Na novo prepracovanom SAT 2016 je obsah matematickej sekcie rozdelený do štyroch kategórií podľa rady kolégia: Srdce algebry, Riešenie problémov a analýza údajov, Pas pre pokročilú matematiku a Ďalšie témy v matematike. Srdce algebry tvorí najväčšiu časť matematickej časti SAT (33 % testu) , tak sa na to treba dobre pripraviť. V tomto príspevku budem diskutovať o obsahu tejto kategórie a typoch otázok, prepracujem sa cez praktické problémy a poskytnem tipy, ako tieto otázky vyriešiť.

Srdce algebry: Prehľad

Obsah pokrytý

Ako už názov napovedá, Heart of Algebra pokrýva obsah algebry, ale aký obsah algebry konkrétne? Tieto otázky zahŕňajú:

• Lineárne rovnice
• Systém rovníc
• Absolútna hodnota
• Grafovanie lineárnych rovníc
• Lineárne nerovnosti a systémy nerovností

Nižšie sa ponorím do každej z týchto oblastí obsahu. Vysvetlím vám presne to, čo potrebujete vedieť v každej oblasti, a prevediem vás niekoľkými praktickými problémami.

POZNÁMKA: Všetky praktické problémy v tomto článku pochádzajú z a skutočný praktický test College Board SAT (Cvičný test č. 1).

Odporúčam vám, aby ste tento článok nečítali, kým nespravíte praktický test #1 (aby som vám to nepokazil!). Ak ste neabsolvovali praktický test č. 1, uložte si tento článok medzi záložky a vráťte sa po jeho dokončení. Ak ste už absolvovali praktický test č. 1, čítajte ďalej!

Rozdelenie otázok srdca algebry

Ako som spomenul na začiatku článku, srdce algebry tvorí 33 % matematickej časti, čo 19 otázok. V časti 3 (matematický test bez kalkulačky) ich bude osem a v časti 4 (test z matematiky na kalkulačke) 11.

Otázky týkajúce sa srdca algebry sa líšia prezentáciou. Pretože je ich tak veľa, rada kolégia potrebovala pomiešať spôsob, akým vám kladie tieto otázky. Uvidíte otázky srdca algebry s možnosťou výberu z viacerých odpovedí a mriežky. Môžete jednoducho byť prezentované s rovnicou (rovnicami) a je potrebné ho vyriešiť alebo by ste mohli dostať scenár zo skutočného sveta ako slovnú úlohu a je potrebné vytvoriť rovnicu (rovnice), aby ste našli odpoveď.

Matematická časť SAT predstavuje otázky v poradí podľa náročnosti (definované podľa toho, ako dlho trvá priemernému študentovi vyriešiť problém, a podľa percenta študentov, ktorí odpovedia na otázku správne). V celej sekcii uvidíte otázky týkajúce sa srdca algebry : jednoduché, „ľahké“ sa objavia na začiatku viacerých možností a mriežky, zatiaľ čo náročnejšie, ktoré vyžadujú, aby ste vytvorili rovnicu alebo rovnice na vyriešenie, sa objavia na konci.

Uvediem príklady každého typu otázok (jednoduché a ťažké), keď sa v ďalšej časti dozvieme o každej oblasti obsahu.

Sme na ceste k dobývaniu algebry!

Rozdelenie oblastí obsahu

Lineárne rovnice

Otázky lineárnych rovníc môžu byť prezentované niekoľkými spôsobmi. Ľahšie otázky týkajúce sa lineárnych rovníc vás požiadajú o vyriešenie lineárnej rovnice, ktorá vám bola zadaná. Ťažšie otázky týkajúce sa lineárnych rovníc vás požiadajú o napísanie lineárnej rovnice, ktorá bude reprezentovať danú situáciu.

Žiadne problémy s precvičovaním kalkulačky

Táto otázka znie jedna z najjednoduchších, najjednoduchších a najpriamejších otázok o srdci algebry že uvidíš. Otázka vás len žiada, aby ste vyriešili lineárnu rovnicu bez toho, aby ste ju situovali do situácie reálneho sveta, ktorá by od vás vyžadovala pochopenie kontextu, ako aj rovnice.

Vysvetlenie odpovede:

Keďže $k=3$, je možné nahradiť 3 za k v rovnici, čo dáva ${x-1}/{3}=3$. Vynásobením oboch strán ${x-1}/{3}=3$ číslom 3 dostaneme $x-1=9$ a ak na každú stranu pripočítate 1, výsledkom bude $x=10$. D je správna odpoveď.

Tip:

Ak ste s touto otázkou zápasili, môžete ju vyriešiť aj tak, že zapojíte možnosti odpovedí pre x a uvidíte, ktorá z nich funguje. Zapojenie bude fungovať, ale zaberie vám viac času ako jednoduché riešenie rovnice.

Ak vyriešite rovnicu, aby ste našli x, môžete svoju odpoveď ešte raz skontrolovať tak, že ju zapojíte. Ak zapojíte svoju voľbu odpovede pre x a obe strany rovnice sú rovnaké, viete, že máte správnu odpoveď!

Nasledujúca otázka je trochu náročnejšie pretože vás požiada o vytvorenie lineárnej rovnice, ktorá bude reprezentovať scenár skutočného sveta, ktorý predstavuje.

Vysvetlenie odpovede:

K tomuto problému je možné pristupovať dvoma spôsobmi.

Prístup 1: Celkový počet správ odoslaných Armandom sa rovná jeho rýchlosti textových správ (m textov/hodinu) vynásobenej 5 hodinami, ktoré strávil textovaním: m textov/hodina × 5 hodín = 5 miliónov $ textov. Podobne, celkový počet správ odoslaných Tyronom sa rovná jeho miere textových správ (p textov/hodinu) vynásobenej 4 hodinami, ktoré strávil textovaním: p textov/hodina × 4 hodiny = $4p$ textov. Celkový počet správ odoslaných Armandom a Tyronom sa rovná súčtu celkového počtu správ odoslaných Armandom a celkového počtu správ odoslaných Tyronom: $5 miliónov + 4p$. C je správna odpoveď.

Prístup 2: Vyberte čísla a zapojte ich. Napríklad, vyberiem čísla a poviem, že Armand posiela 3 SMS za hodinu a Tyrone posiela 10 SMS za hodinu. Na základe uvedených informácií, ak Armand píše SMS 5 hodín, Armand poslal (3 SMS za hodinu) (5 hodín) SMS alebo 15 SMS; ak Tyrone posiela SMS 4 hodiny, Tyrone odoslal (10 textov za hodinu) (4 hodiny) texty alebo 40 textov. Preto je celkový počet textov odoslaných Armandom a Tyronom $15+40=55$ textov. Teraz vložím čísla, ktoré som si vybral, k odpovediam a uvidím, či sa počet textov zhoduje s 55 textami, takže pre odpoveď C sú $5(3) +4(10)=15+40=55$ textov. Preto je C správna odpoveď. POZNÁMKA: pre túto otázku bola táto stratégia pomalšia, ale pre komplikovanejšie otázky to môže byť rýchlejší a jednoduchší prístup.

Tip:

Urobte tieto problémy krok za krokom. Zistite celkový počet Armandových textových správ, potom zistite celkový počet správ od Tyrona a potom ich spojte do jedného výrazu. Neponáhľajte sa skočiť na konečnú odpoveď. Cestou môžete urobiť chybu.

Systémy rovníc

Otázky systému rovníc budú prezentované podobným spôsobom ako otázky lineárnych rovníc; však, sú ťažšie pretože teraz musíte urobiť viac krokov a/alebo vytvoriť druhú rovnicu.

The jednoduchší systém rovnicových otázok vás požiada, aby ste vyriešili jednu premennú, keď dostanete dve rovnice s dvoma premennými.

The ťažší systém otázok rovníc bude vyžadovať, aby ste napísali systém rovníc, ktoré reprezentujú danú situáciu, a potom vyriešte jednu premennú pomocou rovníc, ktoré ste vytvorili.

Žiadne problémy s precvičovaním kalkulačky

Táto otázka je pravdepodobne najjednoduchšie, najľahšie a najpriamejšie systémy rovnicových otázok že uvidíš. Nastaví za vás rovnice a jednoducho vás požiada o riešenie pre x.

Vysvetlenie odpovede:

Odčítaním ľavej a pravej strany $x+y=−9$ od zodpovedajúcich strán $x+2y =−25$ dostaneme $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , čo je ekvivalent $y=−16$. Nahradením $−16$ za $y$ v $x+y=−9$ dostane $x+(−16)=−9$, čo je ekvivalent $x=−9−(−16) =7$. Správna odpoveď je 7.

Tip:

Zapojenie môže byť dobrou voľbou, ak dostanete túto otázku v rámci výberu z viacerých odpovedí (čo v tomto prípade neplatí). Mohli ste však zapojiť aj svoju odpoveď, aby ste si overili svoju prácu!

Tu je ďalší pomerne jednoduchý systém otázok týkajúcich sa rovníc, ale je trochu ťažšie pretože musíte poskytnúť odpoveď pre x aj y (čo vytvára väčší potenciál pre chyby).

Vysvetlenie odpovede:

Pridaním x a 19 na obe strany $2y−x=−19$ dostaneme $x=2y+19$. Potom nahradením $2y+19$ za x v $3x+4y=-23$ dostaneme $3(2y + 19)+4y=-23$. Táto posledná rovnica je ekvivalentná $10y+57=-23$. Vyriešením $10y+57=−23$ dostaneme $y=−8$. Nakoniec dosadením −8 za y v $2y−x=−19$ dostaneme $2(−8)−x=−19$ alebo $x=3$. Preto riešením $(x, y)$ danej sústavy rovníc je $(3, −8)$.

Tip:

Zapojenie by bolo tiež rýchlym spôsobom, ako to vyriešiť! Keď budete požiadaní o vyriešenie oboch premenných v systéme rovnice, vždy skúste zapojiť!

Nasleduje a trochu ťažšie. Aj keď ste dostali rovnice, stále musíte určiť, na čo sa vás otázka pýta (ktorú premennú musíte vyriešiť), čo je o niečo náročnejšie, pretože vám kladie otázku pomocou scenára zo skutočného sveta. Tiež to musíte vyriešiť pomocou mentálnej matematiky (keďže je to v sekcii bez kalkulačky).

Vysvetlenie odpovede:

Ak chcete určiť cenu za libru hovädzieho mäsa, keď sa rovnala cene za libru kuracieho mäsa, určte hodnotu x (počet týždňov po 1. júli), keď sa obe ceny zhodovali. Ceny boli rovnaké, keď $b=c$; to znamená, keď $ 2,35 + 0,25 x = 1,75 + 0,40 x $. Táto posledná rovnica je ekvivalentná $0,60=0,15x$, a teda $x={0,6}/{0,15}=4$. Potom na určenie $b$, ceny za libru hovädzieho mäsa, nahraďte 4 za $x$ v $b=2,35+0,25x$, čím získate $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dolárov za libru. Preto je D správna odpoveď.

Tip:

Nespěchejte s každým krokom. Je ľahké urobiť malú chybu a dostať nesprávnu odpoveď.

Problém praxe s kalkulačkou

Nasleduje jedna z najťažších otázok o srdci algebry. Na základe skutočného scenára, ktorý je uvedený v otázke, musíte vytvoriť dve rovnice a potom ich vyriešiť.

Vysvetlenie odpovede:

Na určenie počtu predaných šalátov napíšte a vyriešte sústavu dvoch rovníc. Nech $x$ sa rovná počtu predaných šalátov a $y$ sa rovná počtu predaných nápojov. Keďže počet šalátov plus počet predaných nápojov sa rovná 209, musí platiť rovnica $x+y=209$. Keďže každý šalát stál 6,50, každá sóda 2,00 a celkový príjem bol 836,50, musí platiť aj rovnica 6,50 x + 2,00 y=836,50 $. Rovnica $x+y=209$ je ekvivalentná $2x+2y=418$ a odpočítaním každej strany $2x+2y=418$ od príslušnej strany $6,50x+2,00y=836,50$ dostaneme $4,5x=418,50 $ $. Preto počet predaných šalátov x bol x = {418,50}/{4,50} = 93 $. Preto je B správna odpoveď.

Tip:

Urobte tieto problémy krok za krokom. Napíšte rovnicu pre celkový počet predaných šalátov a nápojov, potom vypočítajte rovnicu pre príjmy a potom vyriešte. Neponáhľajte sa, inak by ste mohli urobiť chybu.

Absolútna hodnota

Zvyčajne bude existovať iba jedna otázka absolútnej hodnoty v sekcii SAT matematika. Otázka je zvyčajne celkom jednoduchá a priamočiara, ale vyžaduje, aby ste poznali pravidlá absolútnej hodnoty, aby ste na ňu odpovedali správne. Čokoľvek, čo je absolútnou hodnotou, bude označené znakmi absolútnej hodnoty, ktoré vyzerajú takto: || Napríklad $|-4|$ alebo $|x-1|$

Absolútna hodnota je vyjadrením vzdialenosti pozdĺž číselnej osi, dopredu alebo dozadu.

To znamená, že všetko, čo je v znamienku absolútnej hodnoty, sa stane kladným pretože predstavuje vzdialenosť pozdĺž číselnej osi a nie je možné mať zápornú vzdialenosť. Napríklad na vyššie uvedenej číselnej osi je -2 o 2 ďalej od 0. Čokoľvek v rámci absolútnej hodnoty sa stane kladným.

To tiež znamená, že rovnica absolútnej hodnoty bude mať vždy dve riešenia . Napríklad $|x-1|=2$ bude mať dve riešenia $x-1=2$ a $x-1=-2$. Potom vyriešite každú samostatnú rovnicu, aby ste našli dve riešenia, $x=3,-1$.

Pri práci na problémoch absolútnej hodnoty, nezabudnite, že musíte vytvoriť dve samostatné riešenia, pozitívne a negatívne, ako sme to urobili vyššie.

Problém praxe s kalkulačkou

Vysvetlenie odpovede:

Ak sa hodnota $|n−1|+1$ rovná 0, potom $|n−1|+1=0$. Odčítaním 1 od oboch strán tejto rovnice dostaneme $|n−1|=−1$. Výraz $|n−1|$ na ľavej strane rovnice je absolútna hodnota $n−1$, a ako som práve spomenul, absolútna hodnota nikdy nemôže byť záporné číslo, pretože predstavuje vzdialenosť. $|n−1|=−1$ teda nemá riešenie. Preto neexistujú žiadne hodnoty pre n, pre ktoré by sa hodnota $|n−1|+1$ rovnala 0. D je správna odpoveď.

Tip:

Pamätajte na pravidlá absolútnej hodnoty (vždy je to pozitívne!). Ak si pamätáte pravidlá, mali by ste správne odpovedať na otázku!

Grafovanie lineárnych rovníc

Tieto otázky otestujú vašu schopnosť čítať graf a interpretovať ho do tvaru $y=mx+b$. Rýchle obnovenie, $y=mx+b$ je rovnica sklonu-priesečník priamky, kde m predstavuje sklon ab predstavuje priesečník y.

V týchto otázkach sa vám zvyčajne zobrazí graf čiary a budete musieť určiť, aký je sklon a priesečník y, aby ste mohli napísať rovnicu čiary.

Problém praxe s kalkulačkou

Vysvetlenie odpovede:

Vzťah medzi h a C je reprezentovaný ľubovoľnou rovnicou danej priamky. Priesečník C priamky je 5. Keďže body $(0, 5)$ a $(1, 8)$ ležia na priamke, sklon priamky je ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Preto vzťah medzi h a C môže byť reprezentovaný $C=3h+5$, rovnicou úsečky so sklonom priamky. C je správna odpoveď.

Tip:

Zapamätajte si tvar priesečníka sklonu ($y=mx+b$) a rovnicu sklonu $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$. Zistite, čo každá premenná v rovniciach znamená. Ak toto všetko viete, mali by ste byť schopní zvládnuť akýkoľvek problém s grafickou lineárnou rovnicou, ktorý ste dostali.

Lineárne nerovnosti a systémy lineárnych nerovností

Toto sú pravdepodobne najnáročnejšie otázky srdca algebry pretože veľa študentov bojuje, keď sa premenné kombinujú s nerovnosťami. Ak potrebujete rýchle, ale hĺbkové zopakovanie si nerovností, pozrite si nášho sprievodcu nerovnosťami .

Tieto otázky sa zvyčajne objavujú na konci viacerých možností a mriežok v každej sekcii. Tieto otázky budú prezentované ako priamočiare už nastavené nerovnosti (nebudete požiadaní, aby ste vytvorili nerovnosti, ani vám nebude predstavený skutočný scenár s nerovnosťami). Aj keď sú tieto otázky podané priamočiaro, sú náročné a je ľahké urobiť chybu, takže si nájdite čas!

Problémy s precvičovaním kalkulačky

Vysvetlenie odpovede:

Odčítaním $3x$ a pripočítaním 3 k obom stranám $3x−5≥4x−3$ dostaneme $−2≥x$. Preto x je riešením $3x−5≥4x−3$ vtedy a len vtedy, ak x je menšie alebo rovné −2 a x NIE JE riešením $3x−5≥4x−3$ vtedy a len vtedy, ak x je väčší ako -2. Z uvedených možností je iba −1 väčšie ako −2, a preto nemôže byť hodnotou x. A je správna odpoveď.

Môžete tiež skúsiť odpovedať tak, že zapojíte možnosti odpovedí a uvidíte, ktorá z nich nefungovala. Ak zapojíte A do nerovnosti, dostanete $3(-1)-5≥4(-1)-3$. Zjednodušením nerovnosti by ste dostali -8≥-7, čo nie je pravda, takže A je správna odpoveď.

Tip

Pamätajte na pravidlá nerovností! Urobte si čas a prepracujte sa každým krokom, aby ste neurobili žiadne chyby. Nezabudnite tiež skúsiť zapojiť možnosti odpovedí, aby ste našli správnu odpoveď!

Pozrime sa na ďalší príklad.

Vysvetlenie odpovede:

Keďže (0, 0) je riešením sústavy nerovníc, dosadením 0 za x a 0 za y v danej sústave musia vzniknúť dve skutočné nerovnosti. Po tejto zámene r<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Preto a je kladné a b záporné. Preto a > b. Voľba A je správna.

Tip:

S týmto systémom nerovností so štyrmi premennými zaobchádzajte rovnako, ako by ste zaobchádzali so systémom nerovností s dvoma premennými. Pamätajte, že ak (0,0) je riešenie, znamená to, že keď x=0, y=0.

4 kľúčové stratégie pre srdce algebry

Stratégie útočenia na tieto otázky som rozptýlil v tomto článku v sekciách „tip“, ale teraz ich tu zhrniem.

Stratégia č. 1: Zapamätajte si pravidlá a vzorec

Aby ste správne odpovedali na tieto typy algebrických otázok, musíte poznať pravidlá nerovníc , pravidlá absolútnej hodnoty a vzorec pre verziu so sklonom priesečníka ($y=mx+b$). Bez pravidiel a vzorca sú tieto otázky takmer nemožné.

Ak potrebujete ďalšiu pomoc s niektorým z konceptov, pozrite si našich podrobných sprievodcov lineárnymi rovnicami, sústavami rovníc , absolútnou hodnotou , tvarom priesečníka a lineárnymi nerovnicami a sústavami nerovností.

Stratégia č. 2: Zapojenie odpovedí

Pri otázkach s možnosťou výberu z viacerých odpovedí by ste mali vždy skontrolujte, či môžete pripojiť možnosti odpovede k danej rovnici (rovniciam) alebo nerovnosti, aby ste našli správnu odpoveď . Niekedy bude tento prístup oveľa jednoduchší ako pokus o vyriešenie rovnice.

Aj keď zistíte, že zadávanie odpovedí vás spomaľuje, mali by ste aspoň zvážiť jeho použitie na kontrolu vašej práce. Zapojte výber odpovede, ktorý nájdete, a uvidíte, či výsledkom bude vyvážená rovnica alebo oprava nerovností. Ak áno, viete, že máte správnu odpoveď!

Zapoj to! Zapoj to!

Stratégia č. 3: Zapojenie čísel

Ak vloženie odpovedí nie je možné, je často možné vložiť čísla, ako napríklad v otázke 2 vyššie. Keď vyberáte čísla, ktoré chcete zapojiť, vo všeobecnosti neodporúčam používať -1, 0 alebo 1 (pretože môžu viesť k nesprávnym odpovediam) a nezabudnite si prečítať otázku, aby ste zistili, aké čísla by ste si mali vybrať. Napríklad v otázke 2 čísla predstavovali počet odoslaných textových správ, takže na vyjadrenie počtu textových správ by ste nemali používať záporné číslo, pretože nie je možné odoslať záporný počet textových správ.

Pre nerovnosti je to obzvlášť dôležité, často otázka znie: „nasledujúce platí pre všetky $x>0$.“ Ak je to tak, nemôžete zapojiť 0 alebo -5; môžete zadať iba čísla väčšie ako 0, pretože to je parameter nastavený v otázke.

Stratégia č. 4: Pracujte krok za krokom

V prípade otázok týkajúcich sa srdca algebry musíte venovať čas tomu, aby ste prešli každým krokom. Tieto otázky môžu zahŕňať 5, 10, 15 krokov a musíte si nájsť čas, aby ste sa uistili, že v kroku 3 neurobíte malú chybu, ktorá bude mať za následok nesprávnu odpoveď. Viete o tom svoje, tak nenechajte malé chyby stáť body!

Čo bude ďalej?

Teraz, keď už viete, čo môžete očakávať v otázkach Heart of Algebra, uistite sa, že ste na to pripravení všetky ostatné matematické témy uvidíš na SAT. Všetky naše matematické príručky vás prevedú stratégiami a praktickými problémami pre všetky témy zahrnuté v matematickej sekcii, od celých čísel po pomery, kruhy po mnohouholníky (a ďalšie!).

Máte obavy z testovacieho dňa? Uistite sa, že presne viete, čo máte robiť, aby ste si uľahčili myseľ a urovnali svoje nervy skôr, ako príde čas na SAT.

Dochádza vám čas v matematickej sekcii SAT? Nehľadajte nič iné ako náš sprievodca, ktorý vám pomôže prekonať čas a maximalizovať vaše SAT matematické skóre.

Rybárčenie, aby ste dosiahli dokonalé skóre? Pozrite si naše návod na získanie perfektných 800 , ktorú napísal perfektný strelec.