teraz je zrezaný kužeľ ľahko definovaný ako,

Ak je pravý kruhový kužeľ odrezaný rovinou rovnobežnou s jeho základňou, tvar časti medzi rovinou rezu a základnou rovinou sa nazýva zrezaný kužeľ.

Sieť z kužeľa

Ak sa trojrozmerný (3D) tvar rozreže a vytvorí sa dvojrozmerný tvar, takto získaný tvar sa nazýva sieť. Dá sa predpokladať, že keď je sieť figúry správne poskladaná, vytvorí požadovaný 3D tvar. Obrázok uvedený nižšie zobrazuje sieť zrezaného kužeľa.

previesť reťazec na int

Vlastnosti kusu kužeľa

Vlastnosti zrezaného kužeľa sú veľmi podobné ako zrezaný kužeľ, niektoré z dôležitých vlastností zrezaného kužeľa sú,

• Základňa kužeľa pôvodný kužeľ je obsiahnutý v zrezanom kuželi, ale jeho vrchol nie je obsiahnutý v zrezanom kuželi.
• Vzorce zrezaného kužeľa závisia od jeho výšky a dvoch polomerov (zodpovedajúcich hornej a dolnej základni).
• Výška zrezaného kužeľa je kolmá vzdialenosť medzi stredmi jeho dvoch základní.

Vzorce kusu kužeľa

Zrezaný kužeľ je taký tvar, ktorý sa často vyskytuje v našom každodennom živote, napríklad stolové lampy, vedrá atď. Dôležité vzorce pre zrezaný kužeľ sú:

• Objem kusu kužeľa
• Povrchová plocha zrezaného kužeľa

Dozvieme sa podrobnejšie o týchto vzorcoch nižšie,

Objem kusu kužeľa

Zrezaný kužeľ je rozrezaná časť kužeľa, kde sa z väčšieho kužeľa odstráni malý kužeľ. Preto na výpočet objemu zrezaného kužeľa stačí vypočítať rozdiel medzi objemom väčšieho a menšieho kužeľa.

Predpokladajme,

• Celková výška kužeľa má byť H + h
• Celková výška sklonu musí byť l' + L
• Polomer úplného kužeľa je r
• Polomer krájaného kužeľa je r'

Keďže objem kužeľa je daný ako V = 1/3πr²h

Objem kompletného kužeľa V₁= 1/3 πr²(H+h)

Objem menšieho kužeľa V₂= 1/3πr'²(h)

Teraz je možné vypočítať objem zrezaného kužeľa (V) pomocou vzorca,

V=V₁– V₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r'²(h)]…(1)

Pomocou vlastnosti podobnosti trojuholníkov △OCD a △OAB možno napísať,

r/(H + h) = r'/h

r/r' = (H + h)/h

H + h = hod / r'

Dosaďte túto hodnotu (H+h) v rovnici (1) a zjednodušte,

V = 1/3π[r²(rh / r') – r'²(h)}

= 1/3π[{hr³– hod’³} / r’]…(2)

Pomocou vlastnosti podobného trojuholníka opäť v △OCD a △OAB zistíme hodnotu h

r/(H + h) = r'/h

r/r' = (H + h)/h

rh = (H + h)r'

rh = Hr’ + hod’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Nahradením týchto hodnôt v rovnici (2)

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r']

= 1/3π[{r³-r'³}h / r’]

= 1/3π[{r³-r'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3 nH(r²+ r'²+rr’)

teda

Objem zrezaného kužeľa = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr')

Povrchová plocha zrezaného kužeľa

Plochu zrezaného kužeľa možno vypočítať ako rozdiel medzi plocha celého kužeľa a menší kužeľ (odstránený z kompletného kužeľa). Plochu povrchu zrezaného kužeľa možno vypočítať pomocou nižšie uvedeného diagramu, kde je potrebné spočítať povrchové plochy zakrivených povrchov a povrchové plochy horného a spodného povrchu zrezaného kužeľa.

Podobne ako objem zrezaného kužeľa, zakrivená plocha povrchu sa bude rovnať rozdielu medzi plochami väčšieho kužeľa a menšieho kužeľa.

Na vyššie uvedenom obrázku sú trojuholníky OAB a OCD podobné. Preto pomocou kritérií podobnosti možno napísať,

l’/l = r’/r…(1)

Keďže l’ = l – L, teda z rovnice (1),

(l – L) / l = r' / r

Po krížovom násobení,

binárny vyhľadávací strom]

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Zakrivený povrch úplného kužeľa = πrl

Zakrivený povrch menšieho kužeľa = πr’l’

Rozdiel medzi zakrivenými plochami úplného kužeľa a menšieho kužeľa = π (rl – r’l’)

Zakrivený povrch (CSA) zrezaného kužeľa = πl (r – r’l’/l)

Použite rovnicu (1) na nahradenie hodnoty l'/l vo vyššie uvedenej rovnici a zjednodušte,

CSA zrezaného kužeľa = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²-r'²)/r

Teraz nahraďte hodnotu l z rovnice (2) a zjednodušte,

CSA zrezaného kužeľa = πlr/(r – r’)× (r²-r'²)/r = πl (r + r')

Dá sa teda napísať,

Zakrivený povrch zrezaného kužeľa = πl (r + r’)

Teraz vypočítajme povrch hornej a spodnej základne zrezaného kužeľa tak, aby:

Povrch hornej základne zrezaného kužeľa s polomerom r' = πr'²

Povrch spodnej základne zrezaného kužeľa s polomerom r = πr²

takže,

Celková plocha zrezaného kužeľa = zakrivená plocha zrezaného kužeľa + povrch hornej základne + povrch spodnej základne

preto

Celková plocha zrezaného kužeľa = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Celková plocha zrezaného kužeľa je teda = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Tento vzorec možno zapísať aj ako,

Celková plocha zrezaného kužeľa je = πl (r²-r'²)/r + π (r²+ r'²)

Dá sa teda napísať,

Celková plocha zrezaného kužeľa = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

alebo

Celková plocha zrezaného kužeľa = πl (r ² -r' ² )/r + π (r ² + r' ² )

Všimnite si, že l je výška sklonu menšieho kužeľa, ktorý možno zadať ako

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Čítaj viac

• Objem kužeľa
• Objem valca
• Objem gule

Vyriešené príklady na Fragment of Cone

Príklad 1: Zistite objem zrezaného kužeľa, ktorý je vysoký 15 cm a polomery oboch podstav sú 5 cm a 8 cm.

Riešenie:

Pomocou vyššie študovaného vzorca možno napísať,

V = 1/3 nH(r²+ r'²+ rr')

Vzhľadom na to,

V = 15 cm
r'= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Príklad 2: Zistite povrch a celkový povrch zrezaného kužeľa, ktorý je vysoký 10 cm a polomery pre obe základne sú 4 cm a 8 cm.

Riešenie:

Poznáme vzorec pre povrchovú plochu a celkovú plochu zrezaného okraja. Musíme zadať požadované hodnoty.

Zakrivená plocha zrezaného okraja = πl(r+r’)

kde,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Vzhľadom na to,
V = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Výpočet hodnoty L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Zakrivená plocha zrezaného povrchu = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√ (29)

Celková plocha povrchu = zakrivená plocha zrezaného povrchu + plocha oboch základní

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Príklad 3: Povedzme, že máme otvorené kovové vedro, ktorého výška je 50 cm a polomery podstavcov sú 10 cm a 20 cm. Nájdite oblasť kovový plech používaný na výrobu vedra.

Riešenie:

Vedro má tvar zrezaného tvaru, ktorý sa uzatvára zdola. Musíme vypočítať celkový povrch tohto zrezaného okraja.

Dané
V = 50 cm
r = 10 cm
r = 20 cm

Zakrivená plocha zrezaného povrchu = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Zakrivená plocha zrezaného povrchu = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√ (26)

Celková plocha povrchu = zakrivená plocha zrezaného povrchu + plocha oboch základní

ako vrátiť pole java

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Príklad 4: Zistite vyjadrenie objemu zrezaného okraja, ak jeho výška je 6 y a polomery sú y a 2 y.

Riešenie:

Pomocou vyššie študovaného vzorca

V = 1/3 nH(r²+ r'²+ rr')

Vzhľadom na to,

H = 6 rokov
r'= y
r = 2 roky

V = 1/3 π6[(2r)²+ (a)²+ (y) (2 roky)]

V = 2πy (7r²)

V = 14πy³jednotka³

Časté otázky týkajúce sa kusu kužeľa

Otázka 1: Čo je to Frustum of a Cone?

odpoveď:

Keď vyrežeme kužeľ tak, že rovina rezu je rovnobežná so základňou kužeľa. Takto získaný výsledný obrazec sa nazýva Frustum of the Cone.

Otázka 2: Aké sú vzorce Frustum of Cone?

odpoveď:

Vzorce zrezaného kužeľa sú uvedené nižšie. Zoberme si zrezaný priemer základného polomeru „R“ a horný polomer „r“, výšku „H“ a výšku sklonu,

• Objem kusu kužeľa (V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)
• Celková plocha zrezaného kužeľa = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Otázka 3: Čo je CSA frustum?

odpoveď:

Zakrivený povrch zrezaného kužeľa sa vypočíta pomocou vzorca:

CSA = πl (r + r')

kde,
r' je polomer horného kruhu zrezaného okraja
r je základňa polomeru
l je výška sklonu

Otázka 4: Aký je povrch zrezaného kužeľa?

odpoveď:

Plocha povrchu zrezaného kužeľa sa vypočíta pomocou vzorca,

• CSA kusu kužeľa = πl [ (r²-r'²) / r' ]
• TSA zrezaného kužeľa = π (r²+ r'²) + πl [ (r²-r'²) / r']

Otázka 5: Aký je objem zrezaného kužeľa?

odpoveď:

Objem zrezaného kužeľa sa vypočíta podľa vzorca,

• V = 1/3πh[ (r³-r'³) / r']
• V = 1/3 nH(r²+ rr' + r'²)