Vzorce Sin Cos v trigonometrii: Trigonometria, ako už názov napovedá, je štúdium trojuholníkov. Je to dôležité odvetvie matematiky, ktoré študuje vzťah medzi dĺžkami strán a uhlami pravouhlého trojuholníka a tiež pomáha pri určovaní chýbajúcich dĺžok strán alebo uhlov trojuholníka. Existuje šesť trigonometrických pomerov alebo funkcií: sínus, kosínus, tangens, kosekans, sekans a kotangens, kde kosekans, sekans a kotangens sú recipročné funkcie ostatných troch funkcií, t. j. sínus, kosínus a tangens.

Trigonometrický pomer je definovaný ako pomer dĺžok strán pravouhlého trojuholníka. Trigonometria sa používa v rôznych oblastiach nášho každodenného života. Pomáha určiť výšku kopcov alebo budov. Používa sa aj v oblastiach ako kriminológia, stavebníctvo, fyzika, archeológia, inžinierstvo lodných motorov atď.

V tomto článku preskúmame všetky trigonometrické vzorce väčšinou sin a cos vzorce s ich príkladmi a zoznam všetkých vzorcov v trigonometrii.

Obsah

• Vzorce v trigonometrii
• Sínusový vzorec
• Kosínový vzorec
• Niektoré základné vzorce Sin Cos
• Tabuľka vzorcov Sin Cos
• Zoznam vzorcov Sin Cos
• Príklady vzorcov Sin Cos
• Cvičte problémy so vzorcami Sin Cos v trigonometrii s príkladmi

Vzorce v trigonometrii

Uvažujme pravouhlý trojuholník XYZ, kde ∠Y = 90°. Nech je uhol vo vrchole Z θ. Strana susediaca s θ sa nazýva susedná strana a strana opačná k θ sa nazýva opačná strana. Prepona je strana opačná k pravému uhlu alebo najdlhšia strana pravého uhla.

• sin θ = Opačná strana/hypotenúza
• cos θ = susediaca strana/hypotenúza
• tan θ = Opačná strana/Priľahlá strana
• cosec θ = 1/sin θ = prepona/opačná strana
• sek θ = 1/ cos θ = prepona/priľahlá strana
• detská postieľka θ = 1/ tan θ = Priľahlá strana/Opačná strana

Sínusový vzorec

Sínus uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky protiľahlej strany k dĺžke prepony k danému uhlu. Funkcia sínus je reprezentovaná ako sin.

sin θ = Opačná strana/hypotenúza

Kosínový vzorec

Kosínus uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej strany k dĺžke prepony k danému uhlu. Kosínusová funkcia je reprezentovaná ako cos.

čo je mapa java

cos θ = susediaca strana/hypotenúza

Niektoré základné vzorce Sin Cos

Sínusové a kosínusové funkcie v kvadrantoch

• Funkcia sínus je kladná v prvom a druhom kvadrante a záporná v treťom a štvrtom kvadrante.
• Kosínusová funkcia je kladná v prvom a štvrtom kvadrante a záporná v druhom a treťom kvadrante.

Stupne	Kvadrant	Funkcia Znak sínusu	Znak funkcie kosínus
0° až 90°	1. kvadrant	+ (kladné)	+ (kladné)
90° až 180°	2. kvadrant	+ (kladné)	– (negatívne)
180° až 270°	3. kvadrant	– (negatívne)	– (negatívne)
270° až 360°	4. kvadrant	– (negatívne)	+ (kladné)

Identita záporného uhla funkcií sínus a kosínus

• Sínus záporného uhla sa vždy rovná zápornému sínusu uhla.

sin (– θ) = – sin θ

• Kosínus záporného uhla sa vždy rovná kosínusu uhla.

cos (– θ) = cos θ

Vzťah medzi funkciou sínus a kosínus

sin θ = cos (90° – θ)

Recipročné funkcie funkcií sínus a kosínus

• Funkcia kosekans je recipročná funkcia funkcie sínus.

cosec θ = 1/sin θ

• Funkcia Secant je recipročná funkcia kosínusovej funkcie.

sek. 0 = 1/cos 9

Pytagorejská identita

bez ² θ + cos ² θ = 1

Periodické identity funkcií sínus a kosínus

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Vzorce dvojitého uhla pre funkcie sínus a kosínus

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – hriech ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 hriech ² i

Polovičné uhly pre funkcie sínus a kosínus

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Trojité uhly pre funkcie sínus a kosínus

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ i

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Vzorce súčtu a rozdielu

• Funkcia sínus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

hriech (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• Kosínusová funkcia

cos (A + B) = cos A cos B – hriech A hriech B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Sínusový zákon alebo sínusové pravidlo

Sínusový zákon je trigonometrický zákon, ktorý udáva vzťah medzi dĺžkami strán a uhlami trojuholníka.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Kde a, b a c sú dĺžky troch strán trojuholníka ABC a A, B a C sú uhly.

Zákon kosínusov

Zákon kosínusov kosínusového pravidla sa používa na určenie chýbajúcich alebo neznámych uhlov alebo dĺžok strán trojuholníka.

a ² = b ² + c ² – 2 bc čos A

b ² = c ² + a ² – 2 ca ako B

c ² = a ² + b ² – 2ab čos C

Kde a, b a c sú dĺžky troch strán trojuholníka ABC a A, B a C sú uhly.

Tabuľka vzorcov Sin Cos

Tu je tabuľka/zoznam vzorcov Sin a Cos pre rôzne uhly v stupňoch a radiánoch:

Zoznam vzorcov Sin Cos

Príklady vzorcov Sin Cos

Úloha 1: Ak cos α = 24/25, nájdite hodnotu sin α.

Riešenie:

Vzhľadom na to,

cos α = 24/25

Z pytagorovských identít, ktoré máme;

cos²θ + hriech²θ = 1

(24/25)²+ bez²a = 1

bez²α = 1 – (24/25)²

bez²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

bez²α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Preto sin α = ±7/25.

Úloha 2: Dokážte vzorce sin 2A a cos 2A, ak ∠A= 30°.

Riešenie:

Dané, ∠A= 30°

My to vieme,

1) sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2(30°) = 2 sin 30° cos 30°

hriech 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Od, hriech 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 a hriech 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S. = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2 (√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Keďže cos 60° = 1/2 a cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S. = R.H.S

Preto dokázané.

Úloha 3: Nájdite hodnotu cos x, ak tan x = 3/4.

Riešenie:

Dané, tan x = 3/4

My to vieme,

tan x = opačná strana/susedná strana = 3/4

Na nájdenie prepony použijeme Pytagorovu vetu:

hypotenzia²= opak²+ susediace²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Teraz, cos x = susedná strana/hypotenza

cos x = 4/5

Hodnota cos x je teda 4/5.

Úloha 4: Nájdite ∠C (v stupňoch) a ∠A (v stupňoch), ak ∠B = 45°, BC = 15 palcov a AC = 12 palcov.

Riešenie:

Dané: ∠B = 45°, BC = a = 15 palcov a AC = b = 12 palcov.

Zo zákona sínusov máme

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/sin A = b/sin B

⇒ 15/sin A = 12/sin 45°

⇒ 15/sin A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sin A = 12√2 = 16,97

⇒ bez A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = hriech^-1(0,8839) = 62,11°

Vieme, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°.

Takže ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Preto ∠A = 62,11° a ∠C = 72,89°.

Úloha 5: Dokážte identitu polovičného uhla kosínusovej funkcie.

Riešenie:

Identita polovičného uhla kosínusovej funkcie je:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Z dvojitého uhla identít máme,

cos 2A = 2 cos²A – 1

Teraz vymeňte A za θ/2 na oboch stranách

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(0/2) = cos 9 + 1

⇒ cos²(0/2) = (cos 6 + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

reťazec na char

Preto dokázané.

Cvičte problémy so vzorcami Sin Cos v trigonometrii s príkladmi

1. Daný sin⁡ θ = 3/5. Nájdite cos θ.

2. Dokážte identitu sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A pre A=45∘.

3. Ak cos⁡ α = 5/13. Nájdite hriech (2a).

4. Vyriešte pre θ, ak sin θ = cos(90∘−θ).

5. Ak tan ⁡β = 2. Nájdite sin ⁡β a cos⁡ β pomocou Pytagorovej identity.

Časté otázky o vzorcoch Sin Cos v trigonometrii s príkladmi

Aké sú základné sínusové a kosínusové vzorce v trigonometrii?

Základné sínusové a kosínusové vzorce sú sin ⁡θ = Opačný/Hypotenúza a cos ⁡θ = Susedný/Hypotenúza, kde θ je uhol v pravouhlom trojuholníku.

Ako zistíte sínus a kosínus špeciálnych uhlov?

Špeciálne uhly ako 0°, 30°, 45°, 60° a 90° majú špecifické sínusové a kosínusové hodnoty, ktoré si možno zapamätať pomocou trigonometrických tabuliek alebo konceptov jednotkových kružníc.

Aký je vzťah medzi funkciami sínus a kosínus?

Funkcie sínus a kosínus sú spojené identitou sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) a pytagorejskej identity bez⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Ako používate vzorce dvojitého uhla pre sínus a kosínus?

Vzorce s dvojitým uhlom sú sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ a cos⁡(20)=cos⁡ ² θ – hriech⁡ ² i. Používajú sa na vyjadrenie goniometrických funkcií dvojitých uhlov pomocou jednoduchých uhlov.

Ako zistíte hodnoty sínusu a kosínusu pre uhly v rôznych kvadrantoch?

Znaky funkcií sínus a kosínus závisia od kvadrantu, v ktorom leží uhol:

• Prvý kvadrant: sin⁡ θ> 0 a cos θ> 0
• Druhý kvadrant: sin ⁡θ> 0 a cos θ < 0
• Tretí kvadrant: sin⁡θ <0 a cosθ < 0
• Štvrtý kvadrant: sin⁡θ 0