Hodnosť Matrixu je definovaný ako rozmer vektorového priestoru tvorený jeho stĺpcami. Hodnosť Matrixu je veľmi dôležitý pojem v oblasti lineárnej algebry, pretože nám pomáha vedieť, či dokážeme nájsť riešenie systému rovníc alebo nie. Hodnosť matice nám tiež pomáha poznať rozmernosť jej vektorového priestoru.

Tento článok podrobne skúma pojem poradie matice vrátane jej definície, ako vypočítať hodnosť matice, ako aj nulitu a jej vzťah k hodnosti. Naučíme sa tiež, ako riešiť niektoré problémy na základe hodnosti matice. Začnime teda najprv definíciou hodnosti matice.

Obsah

• Čo je Rank of Matrix?
• Ako vypočítať poradie matice?
• Vlastnosti Rank of Matrix
• Príklady hodnosti matice
• často kladené otázky

Čo je Rank of Matrix?

Hodnotenie matice je základný koncept v lineárnej algebre, ktorý meria maximálny počet lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov v akejkoľvek matici. Inými slovami, hovorí vám, koľko riadkov alebo stĺpcov matice nie je užitočných a prispieva k celkovej informácii alebo rozmernosti matice. Definujme hodnosť matice.

Definícia hodnosti matice

Poradie matice je definované ako počet lineárne nezávislých riadkov v a matice .

unsigned int c programovanie

Označuje sa pomocou ρ(A), kde A je ľubovoľná matica. Počet riadkov matice je teda limitom hodnosti matice, čo znamená, že poradie matice nemôže presiahnuť celkový počet riadkov v matici.

Napríklad, ak je matica rádu 3 × 3, potom maximálna hodnosť matice môže byť 3.

Poznámka: Ak má matica všetky riadky s nulovými prvkami, potom sa hodnota matice považuje za nulovú.

Nulita Matrixu

V danej matici sa počet vektorov v nulovom priestore nazýva nulita matice alebo môže byť definovaný aj ako rozmer nulového priestoru danej matice.

Celkový počet stĺpcov v matici = poradie + nulita

Prečítajte si viac o Veta o nulite hodnosti .

Ako vypočítať poradie matice?

Existujú 3 metódy, ktoré možno použiť na získanie poradia akejkoľvek danej matice. Tieto metódy sú nasledovné:

• Vedľajšia metóda
• Použitie formulára Echelon
• Použitie normálneho formulára

Poďme diskutovať o týchto metódach podrobne.

Vedľajšia metóda

Predbežná požiadavka: Neplnoletí Matrixu

Ak chcete nájsť poradie matice pomocou vedľajšej metódy, postupujte podľa nasledujúcich krokov:

• Vypočítajte determinant matice (povedzme A). Ak det(A) ≠ 0, potom poradie matice A = poradie matice A.
• Ak det(A) = 0, potom sa poradie matice rovná rádu maximálnej možnej nenulovej minority matice.

Poďme pochopiť, ako nájsť hodnosť matice pomocou vedľajšej metódy.

Príklad: Nájdite hodnosť matice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} pomocou vedľajšej metódy.

DanéA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Krok 1: Vypočítajte determinant A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Ako det(A) ≠ 0, ρ(A) = rád A = 3

Použitie formulára Echelon

Vedľajšia metóda sa stáva veľmi únavnou, ak je poradie matice veľmi veľké. Takže v tomto prípade prevedieme maticu na formu Echelon. Matrica, ktorá je in horná trojuholníková forma alebo dolná trojuholníková forma sa považuje za formu Echelon. Maticu je možné previesť na jej formu Echelon pomocou základné riadkové operácie . Na výpočet poradia matice pomocou formulára Echelon sa postupuje podľa nasledujúcich krokov:

• Preveďte danú maticu do jej Echelonovej formy.
• Počet nenulových riadkov získaných v tvare Echelon matice je poradie matice.

Poďme pochopiť, ako nájsť hodnosť matice pomocou vedľajšej metódy.

Príklad: Nájdite hodnosť matice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} pomocou metódy formulára Echelon.

DanéA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Krok 1: Preveďte A na echelonovú formu

Použiť R₂= R₂– 4R₁

Použiť R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Použiť R₃= R₃– 2R₂

koľko váži kat timpf

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Keďže matica A je teraz v dolnom trojuholníkovom tvare, je vo forme Echelon.

• Krok 2: Počet nenulových riadkov v A = 2. Teda ρ(A) = 2

Použitie normálneho formulára

O matrici sa hovorí, že je v normálnej forme, ak ju možno zredukovať na formu egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Tu som_rpredstavuje maticu identity rádu r. Ak je možné maticu previesť do jej normálnej formy, potom sa o hodnote matice hovorí, že je r.

Poďme pochopiť, ako nájsť hodnosť matice pomocou vedľajšej metódy.

Príklad: Nájdite hodnosť matice old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} pomocou metódy normálnej formy.

DanéA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Použiť R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁a R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Použiť R₁= R₁– 2R₂a R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použiť R₁= R₁+ R₃a R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použiť C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

A teda možno písať ako egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Teda ρ(A) = 3

Vlastnosti Rank of Matrix

Vlastnosti poradia matice sú nasledovné:

• Hodnosť matice sa rovná rádu matice, ak ide o nesingulárnu maticu.
• Poradie matice sa rovná počtu nenulových riadkov, ak je vo forme Echelon.
• Hodnosť matice sa rovná poradiu matice identity v nej, ak je v normálnej forme.
• Hodnosť matice
• Hodnosť matice
• Poradie matice identity sa rovná poradiu matice identity.
• Poradie nulovej matice alebo nulovej matice je nula.

Čítaj viac,

• Typy matíc
• Transpozícia matice
• Inverzná k Matrixu

Príklady hodnosti matice

A príklad 1: Nájdite hodnosť matice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} pomocou vedľajšej metódy.

Riešenie:

DanéA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Krok 1: Vypočítajte determinant A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Ako det(A) ≠ 0, ρ(A) = rád A = 3

Príklad 2. Nájdite hodnosť matice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} pomocou vedľajšej metódy.

Riešenie:

DanéA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Krok 1: Vypočítajte determinant A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Ako det(A) ≠ 0, ρ(A) = rád A = 3

Príklad 3. Nájdite hodnosť matice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} pomocou metódy formulára Echelon.

reťazec na int java

Riešenie:

DanéA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Krok 1: Preveďte A na echelonovú formu

Použiť R₂= R₂– 4R₁

Použiť R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Použiť R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Keďže matica A je teraz v dolnom trojuholníkovom tvare, je vo forme Echelon.

Krok 2: Počet nenulových riadkov v A = 2. Teda ρ(A) = 2

Príklad 4. Nájdite hodnosť matice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} pomocou metódy formulára Echelon.

Riešenie:

DanéA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Krok 1: Preveďte A na echelonovú formu

Použiť R₂= R₂– 4R₁

Použiť R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Použiť R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Keďže matica A je teraz v dolnom trojuholníkovom tvare, je vo forme Echelon.

Krok 2: Počet nenulových riadkov v A = 2. Teda ρ(A) = 2

Príklad 5. Nájdite hodnosť matice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} pomocou metódy normálnej formy.

Riešenie:

DanéA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Použiť R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁a R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Použiť R₁= R₁– 2R₂a R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použiť R₁= R₁+ R₃a R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použiť C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použiť R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

A teda možno písať akoegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Teda ρ(A) = 3

Hodnosť matice – často kladené otázky

Definujte hodnosť matice.

Poradie matice je definované ako počet lineárne nezávislých riadkov v matici. Označuje sa pomocou ρ(A), kde A je ľubovoľná matica.

Ako nájsť hodnosť matice?

Poradie matice možno vypočítať pomocou rôznych metód, ako napríklad:

• Vedľajšia metóda
• Použitie formulára Echelon
• Použitie normálneho formulára

Aká je hodnosť matice, ak determinant matice nie je rovný nule?

Ak je determinant matice nula, potom sa poradie matice rovná poradiu matice.

Kedy sa hovorí, že Matrix je vo forme Echelonu?

Matrica, ktorá má horný trojuholníkový tvar alebo dolný trojuholníkový tvar, sa nazýva echelónový tvar.

Čo je normálna forma matice?

O matici sa hovorí, že je v normálnej forme, ak ju možno napísať ako egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} kde ja_rje matica identity rádu „r“.

Aká je hodnosť Null Matrix?

Hodnosť nulovej matice je nula.

Aká je hodnosť matice identity?

Poradie matice identity sa rovná poradiu matice.

čo znamená xd

Aký je vzťah medzi nulitou a hodnosťou matice?

Vzťah medzi nulitou a hodnosťou matice je:

Celkový počet stĺpcov v matici = poradie + nulita