Plocha pod krivkou je plocha ohraničená krivkou a súradnicovými osami, vypočíta sa tak, že sa zoberú veľmi malé obdĺžniky a potom sa zoberie ich súčet, ak vezmeme nekonečne malé obdĺžniky, potom sa ich súčet vypočíta tak, že sa vezme limit takto vytvorenej funkcie.

Pre danú funkciu f(x) definovanú v intervale [a, b] je plocha (A) pod krivkou f(x) od „a“ po „b“ daná vzťahom A = ∫ _a ^b f(x)dx . Plocha pod krivkou sa vypočíta tak, že sa zoberie absolútna hodnota funkcie za interval [a, b] sčítaná v rozsahu.

V tomto článku sa podrobne dozvieme o oblasti pod krivkou, jej aplikáciách, príkladoch a iných.

Obsah

• Čo je oblasť pod krivkou?
• Výpočet plochy pod krivkou
• Použitie Reimannových súm
• Použitie určitých integrálov
• Aproximácia oblasti pod krivkou
• Výpočet plochy pod krivkou
• Vzorce oblasti pod krivkou

Čo je oblasť pod krivkou?

Oblasť pod krivkou je oblasť ohraničená ľubovoľnou krivkou s osou x a danými okrajovými podmienkami, t. j. oblasť ohraničená funkciou y = f(x), osou x a priamkou x = a a x = b. V niektorých prípadoch existuje iba jedna alebo žiadna okrajová podmienka, pretože krivka pretína os x buď raz alebo dvakrát.

Plochu pod krivkou možno vypočítať pomocou rôznych metód, ako je Reimannov súčet a Určitý integrál a môžeme tiež aproximovať plochu pomocou základných tvarov, tj trojuholníka, obdĺžnika, lichobežníka atď.

Prečítajte si podrobne: Počet v matematike

Výpočet plochy pod krivkou

Na výpočet plochy pod krivkou môžeme použiť nasledujúce metódy, ako napríklad:

• Použitie Reimannových súm
• Použitie určitých integrálov
• Použitie aproximácie

Pozrime sa na tieto metódy podrobne takto:

Použitie Reimannových súm

Reimann Sums sa vypočíta rozdelením grafu danej funkcie na menšie obdĺžniky a sčítaním plôch každého obdĺžnika. Čím viac obdĺžnikov berieme do úvahy pri delení poskytnutého intervalu, tým presnejšia je oblasť vypočítaná týmto prístupom; napriek tomu, čím viac podintervalov zvažujeme, tým ťažšie sú výpočty.

Reimann Sum možno rozdeliť do troch ďalších kategórií, ako napríklad:

• Vľavo Reimann Sum
• Vpravo Reimann Sum
• Stred Reimann Sum

Oblasť pomocou Reimannovho súčtu je daná takto:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

kde,

• f(x _i ) je hodnota funkcie integrovanej do i ^th vzorový bod
• Ax = (b-a)/n je šírka každého podintervalu,
  • a a b sú limity integrácie a
  • n je počet podintervalov
• ∑ predstavuje súčet všetkých členov od i=1 do n,

Príklad: Nájdite oblasť pod krivkou funkcie, f(x) = x ² medzi limitmi x = 0 a x = 2.

Riešenie:

Chceme nájsť plochu pod krivkou tejto funkcie medzi x = 0 a x = 2. Na aproximáciu plochy použijeme ľavý Reimannov súčet s n = 4 podintervalmi.

Vypočítajme plochu pod krivkou pomocou 4 podintervalov.

Teda šírka podintervalov, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Všetky 4 podintervaly sú

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

X₀= 0, x₁= 0,5 x₂= 1, x₃= 1,5 x₄= 2

Teraz môžeme vyhodnotiť funkciu pri týchto hodnotách x, aby sme našli výšky každého obdĺžnika:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Plochu pod krivkou možno teraz aproximovať sčítaním plôch obdĺžnikov tvorených týmito výškami:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5 [0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Preto plocha pod krivkou f(x) = x²medzi x = 0 a x = 2, aproximované pomocou ľavého Reimannovho súčtu so 4 podintervalmi, je približne 1,25.

Použitie určitých integrálov

Určitý integrál je takmer rovnaký ako Reimannov súčet, ale tu sa počet podintervalov blíži k nekonečnu. Ak je funkcia daná pre interval [a, b], potom určitý integrál je definovaný ako:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Definitívny integrál udáva presnú plochu pod krivkou, na rozdiel od Reimannovej sumy. Určitý integrál sa vypočíta nájdením primitívnej funkcie funkcie a jej vyhodnotením na hraniciach integrácie.

Oblasť vzhľadom na os X

Krivka zobrazená na obrázku nižšie je znázornená pomocou y = f(x). Potrebujeme vypočítať plochu pod krivkou vzhľadom na os x. Hraničné hodnoty pre krivku na osi x sú a a b. Plocha A pod touto krivkou vzhľadom na os x sa vypočíta medzi bodmi x = a a x = b. Zvážte nasledujúcu krivku:

Vzorec pre oblasť pod krivkou w.r.t k osi x je daný vzťahom:

herec ranbir kapoor vek

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

kde,

• A je plocha pod krivkou
• a alebo f(x) je krivka
• a, a b sú x-hodnoty alebo limit integrácie, pre ktoré potrebujeme vypočítať plochu

Oblasť vzhľadom na os Y

Krivka zobrazená na obrázku vyššie je reprezentovaná pomocou x = f(y). Potrebujeme vypočítať plochu pod krivkou vzhľadom na os Y. Hraničné hodnoty pre krivku na osi Y sú a a b. Plocha A pod touto krivkou vzhľadom na os Y medzi bodmi y = a a y = b. Zvážte nasledujúcu krivku:

Vzorec pre oblasť pod krivkou w.r.t k osi y je daný vzťahom:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

kde,

• A je plocha pod krivkou
• X alebo f(y) je krivka
• a, b sú priesečníky y

Uč sa viac, Oblasť medzi dvoma krivkami

Aproximácia oblasti pod krivkou

Aproximácia plochy pod krivkou zahŕňa použitie jednoduchých geometrických tvarov, ako sú obdĺžniky alebo lichobežníky, na odhad plochy pod krivkou. Táto metóda je užitočná, keď je ťažké integrovať funkciu alebo keď nie je možné nájsť primitívne deriváciu funkcie. Presnosť aproximácie závisí od veľkosti a počtu použitých tvarov.

Výpočet plochy pod krivkou

Plochu rôznych kriviek môžeme jednoducho vypočítať pomocou pojmov uvedených v danom článku. Teraz zvážime niekoľko príkladov výpočtu plochy pod krivkou pre niektoré bežné krivky.

Oblasť pod krivkou: Parabola

Vieme, že štandardná parabola je rozdelená na dve symetrické časti buď osou x alebo osou y. Predpokladajme, že vezmeme parabolu y²= 4ax a potom sa jeho plocha vypočíta od x = 0 do x = a. A ak je to potrebné, zdvojnásobíme jej plochu, aby sme našli plochu paraboly v oboch kvadrante.

Výpočet plochy,

a²= 4ax

y = √ (4ax)

A = 2°₀^ay.dx

A = 2°₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Plocha pod parabolou od x = 0 do x = a je teda 8/3a ² štvorcových jednotiek

Oblasť pod krivkou: Kruh

Kruh je uzavretá krivka, ktorej obvod je vždy v rovnakej vzdialenosti od stredu. Jeho plocha sa vypočíta tak, že sa najprv vypočíta plocha v prvom kvadrante a potom sa vynásobí 4 pre všetky štyri kvadranty.

Predpokladajme, že vezmeme kružnicu x²+ a²= a²a potom sa jeho plocha vypočíta od x = 0 do x = a v prvom kvadrante. A ak je to potrebné, zoštvornásobíme jeho plochu, aby sme našli plochu kruhu.

Výpočet plochy,

X²+ a²= a²

y = √ (a²- X²).dx

A = 4°₀^ay.dx

A = 4°₀^a√ (a²- X²).dx

A = 4[x/2√(a²- X²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^a₀

alisa manyonok

A = 4[{(a/2.0) + a²/2.bez^-1} – 0]

A = 4 (a²/2) (p/2)

A = πa²

Oblasť pod kruhom je teda pa ² štvorcových jednotiek

Oblasť pod krivkou: Elipsa

Kruh je uzavretá krivka. Jeho plocha sa vypočíta tak, že sa najprv vypočíta plocha v prvom kvadrante a potom sa vynásobí 4 pre všetky štyri kvadranty.

Predpokladajme, že vezmeme kruh (x/a)²+ (y/b)²= 1 a potom sa jeho plocha vypočíta od x = 0 do x = a v prvom kvadrante. A ak je to potrebné, zoštvornásobíme jej plochu, aby sme našli plochu elipsy.

Výpočet plochy,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²- X²).dx

A = 4°₀^ay.dx

A = 4b/a°₀^a√ (a²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2.0) + a²/2.bez^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2) (p/2)

A = πab

Teda plocha pod elipsou je πab štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti pod krivkou

Vzorec pre rôzne typy výpočtu plochy pod krivkou je uvedený v tabuľke nižšie:

Tiež si prečítajte

• Integrály
• Oblasť ako určitý integrál

Vzorové príklady oblasti pod krivkou

Príklad 1: Nájdite oblasť pod krivkou y ² = 12x a os X.

Riešenie:

Daná krivka rovnice je y²= 12x

Toto je rovnica paraboly s a = 3, teda y²= 4(3)(x)

Graf pre požadovanú oblasť je uvedený nižšie:

Os X rozdeľuje vyššie uvedenú parabolu na 2 rovnaké časti. Takže môžeme nájsť plochu v prvom kvadrante a potom ju vynásobiť 2, aby sme dostali požadovanú plochu

Požadovanú oblasť teda môžeme nájsť takto:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

dynamické programovanie

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 štvorcových jednotiek

Príklad 2: Vypočítajte plochu pod krivkou x = y ³ – 9 medzi bodmi y = 3 a y = 4.

Riešenie:

Daná rovnica krivky je x = y³– 9

Hraničné body sú (0, 3) a (0, 4)

Keďže krivka má tvar x = f(y) a body sú tiež na osi Y, použijeme vzorec,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 štvorcových jednotiek

Príklad 3: Vypočítajte plochu pod krivkou y = x ² – 7 medzi bodmi x = 5 a x = 10.

Riešenie:

Daná krivka je y = x²−7 a hraničné body sú (5, 0) a (10, 0)

Plocha pod krivkou je teda daná:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 štvorcových jednotiek

Príklad 4: Nájdite plochu ohraničenú parabolou y ² = 4ax a priamka x = a v prvom kvadrante.

Riešenie:

Krivka a daná čiara môžu byť nakreslené nasledovne:

Teraz je rovnica krivky y²= 4ax

Hraničné body sú (0, 0) a (a, 0)

Takže plochu vzhľadom na os X možno vypočítať ako:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Príklad 5: Nájdite oblasť pokrytú kružnicou x ² + a ² = 25 v prvom kvadrante.

Riešenie:

Vzhľadom k tomu, x²+ a²= 25

Krivka môže byť nakreslená ako:

Požadovaná oblasť je na obrázku vyššie zatienená. Z rovnice vidíme, že polomer kruhu je 5 jednotiek.

Ako, x²+ a²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Na nájdenie oblasti použijeme:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 štvorcových jednotiek

Časté otázky o oblasti pod krivkou

Definujte oblasť pod krivkou.

Oblasť ohraničená krivkou, osou a hraničnými bodmi sa označuje ako oblasť pod krivkou. Pomocou súradnicových osí a integračného vzorca bola plocha pod krivkou určená ako dvojrozmerná.

Ako vypočítať plochu pod krivkou?

Existujú tri spôsoby, ako nájsť oblasť pod krivkou, a to:

xampp alternatíva

• Reimann Sums zahŕňajú rozdelenie krivky na menšie obdĺžniky a sčítanie ich plôch, pričom počet podintervalov ovplyvňuje presnosť výsledku.
• Jednoznačné integrály sú podobné Reimannovým sumám, ale na poskytnutie presného výsledku používajú nekonečné množstvo podintervalov.
• Aproximačné metódy sa používajú známe geometrické tvary na aproximáciu plochy pod krivkou.

Aký je rozdiel medzi určitým integrálom a Reimannovým súčtom?

Kľúčový rozdiel medzi určitým integrálom a Reimannovým súčtom je v tom, že určitý integrál predstavuje presnú plochu pod danou krivkou, zatiaľ čo Reimannov súčet predstavuje približnú hodnotu oblasti a presnosť súčtu závisí od zvolenej veľkosti oddielu.

Môže byť oblasť pod krivkou negatívna?

Ak je krivka pod osou alebo leží v záporných kvadrantoch súradnicovej osi, plocha pod krivkou je záporná. Aj v tomto prípade sa plocha pod krivkou vypočíta pomocou konvenčného prístupu a riešenie sa potom moduluje. Aj v prípadoch, keď je odpoveď záporná, berie sa do úvahy iba hodnota oblasti, nie záporné znamienko odpovede.

Čo predstavuje oblasť pod krivkou v štatistike?

Plocha pod krivkou (ROC) je mierou presnosti kvantitatívneho diagnostického testu.

Ako interpretujete znak oblasti pod krivkou?

Znamienko plochy ukazuje, že plocha pod krivkou je nad osou x alebo pod osou x. Ak je plocha kladná, potom plocha pod krivkou je nad osou x a ak je záporná, plocha pod krivkou je pod osou x.

Ako sa aproximuje plocha pod krivkou?

Segmentovaním oblasti do malých obdĺžnikov možno približne odhadnúť plochu pod krivkou. A pridaním oblastí týchto obdĺžnikov možno získať oblasť pod krivkou.