Výroková logika je odvetvie matematiky, ktoré študuje logické vzťahy medzi výrokmi (alebo výrokmi, vetami, tvrdeniami) ako celkom a spojenými logickými spojkami.

V tomto článku sme sa podrobne venovali výrokovej logike a súvisiacim témam.

Obsah

• Čo je to logika?
• Výroková logika
• Tabuľka pravdy
• 1. Negácia
• 2. Konjunkcia
• 3. Disjunkcia
• 4. Výhradný Or
• 5. Implikácia
• 6. Dvojpodmienečná alebo dvojitá implikácia

Čo je to logika?

Logika je základom každého matematického uvažovania a každého automatizovaného uvažovania. Pravidlá logiky špecifikujú význam matematických výrokov. Tieto pravidlá nám pomáhajú pochopiť a zdôvodniť tvrdenia, ako napríklad –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Čo v jednoduchej angličtine znamená Existuje celé číslo, ktoré nie je súčtom dvoch štvorcov .

Význam matematickej logiky

Pravidlá logiky dávajú presný význam matematickým výrokom. Tieto pravidlá sa používajú na rozlíšenie medzi platnými a neplatnými matematickými argumentmi. Okrem jej dôležitosti pre pochopenie matematického uvažovania má logika množstvo aplikácií v informatike, od návrhu digitálnych obvodov po konštrukciu počítačových programov a overovanie správnosti programov.

Výroková logika

Čo je to návrh? Návrh je základným stavebným kameňom logiky. Je definovaná ako oznamovacia veta, ktorá je buď pravdivá alebo nepravdivá, ale nie oboje. The Pravdivá hodnota výroku je pravdivý (označený ako T), ak je pravdivý, a nepravdivý (označený ako F), ak ide o nepravdivý výrok. Napríklad,

1. Slnko vychádza na východe a zapadá na západe.
2. 1 + 1 = 2
3. „b“ je samohláska.

Všetky vyššie uvedené vety sú výroky, kde prvé dve sú platné (pravda) a tretia je neplatné (nepravda). Niektoré vety, ktoré nemajú pravdivostnú hodnotu alebo môžu mať viac ako jednu pravdivostnú hodnotu, nie sú výroky. Napríklad,

1. Koľko je hodín?
2. Choď von a hraj sa
3. x + 1 = 2

Vyššie uvedené vety nie sú výroky, pretože prvé dve nemajú pravdivú hodnotu a tretia môže byť pravdivá alebo nepravdivá. Na reprezentáciu návrhov, výrokové premenné sa používajú. Podľa Konvencie sú tieto premenné reprezentované malými abecedami ako naprp,:q,:r,:s . Oblasť logiky, ktorá sa zaoberá výrokmi, sa nazýva výrokový počet alebo výroková logika . Zahŕňa aj vytváranie nových návrhov s využitím existujúcich. Výroky skonštruované pomocou jedného alebo viacerých výrokov sa nazývajú zložené návrhy . Návrhy sa kombinujú pomocou Logické spojky alebo Logické operátory .

Výroková logika

matematické metódy v Jave

Tabuľka pravdy

Keďže potrebujeme poznať pravdivosť výroku vo všetkých možných scenároch, zvažujeme všetky možné kombinácie výrokov, ktoré sú spojené logickými spojkami, aby vytvorili daný zložený výrok. Táto kompilácia všetkých možných scenárov v tabuľkovom formáte sa nazýva a pravdivostná tabuľka . Najbežnejšie logické spojovacie prvky -

1. Negácia

Akp je návrh, potom negáciap je označený eg p , čo pri preklade do jednoduchej angličtiny znamená- Nie je to tak p alebo jednoducho nie p . Pravdivostná hodnota -p je opakom pravdivostnej hodnoty p . Pravdivostná tabuľka -p je:

príklad, Negácia Dnes prší, je Nie je to tak, že dnes prší alebo jednoducho Dnes neprší.

2. Konjunkcia

Pre akékoľvek dva návrhyp aq , ich spojku označujemepwedge q , čo znamenáp aq . Konjunkciapwedge q je pravda, keď obojep aq sú pravdivé, inak nepravdivé. Pravdivostná tabuľkapwedge q je:

príklad, Spojenie výrokovp – Dnes je piatok aq – Dnes prší,pwedge q je Dnes je piatok a dnes prší. Tento návrh je pravdivý iba v daždivé piatky a je nesprávny v ktorýkoľvek iný daždivý deň alebo v piatok, keď neprší.

3. Disjunkcia

Pre akékoľvek dva návrhyp aq , ich disjunkcia je označenápvee q , čo znamenáp aleboq . Disjunkciapvee q je pravda, keď buďp aleboq je pravda, inak nepravda. Pravdivostná tabuľkapvee q je:

príklad, Disjunkcia návrhovp – Dnes je piatok aq – Dnes prší,pvee q je Dnes je piatok alebo dnes prší. Tento návrh platí v ktorýkoľvek deň, ktorý je piatok alebo daždivý deň (vrátane daždivých piatkov), a neplatí v ktorýkoľvek deň okrem piatku, keď tiež neprší.

4. Výhradný Or

Pre akékoľvek dva návrhyp aq , ich výhradné alebo je označenépoplus q , čo znamená buďp aleboq ale nie oboje. Exkluzívna resppoplus q je pravda, keď buďp aleboq je pravda a nepravda, keď sú obe pravdivé alebo obe nepravdivé. Pravdivostná tabuľkapoplus q je:

príklad, Exkluzívne alebo z návrhovp – Dnes je piatok aq – Dnes prší,poplus q je Buď dnes je piatok, alebo dnes prší, ale nie oboje. Tento návrh je pravdivý v ktorýkoľvek deň, ktorý je piatkom alebo daždivým dňom (okrem daždivých piatkov) a je nepravdivý v ktorýkoľvek deň okrem piatku, keď neprší alebo v piatky neprší.

5. Implikácia

Pre akékoľvek dva návrhyp aq , vyhlásenie akp potomq sa nazýva implikácia a označuje sap ightarrow q . V implikáciip ightarrow q ,p sa nazýva hypotéza alebo predchodca alebo predpoklad aq sa nazýva záver alebo dôsledkom . Z toho vyplývap ightarrow q sa tiež nazýva a podmienečný výrok . Implikácia je nepravdivá, kedyp je pravda aq je nepravda, inak je to pravda. Pravdivostná tabuľkap ightarrow q je:

Niekto by sa mohol čudovať, že prečop ightarrow q pravda kedyp je nepravdivé. Implikácia totiž zaručuje, že kedyp aq sú pravdivé, potom je implikácia pravdivá. Ale implikácia nezaručuje nič, keď je predpokladp je nepravdivé. Odvtedy nie je možné zistiť, či je implikácia nepravdivá alebo niep sa nestalo. Táto situácia je podobná postoju Innocent, kým sa nepreukáže vina, čo znamená, že implikáciap ightarrow q sa považuje za pravdivé, kým sa nepreukáže, že je nepravdivé. Keďže nemôžeme nazvať implikáciup ightarrow q nepravda kedyp je nepravdivá, našou jedinou alternatívou je nazvať ju pravdivou.

Vyplýva to z Princíp výbuchu ktorý hovorí: Nepravdivé tvrdenie znamená čokoľvek Podmienené tvrdenia zohrávajú veľmi dôležitú úlohu v matematickom uvažovaní, preto sa na vyjadrenie používa rôzna terminológia.p ightarrow q , z ktorých niektoré sú uvedené nižšie.

Ak p, potom qp postačuje pre qq, keď nevyhnutná podmienka pa pre p je qp iba vtedy, ak qq, pokiaľ z p nevyplýva ≠pq

rokmesiac

príklad, Ak je piatok, tak dnes prší, je návrh, ktorý má formup ightarrow q . Vyššie uvedená veta platí, ak nie je piatok (premisa je nepravdivá) alebo ak je piatok a prší, a je nepravdivá, keď je piatok, ale neprší.

6. Dvojpodmienečná alebo dvojitá implikácia

Pre akékoľvek dva návrhyp aq , výkazp ak a len vtedy (iff)q sa nazýva bipodmienkové a označuje sapleftrightarrow q . Výkazpleftrightarrow q sa tiež nazýva a obojstranná implikácia .pleftrightarrow q má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Implikácia je pravdivá kedyp aq majú rovnaké pravdivostné hodnoty a inak sú nepravdivé. Pravdivostná tabuľkapleftrightarrow q je:

Niektoré ďalšie bežné spôsoby vyjadrovaniapleftrightarrow q sú:

p je nevyhnutné a postačujúce pre qif p potom q, a naopakp, ak q

Príklad: Dnes prší vtedy a len vtedy, ak je dnes piatok. je návrh, ktorý má tvarpleftrightarrow q . Vyššie uvedená veta platí, ak nie je piatok a neprší, alebo ak je piatok a prší, a neplatí, keď nie je piatok alebo neprší. Cvičenie:

zoznam triedený java

1) Zvážte nasledujúce tvrdenia:

• P: Dobré mobilné telefóny nie sú lacné.
• Otázka: Lacné mobilné telefóny nie sú dobré.
• L: P znamená Q
• M: Q znamená P
• N: P je ekvivalentné Q

Ktorá z nasledujúcich možností o L, M a N je SPRÁVNA? (Gate 2014)

(A) Len L je PRAVDA.

(B) Len M je PRAVDA.

(C) Iba N je PRAVDA.

(D) L, M a N sú PRAVDA.

Riešenie viď BRÁNA | GATE-CS-2014-(Sada-3) | Otázka 11

2) Ktorá z nasledujúcich možností nie je ekvivalentná p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Riešenie viď BRÁNA | GATE-CS-2015 (Sada 1) | Otázka 65