Trigonometrické vzorce sú rovnice, ktoré spájajú strany a uhly trojuholníkov. Sú nevyhnutné pre riešenie širokého spektra problémov v matematike, fyzike, inžinierstve a iných oblastiach.

Tu sú niektoré z najbežnejších typov trigonometrických vzorcov:

• Základné definície: Tieto vzorce definujú trigonometrické pomery (sínus, kosínus, tangens atď.) z hľadiska strán pravouhlého trojuholníka.
• Pytagorova veta: Táto veta dáva do súvislosti dĺžky strán v pravouhlom trojuholníku.
• Uhlové vzťahy: Tieto vzorce spájajú trigonometrické pomery rôznych uhlov, ako sú vzorce súčtu a rozdielu, vzorce dvojitého uhla a vzorce polovičného uhla.
• Recipročné identity: Tieto vzorce vyjadrujú jeden trigonometrický pomer z hľadiska iného, ​​ako napríklad sin(θ) = 1/coc(θ).
• Jednotkový kruh: Jednotkový kruh je grafickým znázornením trigonometrických pomerov a možno ho použiť na odvodenie mnohých ďalších vzorcov.
• Sínusový a kosínusový zákon: Tieto zákony spájajú strany a uhly akéhokoľvek trojuholníka, nielen pravouhlého trojuholníka.

Čítajte ďalej a dozviete sa o rôznych goniometrických vzorcoch a identitách, vyriešených príkladoch a praktických problémoch.

Obsah

• Čo je to trigonometria?
• Prehľad trigonometrických vzorcov
• Základné trigonometrické pomery
• Trigonometrické identity
• Zoznam trigonometrických vzorcov

Čo je to trigonometria?

Trigonometria je definovaná ako odvetvie matematiky, ktoré sa zameriava na štúdium vzťahov zahŕňajúcich dĺžky a uhly trojuholníkov. Trigonometria pozostáva z rôznych druhov problémov, ktoré možno riešiť pomocou goniometrických vzorcov a identít.

Funkcie trigonometrie

Goniometrické funkcie sú matematické funkcie, ktoré spájajú uhly pravouhlého trojuholníka s dĺžkami jeho strán. Majú široké uplatnenie v rôznych oblastiach, ako je fyzika, inžinierstvo, astronómia a ďalšie. Primárne goniometrické funkcie zahŕňajú sínus, kosínus, tangens, kotangens, sekans a kosekans.

Prehľad trigonometrických vzorcov

Trigonometrické vzorce sú matematické výrazy, ktoré spájajú uhly a strany a Správny trojuholník . Existujú 3 strany pravouhlého trojuholníka je vyrobené z:

• Hypotenzia : Toto je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka.
• Kolmá / Opačná strana : Je to strana, ktorá zviera pravý uhol vzhľadom na daný uhol.
• Základňa : Základňa sa vzťahuje na susednú stranu, kde sú spojené prepona aj opačná strana.

Pomer trigonometrie

Pre študentov tried 9, 10, 11, 12 sú tu stručne uvedené všetky trigonometrické pomery, identity produktov, vzorce polovičného uhla, vzorce dvojitého uhla, identity súčtu a rozdielu, identity kofunkčnej funkcie, znak pomerov v rôznych kvadrantoch atď. .

0,04 ako zlomok

Tu je zoznam vzorcov v trigonometrii, o ktorých budeme diskutovať:

• Základné trigonometrické pomerové vzorce
• Vzorce jednotkového kruhu
• Trigonometrické identity

Základné trigonometrické pomery

V trigonometrii je 6 pomerov. Tieto funkcie sa označujú ako goniometrické funkcie. Nižšie je uvedený zoznam trigonometrické pomery vrátane sínusu, kosínusu, sekansu, kosekansu, tangensu a kotangensu.

Vzorec jednotkového kruhu v trigonometrii

Pre jednotkový kruh, ktorého polomer sa rovná 1, i je uhol. Hodnoty prepony a základne sa rovnajú polomeru jednotkovej kružnice.

Prepona = susedná strana (základňa) = 1

Pomery trigonometrie sú dané:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• detská postieľka θ = x/y
• sek. 0 = 1/x
• cosec 6 = 1/r

Diagram goniometrických funkcií

Trigonometrické identity

Vzťah medzi goniometrickými funkciami je vyjadrený prostredníctvom goniometrických identít, niekedy označovaných ako trig identity alebo trig vzorce. Zostávajú pravdivé pre všetky hodnoty reálneho čísla priradených premenných v nich.

• Recipročné identity
• Pytagorejské identity
• Identity periodicity (v radiánoch)
• Vzorec pre párny a nepárny uhol
• Kofunkčné identity (v stupňoch)
• Súčtové a rozdielové identity
• Dvojité uhly identity
• Vzorce inverznej trigonometrie
• Trojité uhly identity
• Identity polovičného uhla
• Súčet k identitám produktu
• Identity produktov

Poďme diskutovať o týchto identitách podrobne.

Recipročné identity

Všetky recipročné identity sa získajú pomocou pravouhlého trojuholníka ako referencie. Recipročné identity sú nasledovné:

• cosec θ = 1/sin θ
• sek. 0 = 1/cos 9
• detská postieľka 9 = 1/tan 9
• sin θ = 1/kosec θ
• cos 0 = 1/s 0
• tan θ = 1/detská postieľka θ

Pytagorejské identity

Podľa Pythagorovej vety v pravouhlom trojuholníku, ak „c“ je prepona a „a“ a „b“ sú dve nohy, potom c2 = a2 + b2. Pomocou tejto vety a trigonometrických pomerov môžeme získať Pytagorove identity. Tieto identity používame na konverziu jedného trig pomeru na iný .

• bez²θ + cos²θ = 1
• 1 + tak²θ = sek²i
• 1 + detská postieľka²θ = kosec²i

Tabuľka vzorcov trigonometrie

Identity periodicity (v radiánoch)

Tieto identity možno použiť na posunutie uhlov o π/2, π, 2π atď. Tieto identity sú tiež známe ako identity kofunkčných funkcií.

Všetky trigonometrické identity opakovať po určitom období. Preto majú cyklický charakter. Toto obdobie pre opakovanie hodnôt je rôzne pre rôzne trigonometrické identity.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Tu je tabuľka, ktorá porovnáva trigonometrické vlastnosti v rôznych kvadrantoch:

Vzorec pre párny a nepárny uhol

Vzorce pre párny a nepárny uhol, známe tiež ako párne-nepárne identity, sa používajú na vyjadrenie goniometrických funkcií záporných uhlov v zmysle kladných uhlov. Tieto trigonometrické vzorce sú založené na vlastnostiach párnych a nepárnych funkcií.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-6) = -tan8
• cot(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Kofunkčné identity (v stupňoch)

Kofunkčné identity nám poskytujú vzájomný vzťah medzi rôznymi trigonometrickými funkciami. Kofunkcie sú tu uvedené v stupňoch:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = detská postieľka x
• detská postieľka (90°−x) = tan x
• sek(90°−x) = kosec x
• cosec(90°−x) = sek x

Súčtové a rozdielové identity

Identity súčtu a rozdielu sú vzorce, ktoré spájajú sínus, kosínus a tangens súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov so sínusmi, kosínusmi a dotyčnicami jednotlivých uhlov.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dvojité uhly identity

Dvojité uhly identity sú vzorce, ktoré vyjadrujú goniometrické funkcie uhlov, ktoré sú dvojnásobkom miery daného uhla v zmysle goniometrických funkcií pôvodného uhla.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – bez²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2 cos²(x) – 1 = 1 – 2 sin²(X)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(X)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²X)
• cosec (2x) = (sek x • cosec x)/2

Vzorce inverznej trigonometrie

Vzorce inverznej trigonometrie sa týkajú inverzných goniometrických funkcií, ktoré sú inverznými hodnotami základných goniometrických funkcií. Tieto vzorce sa používajú na nájdenie uhla, ktorý zodpovedá danému trigonometrickému pomeru.

• bez ^-1 (–x) = – hriech ^-1 X
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• tak ^-1 (–x) = – tak ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – kosec ^-1 X
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 X
• detská postieľka ^-1 (–x) = π – detská postieľka ^-1 X

Trojité uhly identity

Trojité uhly identity sú vzorce používané na vyjadrenie goniometrických funkcií trojitých uhlov (3θ) z hľadiska funkcií jednotlivých uhlov (θ). Tieto trigonometrické vzorce sú užitočné na zjednodušenie a riešenie goniometrických rovníc, kde sú zahrnuté trojité uhly.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ X

css podčiarknutý text

cos 3x=4cos ³ x – 3 cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identity polovičného uhla

Identity polovičného uhla sú tie trigonometrické vzorce, ktoré sa používajú na nájdenie sínusu, kosínusu alebo tangens polovice daného uhla. Tieto vzorce sa používajú na vyjadrenie goniometrických funkcií polovičných uhlov z hľadiska pôvodného uhla.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

tiež

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

zoznam uzlov v jazyku Java

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Súčet k identitám produktu

Identity súčtu k produktu sú goniometrické vzorce, ktoré nám pomáhajú vyjadriť súčty alebo rozdiely goniometrických funkcií ako produkty goniometrických funkcií.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + útulné = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − útulný = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identity produktov

Identity produktov, tiež známe ako identity produktov k súčtu, sú vzorce, ktoré umožňujú vyjadrenie produktov goniometrických funkcií ako súčty alebo rozdiely goniometrických funkcií.

Tieto trigonometrické vzorce sú odvodené zo súčtových a rozdielových vzorcov pre sínus a kosínus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Zoznam trigonometrických vzorcov

Nižšie uvedená tabuľka obsahuje základné trigonometrické pomery pre uhly ako 0°, 30°, 45°, 60° a 90°, ktoré sa bežne používajú na riešenie problémov.

Vyriešené otázky o vzorci trigonometrie

Tu je niekoľko vyriešených príkladov trigonometrických vzorcov, ktoré vám pomôžu lepšie pochopiť pojmy.

Otázka 1: Ak cosec θ + cot θ = x, nájdite hodnotu cosec θ – cot θ pomocou trigonometrického vzorca.

Riešenie:

cosec θ + detská postieľka θ = x

Vieme, že kosec²θ+ detská postieľka²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ postieľka θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Otázka 2: Pomocou trigonometrických vzorcov ukážte, že tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Riešenie:

Máme,

L.H.S = opálenie 10 ° takže 15 ° takže 75 ° takže 80 °

= opálenie (90-80) ° takže 15 ° opálenie (90-15) ° takže 80 °

= detská postieľka 80 ° takže 15 ° detská postieľka 15 ° takže 80 °

=(postieľka 80 ° *takže 80 ° )( detská postieľka 15 ° *takže 15 ° )

= 1 = R.H.S

Otázka 3: Ak sin θ cos θ = 8, nájdite hodnotu (sin θ + cos θ) ² pomocou trigonometrických vzorcov.

Riešenie:

(sin θ + cos θ)²

zoznam na java

= bez²θ + cos²0 + 2sin8cos0

= (1) + 2 (8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Otázka 4: Pomocou trigonometrických vzorcov dokážte, že (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Riešenie:

L.H.S = (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – teda²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Od, sek.²θ – teda²θ = 1]

vybrať ako

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – sek θ + tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – sek θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sek θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin 6)/cos 9 = R.H.S. Dokázané.

Časté otázky o trigonometrických vzorcoch a identitách

Čo je to trigonometria?

Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré sa zameriava na vzťahy medzi uhlami a stranami trojuholníkov, najmä pravouhlých trojuholníkov.

Aké sú tri základné trigonometrické pomery?

• Sin A = kolmica/ prepona
• Cos A = základ/hypotenza
• Tan A= Kolmá/Základňa

Na ktorý trojuholník sa dajú použiť trigonometrické vzorce?

Trigonometrické vzorce sú použiteľné pre pravouhlé trojuholníky.

Aké sú hlavné trigonometrické pomery?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens, sekanta a kosekant.

Pre ktorý uhol sa hodnota pomeru opálenia rovná pomeru detskej postieľky?

Pre hodnotu 45°, opálenie 45°= detská postieľka 45° = 1.

Aký je vzorec pre sin3x?

Vzorec pre sin3x je 3sin x – 4 sin³X.