Inverzná matica 3 × 3 je a matice ktorý po vynásobení pôvodným Matrixom dáva matica identity ako výrobok. Inverzia matice je základným aspektom lineárnej algebry. Tento proces hrá kľúčovú úlohu pri riešení sústav lineárnych rovníc a rôznych matematických aplikáciách. Na výpočet inverznej hodnoty je potrebné vypočítať pridruženú maticu, skontrolovať invertibilitu matice preskúmaním jej determinantu (ktorý by sa nemal rovnať nule) a použiť vzorec na odvodenie inverznej matice.

Tento článok sa zaoberá rôznymi konceptmi inverznej matice 3 × 3 a ako nájsť inverznú maticu 3 × 3 výpočtom kofaktorov, adjointov a determinantov matice 3 × 3. Ďalej v tomto článku nájdete aj vyriešené príklady pre lepšie pochopenie a tiež otázky na precvičenie, aby ste si overili, čo sme sa z toho naučili.

Obsah

• Čo je inverzná matica 3 × 3?
• Ako nájsť inverznú maticu 3 × 3?
• Prvky použité na nájdenie inverznej matice 3 × 3
• Inverzná k maticovému vzorcu 3 × 3
• Hľadanie inverznej matice 3 × 3 pomocou riadkových operácií

Čo je inverzná matica 3 × 3?

Inverzná matica 3 × 3 je matica, ktorá po vynásobení pôvodnou maticou vedie k matici identity. Ak chcete nájsť inverznú maticu, môžete vypočítať pripojenú maticu, určiť, či je matica invertibilná (nejednotná), skontrolovaním jej determinantu (ktorý by sa nemal rovnať nule) a potom použiť vzorec A^-1= (adj A) / (det A). Inverzná matica umožňuje riešiť sústavy lineárnych rovníc a vykonávať rôzne matematické operácie.

Ako nájsť inverznú maticu 3 × 3?

Postupujte podľa krokov uvedených nižšie, aby ste našli inverznú maticu 3 × 3:

Krok 1: Najprv skontrolujte, či je možné maticu prevrátiť. Na tento účel vypočítajte determinant matice. Ak determinant nie je nula, prejdite na ďalší krok.

Krok 2: Vypočítajte determinant menších matíc 2 × 2 v rámci väčšej matice.

Krok 3: Vytvorte kofaktorovú maticu.

Krok 4: Získajte Adjugate alebo Adjoint matice vykonaním transpozície kofaktorovej matice.

Krok 5: Nakoniec vydeľte každý prvok v pridruženej matici determinantom pôvodnej matice 3 x 3.

faktoriálna java

Súvisiace Čítanie

• Cofactor and Minors of Matrix
• Transpozícia Matrixu

Prvky použité na nájdenie inverznej matice 3 × 3

Na nájdenie inverznej matice 3 × 3 sa používajú hlavne dva prvky:

• Adjunkcia Matrixu
• Determinant matice

Spojenie matice 3 × 3

The adjunkcia matice A sa zistí transpozíciou kofaktorovej matice A. Ak chcete podrobne vypočítať adjungovanie matice, postupujte podľa poskytnutých pokynov.

Pre maticu 3 × 3 je kofaktorom akéhokoľvek prvku determinant matice 2 × 2 vytvorenej odstránením riadku a stĺpca obsahujúceho daný prvok. Pri hľadaní kofaktorov striedate pozitívne a negatívne znaky.

Napríklad daná matica A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Minor matica sa získa takto:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Vypočítajte determinanty matíc 2 × 2 vytvorených diagonálnym vynásobením a odčítaním súčinov zľava doprava, t. j. vedľajších.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Takže kofaktorová matica je:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Transpozíciou kofaktorovej matice získame adjungovanú maticu.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant matice 3 × 3

Pomocou rovnakého príkladu, ako sme diskutovali vyššie, môžeme vypočítať determinant matice A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Vypočítajte determinant matice pomocou prvého riadku,

Det A = 2 (kofaktor 2) + 1 (kofaktor 1) + 3 (kofaktor 3)

že A = 2 (0) + 1 (4) + 3 (-2)

To A = 2 + 4 – 6

To A = 0

Môžete skontrolovať Trik na výpočet determinantu matice 3×3

Inverzná k maticovému vzorcu 3 × 3

Ak chcete nájsť inverznú hodnotu matice A 3 × 3, môžete použiť vzorec A-1 = (adj A) / (det A), kde:

• adj A je adjungovaná matica A.
• det A je determinant A.

Aby A-1 existovalo, det A by sa nemalo rovnať nule. To znamená:

• A^-1existuje, keď det A nie je nula (A je nesingulární).
• A^-1neexistuje, keď det A je nula (A je jednotné číslo).

Tu sú kroky na nájdenie inverznej matice 3 × 3 pomocou rovnakého príkladu:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Krok 1: Vypočítajte adjungovanú maticu (adj A).

Ak chcete nájsť pridruženú maticu, nahraďte prvky A ich zodpovedajúcimi kofaktormi.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Krok 2: Nájdite determinant A (det A).

Na výpočet determinantu A môžete použiť vzorec pre maticu 3 × 3. V tomto prípade det A = -8.

Krok 3: Použite vzorec A^-1= (adj A) / (det A) na nájdenie inverznej matice A^-1.

Vydeľte každý prvok pripojenej matice determinantom A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Pri zjednodušení zlomkov,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Hľadanie inverznej matice 3 × 3 pomocou riadkových operácií

Ak chcete nájsť inverznú maticu 3×3, môžete postupovať podľa týchto krokov:

Krok 1: Začnite s danou maticou A 3×3 a vytvorte maticu identity I rovnakej veľkosti, umiestnite A na ľavú stranu a I na pravú stranu rozšírenej matice, oddelené čiarou.

Krok 2: Aplikujte sériu riadkových operácií na rozšírenú maticu na ľavej strane, aby ste ju transformovali na maticu identity I. Matica na pravej strane riadku sa zmení na A^-1, je inverzná hodnota pôvodnej matice A.

Uč sa viac, Základná prevádzka matíc

Tiež skontrolujte

• Typy matíc
• Invertible Matrix
• Stopa Matrixu

Vyriešené príklady na inverznej matici 3 × 3

Príklad 1: Nájdite inverznú hodnotu

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Riešenie:

Malá matica D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Vedľajšia matica D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor matice, t.j. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transpozícia matice X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Teraz nájdeme determinant D pomocou prvého riadku:

že D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ To D = 6+0+14

⇒ To D = 20

Inverzná k matici D alebo D^-1= Úprava D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Príklad 2: Nájdite inverznú hodnotu

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor matice E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Kofaktor matice E, t.j. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Poďme teraz nájsť determinant matice E pomocou prvého riadku:

reťazec prevodníka na dátum

že E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

To E = -1 + 0 + 1

To E = 0

∴ Keďže determinant matice E je ekvivalentný 0, inverzia matice E alebo E^-1nie je možné.

Precvičte si otázky na inverznej matici 3 × 3

Q1. Vypočítajte inverznú hodnotu nasledujúcej matice 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Nájdite inverznú maticu B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Určite, či je matica C invertibilná, a ak áno, nájdite jej inverznú hodnotu:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Vypočítajte inverznú hodnotu matice D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. Pre maticu E skontrolujte, či je invertibilná, a ak áno, nájdite jej inverznú hodnotu:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverzná k matici 3×3 – často kladené otázky

1. Čo je inverzná matica 3×3?

Inverzná matica 3×3 je ďalšou maticou, ktorá po vynásobení pôvodnou maticou poskytne maticu identity.

2. Prečo je dôležité nájsť inverznú hodnotu?

Je nevyhnutný pre riešenie sústav lineárnych rovníc, transformácií a rôznych matematických operácií.

3. Ako vypočítate inverziu matice 3×3?

Zvyčajne nájdete pridruženú maticu, skontrolujete nenulovú hodnotu determinantu a použijete špecifický vzorec.

4. Kedy neexistuje inverzia matice 3×3?

Neexistuje, keď je determinant matice nula, čo ju robí singulárnou.

5. Môže mať každá matica 3×3 inverznú hodnotu?

Nie, iba nesingulárne matice s nenulovým determinantom majú inverzné vlastnosti.

6. Aká je úloha Adjoint Matrix pri hľadaní inverznej?

Pridružená matica pomáha pri výpočte inverznej hodnoty poskytnutím kofaktorov pre každý prvok.

7. V ktorých oblastiach je široko používaný koncept 3×3 Matrix inverzie?

Koncept inverzie 3×3 Matrix sa používa v inžinierstve, fyzike, počítačovej grafike a rôznych matematických disciplínach.

8. Ako získať inverznú maticu 3×3?

Ak chcete nájsť inverznú maticu 3×3, môžete postupovať podľa týchto krokov:

• Najprv vypočítajte determinant matice.
• Ak sa determinant nerovná 0, prejdite na ďalší krok. Ak je 0, matica nemá inverznú hodnotu.
• Nájdite maticu neplnoletých vytvorením matíc 3 × 3 pre každý prvok v pôvodnej matici, s výnimkou riadku a stĺpca prvku, na ktorý sa zameriavate.
• Vypočítajte maticu kofaktorov aplikovaním vzoru znamienok plus a mínus na prvky matice maloletých.
• Transponujte maticu kofaktorov výmenou riadkov za stĺpce.
• Nakoniec vydeľte transponovanú maticu kofaktorov determinantom, aby ste dostali inverznú maticu 3 × 3.