Druhá odmocnina akejkoľvek číselnej hodnoty je hodnota, ktorá pri samonásobení vedie k pôvodnému číslu. „√“ je radikálny symbol používaný na zobrazenie odmocniny ľubovoľného čísla. Odmocninou rozumieme mocninu 1/2 tohto čísla. Predpokladajme napríklad, že x je druhá odmocnina ľubovoľného celého čísla y, to znamená, že x=√y. Vynásobením rovnice dostaneme aj x²= y.

Druhá odmocnina z kladného čísla dáva pôvodné číslo.

Aby sme tomu porozumeli, vieme, že druhá mocnina 4 je 16 a druhá odmocnina 16, √16 = 4. Teraz, ako vidíme, 16 je dokonalý štvorcový údaj. To uľahčuje výpočet druhej odmocniny takýchto čísel. Avšak na výpočet druhej odmocniny nedokonalého štvorca, ako je 3, 5, 7 atď., je výpočet odmocniny náročný proces.

Funkcia druhej odmocniny je funkcia jedna k jednej, ktorá používa ako vstup kladné číslo a vracia druhú odmocninu daného vstupného čísla.

f(x) = √x

Vlastnosti druhej odmocniny

Niektoré z dôležitých vlastností druhej odmocniny sú nasledovné:

• Pre dokonalé druhé číslo existuje dokonalá druhá odmocnina.
• Pre číslo končiace párnym počtom núl existuje druhá odmocnina.
• Druhá odmocnina zo záporných čísel nie je definovaná.
• Pre číslo končiace číslicami 2, 3, 7 alebo 8 potom dokonalá druhá odmocnina neexistuje.
• Pre číslo končiace číslicami 1, 4, 5, 6 alebo 9 bude mať číslo druhú odmocninu.

Ako vypočítať druhú odmocninu?

Dokonalé štvorcové čísla sú celé čísla, ktoré sú svojou povahou kladné a dajú sa ľahko vyjadriť vo forme násobenia samotného čísla. Dokonalé štvorcové čísla sú zobrazené ako hodnota mocniny 2 ľubovoľného celého čísla. Výpočet druhej odmocniny dokonalých štvorcových čísel je relatívne jednoduchší. Na nájdenie druhej odmocniny čísel sa používajú predovšetkým štyri metódy:

• Metóda opakovaného odčítania druhej odmocniny
• Druhá odmocnina metódou primárnej faktorizácie
• Druhá odmocnina podľa metódy odhadu
• Druhá odmocnina metódou dlhého delenia

Vyššie uvedené tri metódy možno použiť pri výpočte druhej odmocniny z dokonalých štvorcových čísel. Posledný spôsob je však možné použiť pre oba typy čísel.

Metóda opakovaného odčítania druhých odmocnín

Metóda sa opiera o nasledujúcu postupnosť krokov:

Krok 1: Od čísla, pre ktoré hľadáme druhú odmocninu, odpočítajte po sebe idúce nepárne čísla.

Krok 2: Opakujte krok 1, kým nedosiahnete hodnotu 0.

Krok 3: Počet opakovaní kroku 1 je požadovaná druhá odmocnina daného čísla.

Poznámka: Túto metódu je možné použiť len pre dokonalé štvorce.

Napríklad pre číslo 16 metóda funguje takto:

16 – 1 = 15

15 – 3 = 12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Proces sa opakuje 4 krát. Teda √16 = 4.

Druhá odmocnina metódou primárnej faktorizácie

Prvočíselný rozklad ľubovoľného čísla je vyjadrením tohto čísla vo forme súčinu prvočísel. Metóda sa opiera o nasledujúcu postupnosť krokov:

Krok 1: Rozdeľte zadané číslo na jeho prvočísla.

Krok 2: Pár podobných faktorov je vytvorený tak, že oba faktory v každom z vytvorených párov sú rovnaké.

binárny strom v jave

Krok 3: Vezmite jeden faktor z každého z párov.

Krok 4: Súčin faktorov sa získa zobratím jedného faktora z každej dvojice.

Krok 5: Tento získaný produkt je druhou odmocninou daného čísla.

Poznámka: Túto metódu je možné použiť len pre dokonalé štvorce.

Napríklad pre číslo 64 metóda funguje takto:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

operačný systém linux

Druhá odmocnina podľa metódy odhadu

Metóda odhadu sa používa na aproximáciu druhej odmocniny daného čísla. Približuje druhú odmocninu čísla k rozumnému odhadu skutočnej hodnoty. Výpočty sú pri tejto metóde jednoduchšie. Je to však naozaj dlhý a časovo náročný proces.

Krok 1: Nájdite najbližší dokonalý štvorec vyskytujúci sa pred aj za daným číslom.

Krok 2: Nájdite ďalšie najbližšie celé čísla a zakaždým ich zaokrúhlite, aby ste sa dostali k najbližšej odpovedi.

Napríklad pre číslo 15 metóda funguje takto:

9 a 16 sú dokonalé štvorcové čísla pred a za najbližšie k 15. Teraz vieme,

√16 = 4 a √9 = 3. To znamená, že druhá odmocnina z čísla 15 sa vyskytuje medzi 3 a 4. Teraz proces zahŕňa vyhodnotenie, či je druhá odmocnina z čísla 15 bližšie k 3 alebo 4.

Prvý prípad je 3,5 a 4. Druhá mocnina 3,5 = 12,25 a druhá odmocnina 4 = 16. Preto druhá odmocnina z celého čísla 15 leží medzi 3,5 a 4 a je bližšie k 4.

Ďalej nájdeme štvorce 3,8 a 3,9, ktoré sú ekvivalentné 3,8²= 14,44 a 3,9²= 15,21 resp. To znamená, že √15 leží medzi 3,8 a 3,9. Pri ďalšom hodnotení dostaneme, že √15 = 3,872.

Druhá odmocnina metódou dlhého delenia

Metóda dlhého delenia na výpočet druhej odmocniny čísel zahŕňa rozdelenie veľkých čísel na kroky alebo časti, čím sa problém rozdelí na postupnosť jednoduchších krokov.

Napríklad pre číslo 180 metóda funguje takto:

Krok 1: Nad každým párom číslic čísla, ktoré začína miestom jednotky, je umiestnená čiara.

Krok 2: Číslo úplne vľavo sa potom vydelí najväčším číslom tak, aby štvorec bol menší alebo rovný číslu v páre úplne vľavo.

Krok 3: Teraz sa číslo pod ďalším pruhom napravo od zvyšku zníži. Posledná číslica získaného kvocientu sa pripočíta k deliteľovi. Ďalším krokom je nájsť číslo napravo od získaného súčtu tak, aby spolu s výsledkom súčtu tvorilo nového deliteľa pre novú dividendu.

Krok 4: Získané číslo v podiele je ekvivalentné číslu vybranému v deliteľovi.

Krok 5: Rovnaký proces sa opakuje s použitím desatinnej čiarky a pridávaním núl v pároch k zvyšku.

Krok 6: Kvocient tvorí druhú odmocninu čísla.

Vzorové otázky

Otázka 1. Vypočítajte druhú odmocninu zo 144 metódou primárnej faktorizácie?

Riešenie:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

premenovanie adresára

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Otázka 2. Aký je spôsob zjednodušenia druhej odmocniny?

Riešenie:

Prvočíselný rozklad daného čísla možno vypočítať. V prípade, že faktor nemožno zoskupiť, použije sa na ich zoskupenie symbol druhej odmocniny. Pre zjednodušenie sa používa nasledujúce pravidlo:

√xy = √(x × y), kde x a y sú kladné celé čísla.

Napríklad √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

V prípade zlomkov sa používa toto pravidlo:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Napríklad:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Otázka 3. Vyriešte: √(x + 2) = 4

Riešenie:

Vieme,

√(x + 2) = 4

Pri kvadratúre oboch strán dostaneme;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Preto máme,

x = 2 alebo x = -6

Otázka 4. Môže byť druhá odmocnina záporného čísla celé číslo? Vysvetlite.

Riešenie:

Vieme, že záporné čísla nemôžu mať druhú odmocninu. Dôvodom je, že ak sa vynásobia dve záporné čísla, získaný výsledok bude vždy kladné číslo. Preto bude druhá odmocnina záporného čísla vo forme komplexného čísla.

Otázka 5. Vypočítajte druhú odmocninu z 25 metódou opakovaného odčítania?

Riešenie:

Podľa vyššie uvedených krokov máme

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Keďže sa proces opakuje 5-krát, máme,√25 = 5.

líška alebo vlk

Otázka 6. Vypočítajte druhú odmocninu z 484 pomocou metóda dlhého delenia?

Riešenie:

Metódou dlhého delenia máme

teraz

Zvyšok je 0, takže 484 je dokonalé štvorcové číslo, takže

√484 = 22