Derivát Arcsinu x je d/dx (arcsin x) = 1/√1-x² . Označuje sa d/dx(arcsin x) alebo d/dx(sin^-1X). Derivát Arcsin sa týka procesu zisťovania rýchlosti zmeny funkcie Arcsin x vzhľadom na nezávislú premennú. Derivát Arcsinu x je známy aj ako diferenciácia Arcsinu.

V tomto článku sa dozvieme o deriváte Arcsinu a jeho vzorci vrátane dôkazu vzorca pomocou prvého princípu derivácií, kvocientového pravidla a metódy reťazového pravidla.

Obsah

• Čo je to derivát v matematike?
• Čo je to derivát Arcsinu x?
• Dôkaz derivátu Arcsin x
• Vyriešené príklady na derivát Arcsin x

Čo je to derivát v matematike?

Derivát funkcie je rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na akúkoľvek nezávislú premennú. Derivácia funkcie f(x) je označená ako f'(x) alebo (d /dx)[f(x)]. Diferenciácia goniometrickej funkcie sa nazýva derivácia goniometrickej funkcie alebo trigové derivácie. Derivácia funkcie f(x) je definovaná ako:

f'(x ₀ ) = lim _h→0 [f(x ₀ + h) – f(x ₀ )] / h

Čo je to derivát Arcsin x?

Medzi inverzné trig deriváty , derivát Arcsinu x je jedným z derivátov. Derivácia arcsínovej funkcie predstavuje rýchlosť, ktorou sa krivka arcsínu mení v danom bode. Označuje sa d/dx(arcsin x) alebo d/dx(sin^-1X). Arcsinx je tiež známy ako inverzný sin x.

Derivát Arcsinu x je 1/√1-x²

Derivát Arcsin x Formula

Vzorec pre derivát Arcsinu x je daný:

(d/dx) [Arcsin x] = 1/√1-x²

ALEBO

(Arcsin x)' = 1/√1-x²

Tiež skontrolujte, Inverzný Goniometrická funkcia

Dôkaz derivátu Arcsin x

Deriváciu tan x možno dokázať nasledujúcimi spôsobmi:

• Pomocou pravidla reťazca
• Pomocou prvého princípu derivácie

Derivát Arcsinu podľa Chain Rule

Na dôkaz derivácie Arcsinu x reťazovým pravidlom použijeme základný trigonometrický a inverzný trigonometrický vzorec:

• bez²a + cos²y = 1
• sin(arcsin x) = x

Tu je dôkaz derivátu Arcsin x:

Nech y = arcsinx

Brať hriech na obe strany

siny = hriech (arcsinx)

Podľa definície inverznej funkcie máme

sin(arcsinx) = x

Takže rovnica sa stáva siny = x .... (1)

Rozlíšenie oboch strán vzhľadom na x,

d/dx (siny) = d/dx (x)

útulný · d/dx(y) = 1 [ Ako d/dx(sin x) = cos x]

dy/dx = 1/pohoda

Použitie jednej z trigonometrických identít

bez²y+cos²y = 1

∴cos y = √1 – hriech²y = √1–x²[Z (1) máme siny = x]

dy/dx = 1/√(1–x²)

Nahradením y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x ²

Tiež skontrolujte, Pravidlo reťaze

Derivát Arcsinu podľa prvého princípu

Dokázať deriváciu arcsínu x pomocou Prvý princíp derivátu , použijeme základné limity a trigonometrické vzorce ktoré sú uvedené nižšie:

• bez²y+cos²y = 1

• lim_x→0x/sinx = 1

• sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Derivát arcsinu môžeme dokázať prvým princípom pomocou nasledujúcich krokov:

Nech f(x) = arcsinx

Podľa prvého princípu máme

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

ak dáme f(x) = arcsinx, dostaneme

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Predpokladajme, že arcsin (x + h) = A a arcsin x = B

Takže máme,

hriech A = x+h ....(2)

hriech B = x ...... (3)

Odčítajte (3) od (2), máme

sin A – sinB = (x+h) – x

sinA – sinB = h

Ak h → 0, (hriech A – hriech B) → 0

hriech A → hriech B alebo A → B

Nahraďte tieto hodnoty rovnicou (1)

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

Použitím sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2] dostaneme

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

ktorý možno napísať ako:

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Teraz poznáme lim_x→0x/sinx = 1, preto sa vyššie uvedená rovnica zmení na

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Použitie jednej z trigonometrických identít

bez²y+cos²y = 1

∴ cos B = √1 – hriech²B = √1–x²[Sin B = x z (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x²)

Tiež skontrolujte

• Derivácia goniometrickej funkcie
• Diferenciačný vzorec
• Derivát Arctan x
• Derivácia inverzných funkcií

Vyriešené príklady na derivát Arcsin x

Príklad 1: Nájdite deriváciu y = arcsin (3x).

Riešenie:

Nech f(x) = arcsin (3x).

sieť a typy sietí

Vieme, že d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Podľa reťazového pravidla,

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

= 1/ √(1 -9x²) · (3)

= 3/√ (1 – 9x²)

Derivácia y = arcsin (3x) je teda 3/√(1 -9x²).

Príklad 2: Nájdite deriváciu y = arcsin (1/2x).

Riešenie:

Nech f(x) = arcsin (1/2x).

Vieme, že d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

Podľa reťazového pravidla,

d/dx(arcsin(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x²)

= 1/√ (4x²– 1)/4x²· (-1/2x²)

= -1/x√4x²- 1

Derivácia y = arcsin (1/x) je teda -1/x√4x²- 1.

Príklad 3: Nájdite deriváciu y = x arcsin x.

Riešenie:

Máme y = x arcsin x.

d/dx (uhl. sin(1/x)) = x · d/dx (uhl. s. x) + uhl. sin x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcsin x (1)

= x/√1-x² + arcsin x
Derivácia y = arcsin (1/x) je teda x/√1-x² + arcsin x

Cvičné otázky o deriváte hriechu x

Q1. Nájdite deriváciu arcsinu (5x).

Q2. Nájdite deriváciu x³arcsin(x).

Q3. Vyhodnotenie: d/dx [ arcsin(x) / x²+ 1]

Q4. Vyhodnoťte derivát arcsin(x) – tan(x)

Často kladené otázky týkajúce sa derivátu Arcsinu

Čo je derivát Arcsinu?

Derivát Arcsinu x je 1/√1-x²

Čo je derivácia v matematike?

V matematike je derivácia mierou toho, ako sa funkcia mení, keď sa mení jej vstup (nezávislá premenná). Derivácia funkcie f(x) je označená ako f'(x) alebo (d /dx)[f(x)].

Čo je derivát arcsínu (1/x)?

Derivácia arcsínu(1/x) je (-1) / (x√x² – 1).

Čo je derivát?

Derivácia funkcie je definovaná ako rýchlosť zmeny funkcie vzhľadom na nezávislú premennú.

Čo je derivát hriechu x?

Derivát sin x je cos x.