INVERZNÁ MATICA

The inverzná k Matrixu je matica, ktorá po vynásobení pôvodnou maticou vedie k matici identity. Pre akúkoľvek maticu A je jej inverzná hodnota označená ako A^-1.

Dozvieme sa podrobne o inverznej matici vrátane jej definície, vzorca, metód, ako nájsť inverznú maticu, a príkladov.

Obsah

Inverzná matica
Termíny súvisiace s Matrix Inverse
Ako nájsť inverziu matice?
Inverzná matica vzorca
Metóda inverznej matice
Inverzný príklad matice 2×2
Determinant inverznej matice
Vlastnosti inverznej matice
Maticové inverzné riešené príklady

Inverzná matica je ďalšia matica, ktorá po vynásobení danou maticou dostane hodnotu multiplikatívna identita .

Pre maticu A a jej inverziu k A^-1, vlastní vlastnosť identity.

A.A ^-1 = A ^-1 A = ja

kde ja je matica identity.

Nižšie uvedená terminológia vám môže pomôcť jasnejšie a jednoduchšie pochopiť inverznú maticu.

Podmienky	Definícia	Vzorec/proces	Príklad s Matrix A
Menší	Menší prvok prvku v matici je determinantom matice vytvorenej odstránením riadku a stĺpca tohto prvku.	Pre prvok a_ij, odstráňte i-tý riadok a j-tý stĺpec, aby ste vytvorili novú maticu a nájdite jej determinant.	Menší z a _jedenásť je determinantom A = egin{bmatrix}5 & 6 6 & 7end{bmatrix}
Kofaktor	Kofaktor prvku je minorita tohto prvku vynásobená (-1) ^i+j , kde i a j sú riadkové a stĺpcové indexy prvku.	Kofaktor a_ij= (-1)^i+jMaloletý a_ij	Kofaktor a _jedenásť = (-1) ¹⁺¹ × Nepodstatné a _jedenásť = maloletý a _jedenásť
Determinant	Determinant matice sa vypočíta ako súčet súčinov prvkov ľubovoľného riadku alebo stĺpca a ich príslušných kofaktorov.	Pre riadok (alebo stĺpec) spočítajte súčin každého prvku a jeho kofaktora.	Determinant A = a _jedenásť × Kofaktor a _jedenásť + a ₁₂ × Kofaktor a ₁₂ + a ₁₃ × Kofaktor a ₁₃ .
námestník	Adjoint matice je transpozícia jej kofaktorovej matice.	Vytvorte maticu kofaktorov pre každý prvok pôvodnej matice a potom ju transponujte.	Adjungovanie A je transpozícia matice tvorenej kofaktormi všetkých prvkov v A.

Singulárna matica

Matica, ktorej hodnota determinantu je nula, sa nazýva singulárna matica, t.j. každá matica A sa nazýva singulárna matica, ak |A| = 0. Inverzná matica singulárnej matice neexistuje.

Nejednotná matica

Matica, ktorej hodnota determinantu je nenulová, sa nazýva nesingulárna matica, t.j. každá matica A sa nazýva nesingulárna matica, ak |A| ≠ 0. Existuje inverzia k nesingulárnej matici.

Matica identity

Štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky nulové okrem hlavných diagonálnych prvkov, sa nazýva matica identity. Je reprezentovaný pomocou I. Je to prvok identity matice ako pre akúkoľvek maticu A,

A × I = A

Príkladom matice identity je napr.

ja_3×3= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Toto je matica identity poriadku 3×3.

Čítaj viac :

Matica identity

Ako nájsť inverziu matice?

Existujú dva spôsoby, ako nájsť inverznú maticu v matematike:

Použitie maticového vzorca
Použitie metód inverznej matice

Inverzná matica vzorca

Inverzia matice A, teda A^-1sa vypočíta pomocou inverzného vzorca matice, ktorý zahŕňa delenie adjunktu matice jej determinantom.

Inverzná matica vzorca

A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}

kde,

adj A = adjunkcia matice A, a
|A| = determinant matice A.

Poznámka : Tento vzorec funguje iba so štvorcovými maticami.

Ak chcete nájsť inverziu matice pomocou inverzného vzorca matice, postupujte podľa týchto krokov.

Krok 1: Určte maloletých všetkých prvkov A.

Krok 2: Ďalej vypočítajte kofaktory všetkých prvkov a vytvorte maticu kofaktorov nahradením prvkov A ich príslušnými kofaktormi.

Krok 3: Urobte transpozíciu kofaktorovej matice A, aby ste našli jej adjunga (napísané ako adj A).

Krok 4: Vynásobte adj A prevrátenou hodnotou determinantu A.

Teraz pre akúkoľvek nesingulárnu štvorcovú maticu A,

A ^-1 = 1 / |A| × Úprava (A)

Príklad: Nájdite inverznú hodnotu maticeA=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]pomocou vzorca.

Máme,A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight]

Nájdite adjunkciu matice A výpočtom kofaktorov každého prvku a potom získajte transpozíciu matice kofaktorov.

adj A =left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

Nájdite hodnotu determinantu matice.

|A| = 4 (18 – 25) – 3 (54 – 5) + 8 (30 – 2)

⇒ |A| = 49

Takže inverzná matica je,

A^-1=frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight]

⇒ A^-1=left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]

Metóda inverznej matice

Existujú dve metódy inverznej matice na nájdenie inverznej matice:

Metóda determinantov
Elementárna transformačná metóda

Metóda 1: Metóda determinantov

Najdôležitejšou metódou na nájdenie inverznej matice je použitie determinantu.

spať v js

Inverzná matica sa tiež nájde pomocou nasledujúcej rovnice:

A ^-1 = adj(A) / det(A)

kde,

adj(A) je adjunktom matice A, a
to (A) je determinant matice A.

Na nájdenie adjunkcie matice A je potrebná kofaktorová matica A. Potom adjoint (A) je transpozícia kofaktorovej matice A, t.j.

adj (A) = [C _ij ] ^T

Pre kofaktor matrice, t.j. C_ij, môžeme použiť nasledujúci vzorec:

C _ij = (-1) ^i+j to (M _ij )

kde M _ij odkazuje na (i, j) ^th vedľajšia matica keď i ^th riadok a j ^th stĺpec je odstránený.

Metóda 2: Metóda elementárnej transformácie

Ak chcete nájsť inverznú maticu metódou elementárnej transformácie, postupujte podľa nasledujúcich krokov.

Krok 1 : Danú maticu napíšte ako A = IA, kde I je matica identity rovnakého rádu ako A.

Krok 2 : Použite postupnosť riadkových operácií alebo stĺpcových operácií, kým sa nedosiahne matica identity na LHS, tiež použite podobné elementárne operácie na RHS tak, že dostaneme I = BA. Matica B na RHS je teda inverzná k matici A.

Krok 3: Uistite sa, že pri vykonávaní základných operácií používame Operáciu riadkov alebo Operáciu stĺpcov.

Pomocou elementárnej operácie môžeme ľahko nájsť inverznú maticu 2 × 2. Pochopme to pomocou príkladu.

Príklad: Nájdite inverznú hodnotu k 2 × 2, A =egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}pomocou elementárnej operácie.

Riešenie:

Vzhľadom na to:

A = IA

egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}

Teraz, R₁⇢ R₁/2

egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂– R₁

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A

R₂⇢ R₂23

egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

R₁⇢ R₁– R₂/2

egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A

Teda inverzná matica A = egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} je

A^-1=egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}

Inverzný príklad matice 2×2

Inverznú maticu 2 × 2 je možné vypočítať aj pomocou skrátenej metódy okrem metódy diskutovanej vyššie. Zoberme si príklad, aby sme pochopili skratkovú metódu na výpočet inverznej matice 2 × 2.

Pre danú maticu A =egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix}

Vieme, |A| = (reklama – bc)

a adj A =egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

potom použite vzorec pre inverzný postup

A^-1= (1 / |A|) × Adj A

⇒ A^-1=[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix}

Vypočíta sa teda inverzia matice 2 × 2.

Inverzný príklad matice 3X3

Zoberme si akúkoľvek maticu 3×3 A =egin{bmatrix}a & b & c l & m & n p & q & rend{bmatrix}

Inverzia matice 3×3 sa vypočíta pomocou inverzný maticový vzorec ,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Determinant inverznej matice

Determinant inverznej matice je prevrátená hodnota determinantu pôvodnej matice. t.j.

to (A ^-1 ) = 1 / to (A)

Dôkaz vyššie uvedeného tvrdenia je diskutovaný nižšie:

det(A × B) = det (A) × det (B) (už viem)

⇒ A × A^-1= I (podľa vlastnosti inverznej matice)

⇒ to(A × A^-1) = to (ja)

⇒ it(A) × it(A^-1) = det(I) [ ale, det(I) = 1]

⇒ it(A) × it(A^-1) = 1

⇒ to (A^-1) = 1 / to (A)

Preto Dokázané.

Vlastnosti inverznej matice

Inverzná matica má nasledujúce vlastnosti:

Pre akúkoľvek nesingulárnu maticu A, (A ^-1 ) ^-1 = A
Pre akékoľvek dve nesingulárne matice A a B, (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
Inverzná k nesingulárnej matici existuje, k singulárnej matici inverzná neexistuje.
Pre akékoľvek nejednotné A, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Súvisiace:

Invertible Matrix
Matice: Vlastnosti a vzorce
Matematické operácie na maticách
Determinant matice
Ako nájsť determinant matice?

Maticové inverzné riešené príklady

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov otázok o Inverse of Matrix.

Príklad 1: Nájdite inverznú hodnotu maticeold{A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]}pomocou vzorca.

Riešenie:

Máme,

A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight]

Nájdite adjunkciu matice A výpočtom kofaktorov každého prvku a potom získajte transpozíciu matice kofaktorov.

adj A =left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

Nájdite hodnotu determinantu matice.

|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)

= –3

Takže inverzná matica je,

A^-1=frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]

Príklad 2: Nájdite inverznú hodnotu matice A=old{ pomocou vzorca.}left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Riešenie:

Máme,

A=left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight]

Nájdite adjunkciu matice A výpočtom kofaktorov každého prvku a potom získajte transpozíciu matice kofaktorov.

adj A =left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

Nájdite hodnotu determinantu matice.

|A| = 6 (0 – 4) – 2 (0 – 8) + 3 (0 – 0)

= 16

Takže inverzná matica je,

A^-1=frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]

Príklad 3: Nájdite inverznú hodnotu matice A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] } pomocou vzorca.

Riešenie:

Máme,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight]

Nájdite adjunkciu matice A výpočtom kofaktorov každého prvku a potom získajte transpozíciu matice kofaktorov.

adj A =left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Nájdite hodnotu determinantu matice.

|A| = 1 (1 – 0) – 2 (0 – 0) + 3 (0 – 0)

= 1

Takže inverzná matica je,

A^-1=frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]

Príklad 4: Nájdite inverznú hodnotu matice A=old{left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] } pomocou vzorca.

odliaty reťazec ako int

Riešenie:

Máme,

A=left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight]

Nájdite adjunkciu matice A výpočtom kofaktorov každého prvku a potom získajte transpozíciu matice kofaktorov.

adj A =left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

Nájdite hodnotu determinantu matice.

|A| = 1 (1 – 16) – 2 (2 – 12) + 3 (8 – 3)

= 20

Takže inverzná matica je,

A^-1=frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight]

=left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]

Často kladené otázky o inverzii matice

Čo je inverzia matice?

Reciproká matica sa nazýva inverzná matica. Iba štvorcové matice s nenulovými determinantmi sú invertovateľné. Predpokladajme, že pre akúkoľvek štvorcovú maticu A s inverznou maticou B je ich súčin vždy maticou identity (I) rovnakého rádu.

[A]×[B] = [I]

Čo je Matrix?

Matica je obdĺžnikové pole čísel, ktoré sú rozdelené do definovaného počtu riadkov a stĺpcov. Počet riadkov a stĺpcov v matici sa označuje ako jej rozmer alebo poradie.

Čo je inverzná matica 2×2?

Pre akúkoľvek maticu A alebo rád 3×3 sa jej inverzná hodnota nájde pomocou vzorca,

A ^-1 = (1 / |A|) × Adj A

Čo je inverzia matice 3×3?

Inverzia akejkoľvek štvorcovej matice 3×3 (povedzme A) je matica rovnakého rádu označená ako A^-1tak, že ich produktom je matica identity v poradí 3×3.

[A] _3×3 × [A ^-1 ] _3×3 = [ja] _3×3

Sú Adjoint a Inverse of Matrix rovnaké?

Nie, adjunkcia matice a inverzia matice nie sú rovnaké.

Ako používať inverziu matice?

Inverzná matica sa používa na riešenie algebraických výrazov v maticovom tvare. Napríklad na riešenie AX = B, kde A je matica koeficientov, X je premenná matica a B je konštantná matica. Tu sa premenná matica nájde pomocou inverznej operácie ako,

X = A ^-1 B

Čo sú invertibilné matice?

Matice, ktorých inverzné existujú, sa nazývajú invertibilné. Invertibilné matice sú matice, ktoré majú nenulový determinant.

Prečo neexistuje inverzná matica 2 × 3?

Existuje inverzia iba štvorcovej matice. Keďže matica 2 × 3 nie je štvorcová, ale skôr obdĺžniková, jej inverzná matica neexistuje.

Podobne matica 2 × 1 tiež nie je štvorcová matica, ale skôr obdĺžniková matica, takže jej inverzná matica neexistuje.

Čo je inverzná matica identity?

Inverzná matica identity je samotná matica identity. Je to preto, že matica identity, označovaná ako ja (alebo ja _n pre n × n matica), je jedinou maticou, pre ktorú je každý prvok pozdĺž hlavnej uhlopriečky 1 a všetky ostatné prvky sú 0. Keď vynásobíme maticu identity sama o sebe (alebo jej inverznú), dostaneme znova maticu identity.

Inverzná matica

Inverzná matica

Termíny súvisiace s Matrix Inverse

Singulárna matica

Nejednotná matica

Matica identity

Ako nájsť inverziu matice?

Inverzná matica vzorca

Metóda inverznej matice

Metóda 1: Metóda determinantov

Metóda 2: Metóda elementárnej transformácie

Inverzný príklad matice 2×2

Inverzný príklad matice 3X3

Determinant inverznej matice

Vlastnosti inverznej matice

Maticové inverzné riešené príklady

Často kladené otázky o inverzii matice

Čo je inverzia matice?

Čo je Matrix?

Čo je inverzná matica 2×2?

Čo je inverzia matice 3×3?

Sú Adjoint a Inverse of Matrix rovnaké?

Ako používať inverziu matice?

Čo sú invertibilné matice?

Prečo neexistuje inverzná matica 2 × 3?

Čo je inverzná matica identity?