Znalosť matíc je potrebná pre rôzne odvetvia matematiky. Matice sú jedným z najsilnejších nástrojov v matematike. Z matíc pochádzajú determinanty. Teraz v tomto článku vidíme jednu z vlastností determinantu.

V tomto článku uvidíme, ako nájsť Pripojenie matice. Ak chcete vedieť o Pripojenie matice musíme vedieť o Kofaktor matice.

Obsah

• Adjunkcia maticovej definície
• Minor z Matrixu
• Kofaktor matice
• Transpozícia Matrixu
• Ako nájsť Adjoint of a Matrix?
• Vlastnosti adjunkcie matice
• Hľadanie inverznej funkcie pomocou adjunkcie matice

Adjunkcia maticovej definície

Adjoint matice je transpozičná matica kofaktora danej matice. Pre ľubovoľnú štvorcovú maticu A vypočítajte jej adj. matice musíme najprv vypočítať kofaktorovú maticu danej matice a potom nájsť jej determinant. Ak chcete vypočítať spojenie matice, postupujte podľa nasledujúcich krokov:

Krok 1 : Vypočítajte Minor všetkých prvkov danej matice A.

Krok 2: Nájdite kofaktorovú maticu C pomocou vedľajších prvkov.

Krok 3: Nájdite adjungovanú maticu A pomocou transponovania kofaktorovej matice C.

Pre akúkoľvek maticu A 2 × 2 je obrázok jej Adjoint zobrazený nižšie,

Teraz sa dozvieme o Minor, Cofactor a Transpose matice.

Minor z Matrixu

Vedľajší prvok matice je matica alebo prvok, ktorý sa vypočíta skrytím riadka a stĺpca matice prvku, pre ktorý sa vypočítava vedľajšia hodnota. Pre maticu 2×2 je vedľajší prvok, ktorý sa zobrazí skrytím riadku a stĺpca prvku, pre ktorý sa vypočítava vedľajší prvok.

Naučiť sa viac o, Neplnoletí a kofaktory

Kofaktor matice

Kofaktor je číslo, ktoré dostaneme, keď odstránime stĺpec a riadok určeného prvku v matici. Znamená to vziať jeden prvok z matice a vymazať celý riadok a stĺpec tohto prvku z matice, potom ktoré prvky sú prítomné v tejto matici, ktorá sa nazýva kofaktor.

Ako nájsť kofaktor matice

Na nájdenie kofaktora prvku matice môžeme použiť nasledujúce kroky:

Krok 1: Odstráňte celý riadok a stĺpec, ktorý obsahuje posudzovaný prvok.

Krok 2: Zostávajúce prvky vezmite tak, ako sú v matici po kroku 1.

Krok 3: Nájdite determinant matice vytvorenej v kroku 2, ktorý sa nazýva maloletý prvku.

Krok 4: Teraz použite vzorec pre kofaktor prvku a_ijt.j. (-1)^i+jM_ijkde Mij je moll prvku v i^thriadok a j^thktorý je už vypočítaný v kroku 3.

Krok 5: Výsledkom kroku 4 je kofaktor uvažovaného prvku a podobne môžeme vypočítať kofaktor každého prvku matice, aby sme našli maticu kofaktorov danej matice.

Príklad: Nájdite maticu kofaktorov old{A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Riešenie:

Daná matica jeA =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}

Nájdite kofaktor prvku v prvom riadku v treťom stĺpci, tj 3.

Krok 1: Odstráňte celý riadok a stĺpec, ktorý obsahuje posudzovaný prvok.

t.j. egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix}

Krok 2: Zostávajúce prvky vezmite tak, ako sú v matici po kroku 1.

t.j.egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix}

Krok 3: Nájdite determinant matice vytvorenej v kroku 2, ktorý sa nazýva vedľajší prvok prvku.

Menší 3 palceA = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32

Krok 4: Teraz použite vzorec pre kofaktor prvku a_ijt.j. (-1)^i+jM_ij

Kofaktor prvku 3 = (-1)¹⁺³(32) = 32

Krok 5: Pokračujte v postupe pre všetky prvky, aby ste našli kofaktorovú maticu A,

t.j. matica kofaktorov A =egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}

Transpozícia Matrixu

Transpozícia matice je matica, ktorá vzniká vzájomnou výmenou riadkov a stĺpcov matice. Transpozícia matice A je označená ako A^Talebo A^'. Ak je poradie matice A m×n, potom poradie transponovanej matice je n×m.

Naučiť sa viac o, Transpozícia matice

Ako nájsť Adjoint of a Matrix?

Aby sme našli Adjoint of a Matrix, musíme najprv nájsť kofaktor každého prvku a potom nájsť ďalšie 2 kroky. pozri nižšie kroky,

Krok 1: Nájdite kofaktor každého prvku prítomného v matici.

Krok 2: Vytvorte ďalšiu maticu s kofaktormi ako jej prvkami.

Krok 3: Teraz nájdite transpozíciu matice, ktorá pochádza z kroku 2.

Ako nájsť Adjoint matice 2×2

Zoberme si príklad na pochopenie metódy na nájdenie adjunktu matice 2×2.

Príklad: Find the Adjoint of old{ ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}} .

Riešenie:

Daná matica je ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}

Krok 1: Nájdite kofaktor každého prvku.

Kofaktor prvku v A[1,1]: 5

Kofaktor prvku pri A[1,2]: -4

Kofaktor prvku pri A[2,1]: -3

Kofaktor prvku v A[2,2]: 2

Krok 2: Vytvorte maticu z kofaktorov

t.j.old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}}

Krok 3: Transpozícia kofaktorovej matice,

old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}

Ako nájsť Adjoint matice 3×3

Vezmime si príklad matice 3×3, aby sme pochopili, ako vypočítať Adjoint tejto matice.

Príklad: Find the Adjoint of old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Riešenie:

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Krok 1: Nájdite kofaktor každého prvku.

C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3

Krok 2: Vytvorte maticu z kofaktorov

veľkosti písma v latexe

C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix}

Krok 3: Transponujte maticu C na adjunkciu danej matice.

operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix}

Ktorý je adjunktom danej matice A.

Vlastnosti adjunkcie matice

Spojenie matice má rôzne vlastnosti, niektoré z nich sú nasledovné:

• A(Adj A) = (Adj A)A = |A| ja_n
• Úprava (BA) = (Úprava B) (Úprava A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1(Úprava A)

Hľadanie inverznej funkcie pomocou adjunkcie matice

Hľadanie inverznej hodnoty je jednou z dôležitých aplikácií Adjointu matice. Na nájdenie inverznej matice pomocou funkcie Adjoint môžeme použiť nasledujúce kroky:

Krok 1: Nájsť determinant matice .

Krok 2: Ak je determinant nula, potom matica nie je invertibilná a neexistuje inverzná.

Krok 3: Ak je determinant nenulový, nájdite adjoint matice.

Krok 4: Vydeľte adjunkciu matice determinantom matice.

Krok 5: Výsledkom kroku 4 je inverzia danej matice.

Príklad: Nájdite prevrátenú hodnotu old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Riešenie:

Daná maticaA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

|A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)

⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)

⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0

Inverzia k A teda neexistuje.

Naučiť sa viac o, Inverzná matica

Vyriešené príklady adjunkcie matice

Príklad 1: Nájdite Adjoint danej matice A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} .

Riešenie:

Krok 1: Nájdite kofaktor každého prvku

Aby sme našli kofaktor každého prvku, musíme jeden po druhom vymazať riadok a stĺpec každého prvku a po odstránení zobrať prítomné prvky.

Kofaktor prvkov pri A[0,0] = 1: +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4

Kofaktor prvkov pri A[0,1] = 2: -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33

Kofaktor prvkov pri A[0,2] = 3: +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32

Kofaktor prvkov pri A[2,0] = 7 : -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6

Kofaktor prvkov pri A[2,1] = 4 : +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9

Kofaktor prvkov pri A[2,2] = 5 : -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4

Kofaktor prvkov pri A[3,0] = 6 : +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2

Kofaktor prvkov pri A[3,1] = 8 : -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16

Kofaktor prvkov pri A[3,2] = 9 : +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10

Matica vyzerá s kofaktormi takto:

A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix}

Konečná matica kofaktorov:

A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix}

Krok 2: Nájdite transpozíciu matice získanej v kroku 1

adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix}

To je Adjunkcia matice.

Príklad 2: Nájdite Adjoint danej matice A =egin{bmatrix} -1 & -2 & -2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 end{bmatrix} .

Riešenie:

Krok 1: Nájdite kofaktor každého prvku

Aby sme našli kofaktor každého prvku, musíme jeden po druhom vymazať riadok a stĺpec každého prvku a po odstránení zobrať prítomné prvky.

Kofaktor prvku pri A[0,0] = -1 :+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3

Kofaktor prvkov pri A[0,1] = -2 :-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6

Kofaktor prvkov pri A[0,2] = -2 :+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6

Kofaktor prvkov pri A[2,0] = 2:-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6

Kofaktor prvkov na A[2,1] = 1: +egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3

Kofaktor prvkov na A[2,2] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor prvkov pri A[3,0] = 2:+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6

Kofaktor prvkov na A[3,1] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor prvkov na A[3,2] = 1:+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3

Konečná matica kofaktorov:

A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Krok 2: Nájdite transpozíciu matice získanej v kroku 1

adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix}

To je Adjunkcia matice.

Časté otázky o adjunkcii matice

Čo je Adjoint of a Matrix?

Adjungom štvorcovej matice je transpozícia matice kofaktorov pôvodnej matice. Je tiež známy ako adjugátová matrica.

Ako sa vypočíta adjunkcia matice?

Ak chcete vypočítať adjunkciu matice, musíte nájsť kofaktorovú maticu danej matice a potom ju transponovať.

Čo je použitie adjunkcie matice?

Kľúčovou aplikáciou alebo použitím adjointu matice je nájsť inverznú maticu invertovateľných matíc.

Aký je vzťah medzi inverznou maticou a jej adjointom?

Inverzia matice sa získa vydelením jej adjungovaného determinantom. To znamená, že ak A je štvorcová matica a det(A) je nenulová, potom

A ^-1 = adj(A)/det(A)

Čo je Adjugate Matrix?

Adjungovaná matica sa tiež nazýva Adjugate Matrix. Je to transpozícia kofaktora danej matice.

Aký je rozdiel medzi adjointom a transpozíciou matice?

Adjoint matice je transpozícia matice kofaktorov, zatiaľ čo transpozícia matice sa získa výmenou jej riadkov a stĺpcov.

Je štvorcová matica vždy invertibilná?

Nie, štvorcové matice nie sú vždy invertovateľné. Štvorcová matica je invertibilná len vtedy, ak má nenulový determinant.

Dá sa vypočítať adjunkcia neštvorcovej matice?

Nie, adjunkciu matice možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu kvôli jej definícii.