Vzorce polovičného uhla sa používajú na nájdenie rôznych hodnôt goniometrických uhlov ako pre 15°, 75° a iné, používajú sa aj na riešenie rôznych goniometrických úloh.

Niekoľko trigonometrických pomerov a identít pomáha pri riešení problémov trigonometrie. Hodnoty trigonometrických uhlov 0°, 30°, 45°, 60°, 90° a 180° pre sin, cos, tan, cosec, sec a cot sa určujú pomocou trigonometrickej tabuľky. Vzorce s polovičným uhlom sú v matematike široko používané, dozvedáme sa o nich podrobne v tomto článku.

Obsah

• Vzorce s polovičným uhlom
• Identity polovičného uhla
• Odvodenie vzorcov polovičného uhla pomocou vzorcov s dvojitým uhlom
• Vzorec polovičného uhla pre odvodenie cos
• Vzorec polovičného uhla pre odvodenie hriechu
• Vzorec polovičného uhla pre odvodenie tan
• Vyriešené príklady vzorcov polovičného uhla

Vzorce s polovičným uhlom

Na nájdenie hodnôt uhlov okrem dobre známych hodnôt 0°, 30°, 45°, 60°, 90° a 180°. Polovičné uhly sú odvodené zo vzorcov s dvojitým uhlom a sú uvedené nižšie pre sin, cos a tan:

• hriech (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/ 2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ hriech x

Trigonometrické identity vzorcov s dvojitým uhlom sú užitočné na odvodenie vzorcov s polovičným uhlom.

Vzorce polovičného uhla

Identity polovičného uhla

Poluhlé identity pre niektorých populárnych goniometrické funkcie sú,

• Formula s polovičným uhlom hriechu,

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Vzorec polovičného uhla Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Vzorec polovičného uhla Tan,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = hriech A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / hriech A

Odvodenie vzorcov polovičného uhla pomocou vzorcov s dvojitým uhlom

Vzorce s polovičným uhlom sú odvodené pomocou vzorcov s dvojitým uhlom. Predtým, ako sa dozvieme o vzorcoch s polovičným uhlom, musíme sa naučiť o dvojitom uhle Trigonometria , najčastejšie používané vzorce s dvojitým uhlom v trigonometrii sú:

• hriech 2x = 2 hriech x cos x
• cos 2x = cos²x – hriech²X
  = 1 – 2 bez²X
  = 2 cos²x – 1
• opálenie 2x = 2 opálenie x / (1 – opálenie²X)

Teraz vo vyššie uvedených vzorcoch nahradíme x x/2 na oboch stranách

• hriech x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – bez²(x/2)
  = 1 – 2 bez²(x/2)
  = 2 cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Vzorec polovičného uhla pre odvodenie cos

Používame cos2x = 2cos²x – 1 na nájdenie vzorca polovičného uhla pre Cos

Do vyššie uvedeného vzorca vložte x = 2y

cos (2) (y/2) = 2 cos²(y/2) – 1

cos y = 2 cos²(y/2) – 1

10 percent zo 60

1 + cos y = 2 cos²(a/2)

2cos²(y/2) = 1 + útulné

cos²(y/2) = (1+ útulný)/2

cos(y/2) = ± √{(1+ útulné)/2}

Vzorec polovičného uhla pre odvodenie hriechu

Používame cos 2x = 1 – 2sin²x za nájdenie vzorca polovičného uhla pre hriech

Do vyššie uvedeného vzorca vložte x = 2y

cos (2)(y/2) = 1 – 2sin²(a/2)

cos y = 1 – 2 sin²(a/2)

2sin²(y/2) = 1 – útulné

bez²(y/2) = (1 – útulný)/2

sin(y/2) = ± √{(1 – príjemné)/2}

Vzorec polovičného uhla pre odvodenie tan

Vieme, že tan x = sin x / cos x tak, že,

tan(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2)

Uvedenie hodnôt polovičného uhla pre sin a cos. Dostaneme,

tan(x/2) = ± [(√(1 – útulný)/2 ) / (√(1+ útulný)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – príjemný)/(1+ príjemný) ]

Racionalizácia menovateľa

tan(x/2) = ± (√(1 – útulný)(1 – útulný)/(1+ útulný)(1 – útulný))

tan(x/2) = ± (√(1 – príjemné)²/(1 – čos²a))

tan(x/2) = ± [√{(1 – príjemné)²/( bez²a)}]

tan(x/2) = (1 – útulný)/( vedro)

Tiež skontrolujte

• Aplikácie trigonometrie v reálnom živote
• Bez vzorcov Cos

Vyriešené príklady vzorcov polovičného uhla

Príklad 1: Určte hodnotu sin 15°

Riešenie:

Vieme, že vzorec pre polovičný uhol sínusu je daný:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sínusu 15° možno nájsť dosadením x ako 30° vo vyššie uvedenom vzorci

sin 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sin 15° = ± ((1 – 0,866)/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,134/ 2)^1/2

sin 15° = ± (0,067)^1/2

sin 15° = ± 0,2588

Príklad 2: Určte hodnotu sin 22,5 °

Riešenie:

Vieme, že vzorec pre polovičný uhol sínusu je daný:

sin x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sínusu 15° možno nájsť dosadením x ako 45° vo vyššie uvedenom vzorci

sin 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± ((1 – 0,707)/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,293/ 2)^1/2

sin 22,5° = ± (0,146)^1/2

sin 22,5° = ± 0,382

Príklad 3: Určte hodnotu tan 15°

Riešenie:

ako previesť reťazec na int java

Vieme, že vzorec pre polovičný uhol sínusu je daný:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Hodnotu tan 15° možno nájsť dosadením x ako 30° vo vyššie uvedenom vzorci

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sin 30°

opálenie 15° = ± (1 – 0,866)/ hriech 30

tan 15° = ± (0,134)/ 0,5

tan 15° = ± 0,268

Príklad 4: Určte hodnotu tan 22,5°

Riešenie:

Vieme, že vzorec pre polovičný uhol sínusu je daný:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sin x

Hodnotu tan 22,5° možno nájsť dosadením x ako 45° vo vyššie uvedenom vzorci

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (1 – 0,707)/ sin 45°

tan 22,5° = ± (0,293)/ 0,707

tan 22,5° = ± 0,414

Príklad 5: Určte hodnotu cos 15°

Riešenie:

Vieme, že vzorec pre polovičný uhol sínusu je daný:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sínusu 15° možno nájsť dosadením x ako 30° vo vyššie uvedenom vzorci

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/ 2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Príklad 6: Určte hodnotu cos 22,5°

Riešenie:

Vieme, že vzorec pre polovičný uhol sínusu je daný:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

Hodnotu sínusu 15° možno nájsť dosadením x ako 45° vo vyššie uvedenom vzorci

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/ 2)^1/2

java získava aktuálny dátum

cos 22,5° = ± (0,853)^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Časté otázky o vzorci s polovičným uhlom

Aké je použitie vzorcov s polovičným uhlom?

Vzorce polovičného uhla sa používajú na nájdenie trigonometrických pomerov polovice štandardných uhlov, ako sú 15°, 22,5° a iné. Používajú sa aj na riešenie zložitých goniometrických rovníc a sú potrebné pri riešení integrálov a diferenciálnych rovníc.

Čo je to vzorec polovičného uhla pre hriech?

Half-Angle vzorec pre hriech je

sin A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

Tiež pre akýkoľvek trojuholník so stranami a, b a c a polobvodom je s

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Čo je vzorec polovičného uhla pre kosínus?

Vzorec polovičného uhla pre cos je

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

Tiež pre akýkoľvek trojuholník so stranami a, b a c a polobvodom je s

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Aký je vzorec pre cos i ?

Pre každý pravouhlý trojuholník s uhlom θ je vzorec, ktorý sa používa na výpočet kosínusu uhla (θ)

Cos(θ) = susedná / prepona