LU rozklad matice je rozklad danej štvorcovej matice na dve trojuholníkové matice, jednu hornú trojuholníkovú maticu a jednu dolnú trojuholníkovú maticu tak, že súčin týchto dvoch matíc dáva pôvodnú maticu. Predstavil ho Alan Turing v roku 1948, ktorý tiež vytvoril Turingov stroj.

Metóda rozkladu LU faktorizácie matice ako súčinu dvoch trojuholníkových matíc má rôzne aplikácie, ako je riešenie systému rovníc, ktoré je samo o sebe neoddeliteľnou súčasťou mnohých aplikácií, ako je hľadanie prúdu v obvode a riešenie problémov s diskrétnym dynamickým systémom. ; nájdenie inverznej matice a nájdenie determinantu matice.

Čo je rozklad L U?

Štvorcovú maticu A možno rozložiť na dve štvorcové matice L a U tak, že A = L U, kde U je horná trojuholníková matica vytvorená ako výsledok aplikácie Gaussovej eliminačnej metódy na A a L je dolná trojuholníková matica s diagonálnymi prvkami. rovný 1.

Pre A =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

java trim string

Máme L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} a U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Tak, že A = L U t.j.left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Tu je hodnota l_{dvadsaťjeden}, v_jedenásť, atď., možno porovnať a nájsť.

Čo je Gaussova eliminačná metóda?

Gaussova eliminácia, tiež známa ako Gauss-Jordan Elimination, je metóda používaná v lineárnej algebre na riešenie systémov lineárnych rovníc a na nájdenie inverznej hodnoty matice. Je pomenovaný po matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi a tiež matematikovi Wilhelmovi Jordanovi, ktorí sa výrazne pričinili o jeho rozvoj.

Podľa Gaussovej eliminačnej metódy:

1. Každý nulový riadok by mal byť v spodnej časti matice.
2. Prvý nenulový záznam každého riadku by mal byť na pravej strane prvého nenulového záznamu predchádzajúceho riadku. Táto metóda redukuje maticu na riadkový echelónový tvar.

Metóda rozkladu LU

Na spracovanie akejkoľvek štvorcovej matice na dve trojuholníkové matice, t. j. jedna je spodná trojuholníková matica a druhá je horná trojuholníková matica, môžeme použiť nasledujúce kroky.

• Daný súbor lineárnych rovníc najskôr preveďte do maticového tvaru A X = C, kde A je matica koeficientov, X je premenná matica a C je matica čísel na pravej strane rovníc.
• Teraz zredukujte maticu koeficientov A, t. j. maticu získanú z koeficientov premenných vo všetkých daných rovniciach tak, že pre „n“ premenných máme maticu nXn na riadkový tvar pomocou Gaussovej eliminačnej metódy. Takto získaná matrica je U.
• Na nájdenie L máme dve metódy. Prvým je prijať zostávajúce prvky ako nejaké umelé premenné, vytvoriť rovnice pomocou A = L U a vyriešiť ich, aby ste našli tieto umelé premenné. Iná metóda spočíva v tom, že zostávajúce prvky sú multiplikačné koeficienty, vďaka ktorým sa príslušné pozície v U matici stali nulovými. (Táto metóda je trochu zložitejšia na pochopenie slovami, ale v príklade nižšie by to bolo jasné)
• Teraz máme A (matica koeficientov nXn), L (dolná trojuholníková matica nXn), U (horná trojuholníková matica nXn), X (matica premenných nX1) a C (matica čísel nX1 vpravo- strana rovníc).
• Daná sústava rovníc je A X = C. Dosadíme A = L U. Máme teda L U X = C. Dáme Z = U X, kde Z je matica alebo umelé premenné a najprv riešime pre L Z = C a potom riešime pre U X = Z nájsť X alebo hodnoty premenných, čo bolo potrebné.

Príklad rozkladu LU

Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy rozkladu LU:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Riešenie: Tu máme A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

a

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

tak, že A X = C. Teraz najprv zvážime

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

a skonvertujte ho do riadkovej formy pomocou Gaussovej eliminačnej metódy. Takže konaním

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

dostaneme

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Teraz tým, že robím

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

Dostaneme

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Nezabudnite, že medzi znakmi vždy ponechajte znamienko „–“, znamienko „+“ nahraďte dvoma znamienkami „–“) Preto dostaneme L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

a U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(všimnite si, že v matici L,

l_{21} = 4

je z (1),

strojopis foreach loop

l_{31} = 3

je z (2) a

l_{32} = -2

je z (3)) Teraz predpokladáme Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

a vyriešiť L Z = C.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Takže máme

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

Riešenie, dostávame

z_1 = 1

,

z_2 = 2

a

z_3 = 5

. Teraz riešime U X = Z

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Preto dostávame

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

Riešením danej sústavy lineárnych rovníc je teda

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

a teda matica X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Cvičenie o rozklade LU

Pri LU rozklade matrice

| 2 2 |
| 4 9 |

stiahnite si autocad 2019 english mediafire

, ak sú diagonálne prvky U obidva 1, potom spodná diagonálna položka l22 z L je (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Pre riešenie pozri BRÁNA | GATE-CS-2015 (Sada 1) | Otázka 65 .

Časté otázky o rozklade LU

Čo je metóda rozkladu LU?

LU rozklad, skratka pre Lower-Upper decomposition, je technika faktorizácie matice používaná na rozdelenie štvorcovej matice na súčin spodnej trojuholníkovej matice (L) a hornej trojuholníkovej matice (U). Bežne sa používa na zjednodušenie riešenia systémov lineárnych rovníc a výpočtu determinantov.

Prečo je rozklad LU jedinečný?

Dekompozícia LU je jedinečná, pretože poskytuje spôsob jedinečnej faktorizácie štvorcovej matice A na dolné a horné trojuholníkové matice (L a U), čo umožňuje efektívne riešenie lineárnych systémov a výpočet determinantov.

Ako sa vypočíta rozklad LU?

Rozklad LU sa vypočíta pomocou Gaussovej eliminácie, kde štvorcovú maticu A transformujete na dolnú (L) a hornú (U) trojuholníkovú maticu vykonaním riadkových operácií, pričom budete sledovať zmeny v samostatných maticiach. Tento proces je iteratívny a pokračuje, kým sa A úplne nerozloží. Metóda so všetkými krokmi na rozklad LU je uvedená v článku.

Keď rozklad LU nie je možný?

Dekompozícia LU nemusí byť možná, keď je matica A singulárna (neinvertibilná) alebo keď si vyžaduje otáčanie kvôli stabilite, ale prvok otočného bodu sa stane nulovým, čo spôsobí delenie nulou počas procesu rozkladu.

Existujú nejaké alternatívy k rozkladu LU?

Áno, alternatívy k rozkladu LU zahŕňajú Choleský rozklad pre symetrické pozitívne definitné matice, QR rozklad pre všeobecné matice a metódy založené na vlastných hodnotách, ako je spektrálny rozklad a rozklad singulárnych hodnôt (SVD) pre rôzne maticové operácie a aplikácie.

Je možné použiť rozklad LU na neštvorcové matice?

Rozklad LU sa typicky aplikuje na štvorcové matice. Pre pravouhlé matice sa častejšie používa QR rozklad. Variácie, ako je rozklad LUP, však dokážu zvládnuť aj pravouhlé matice, kde P je permutačná matica.