Vektorová projekcia je tieň vektora nad iným vektorom. Vektor projekcie sa získa vynásobením vektora Cos uhla medzi týmito dvoma vektormi. Vektor má veľkosť aj smer. Dva vektory sa považujú za rovnaké, ak majú rovnakú veľkosť, ako aj smer. Vektorová projekcia je nevyhnutná pri riešení numerických metód vo fyzike a matematike.

V tomto článku sa podrobne dozvieme o tom, čo je vektorová projekcia, príklad vzorca vektorovej projekcie, vzorec vektorovej projekcie, odvodenie vzorca vektorovej projekcie, lineárna algebra vektorovej projekcie, vzorec vektorovej projekcie 3d a niektoré ďalšie súvisiace pojmy.

Obsah

• Čo je vektorová projekcia?
• Vzorec vektorovej projekcie
• Odvodenie vzorca vektorovej projekcie
• Príklady vzorcov vektorovej projekcie
• Praktické aplikácie a význam vektorovej projekcie
• Príklady vektorovej projekcie na riešenie problémov v reálnom svete

Čo je vektorová projekcia?

Vektorová projekcia je metóda otáčania vektora a jeho umiestnenia na druhý vektor. Vektor sa teda získa, keď sa vektor rozloží na dve zložky, rovnobežnú a kolmú. Paralelný vektor sa nazýva projekčný vektor. Vektorová projekcia je teda dĺžka tieňa vektora nad iným vektorom.

Vektorová projekcia vektora sa získa vynásobením vektora Cos uhla medzi dvoma vektormi. Povedzme, že máme dva vektory „a“ ​​a „b“ a musíme nájsť projekciu vektora a na vektor b, potom vektor „a“ vynásobíme cosθ, kde θ je uhol medzi vektorom a a vektorom b.

Vzorec vektorovej projekcie

Akvec Aje reprezentovaný ako A avec Bje znázornené ako B, vektorová projekcia A na B je daná ako súčin A s Cos θ, kde θ je uhol medzi A a B. Ďalší vzorec pre vektorovú projekciu A na B je daný ako súčin A a B delené veľkosťou B. Takto získaný projekčný vektor je skalárnym násobkom A a má smer v smere B.

Odvodenie vzorca vektorovej projekcie

Odvodenie vzorca vektorovej projekcie je diskutované nižšie:

Predpokladajme, že OP =vec Aa OQ =vec Ba uhol medzi OP a OQ je 9. Nakreslený PN kolmo na OQ.

V pravouhlom trojuholníku OPN je Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ ON = |vec A| Cos θ

ON je projekčný vektorvec Anavec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

selén

⇒ ON =frac{vec A.vec B}

Preto ON =|vec A|.hat B

Teda vektorová projekciavec Anavec Bsa uvádza akofrac{vec A.vec B}

vektorová projekciavec Bnavec Asa uvádza akofrac{vec A.vec B}

Skontrolujte tiež: Typy vektorov

Vektorová projekcia Dôležité pojmy

Aby sme našli vektorovú projekciu, musíme sa naučiť nájsť uhol medzi dvoma vektormi a tiež vypočítať bodový súčin medzi dvoma vektormi.

Uhol medzi dvoma vektormi

Uhol medzi týmito dvoma vektormi je daný ako prevrátená hodnota kosínusu bodového súčinu dvoch vektorov delená súčinom veľkosti dvoch vektorov.

Povedzme, že máme dva vektoryvec Aavec Buhol medzi nimi je θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Bodový súčin dvoch vektorov

Povedzme, že máme dva vektoryvec Aavec Bdefinovaný akovec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kavec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k potom je bodový súčin medzi nimi daný ako

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Súvisiaci článok:

• Pridanie vektora
• Jednotkový vektor
• Vektorová algebra
• Lineárna algebra

Príklady vzorcov vektorovej projekcie

Príklad 1. Nájdite projekciu vektora 4hat i + 2hat j + hat k na 5hat i -3hat j + 3hat k .

Riešenie:

Tu,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

iphone emojis v systéme Android

Vieme, projekcia Vektora a na Vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Príklad 2. Nájdite projekciu vektora 5hat i + 4hat j + hat k na 3hat i + 5hat j – 2hat k

Riešenie:

Tu,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Vieme, projekcia Vektora a na Vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

jasmine davis ako dieťa

Príklad 3. Nájdite priemet vektora 5hat i – 4hat j + hat k na 3hat i – 2hat j + 4hat k

Riešenie:

Tu,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Vieme, projekcia Vektora a na Vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Príklad 4. Nájdite priemet vektora 2hat i – 6hat j + hat k na 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Riešenie:

Tu,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Vieme, projekcia Vektora a na Vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Príklad 5. Nájdite priemet vektora 2hat i – hat j + 5hat k na 4hat i – hat j + hat k .

Riešenie:

Tu,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Vieme, projekcia Vektora a na Vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Skontrolujte: Vektorové operácie

Praktické aplikácie a význam vektorovej projekcie

fyzika

• Silový rozklad : Vo fyzike je vzorec vektorovej projekcie rozhodujúci pre rozklad síl na zložky rovnobežné a kolmé na povrchy. Napríklad pochopenie sily, ktorú vyvíja lano v hre preťahovanie lanom, vyžaduje premietnutie vektora sily na smer lana.

• Výpočet práce : Práca vykonaná silou počas premiestnenia sa vypočíta pomocou vektorovej projekcie. Práca je bodovým súčinom vektora sily a vektora posunutia, v podstate premieta jeden vektor na druhý, aby sa našla zložka sily v smere posunutia.

Strojárstvo

• Štrukturálna analýza : Inžinieri používajú vektorovú projekciu na analýzu namáhania komponentov. Projekciou vektorov sily na konštrukčné osi môžu určiť zložky napätia v rôznych smeroch, čo pomáha pri navrhovaní bezpečnejších a efektívnejších štruktúr.

• Dynamika tekutín : V dynamike tekutín pomáha vektorová projekcia pri analýze prúdenia tekutín okolo objektov. Projektovaním vektorov rýchlosti tekutiny na povrchy môžu inžinieri študovať vzory prúdenia a sily, ktoré sú kľúčové pre aerodynamický dizajn a hydraulické inžinierstvo.

Počítačová grafika

• Techniky vykresľovania : Vektorová projekcia je základom počítačovej grafiky na vykresľovanie tieňov a odrazov. Grafický softvér premietaním svetelných vektorov na povrchy vypočítava uhly a intenzitu tieňov a odrazov, čím zvyšuje realizmus v 3D modeloch.

• Animácia a vývoj hier : V animácii sa vektorová projekcia používa na simuláciu pohybov a interakcií. Napríklad určenie toho, ako sa postava pohybuje po nerovnom teréne, zahŕňa premietanie pohybových vektorov na povrch terénu, čo umožňuje realistické animácie.

Skontrolujte: Bázové vektory v lineárnej algebre

Príklady vektorovej projekcie na riešenie problémov v reálnom svete

Príklad 1: GPS navigácia

• Kontext : V navigačných systémoch GPS sa vektorová projekcia používa na výpočet najkratšej cesty medzi dvoma bodmi na zemskom povrchu.
• Aplikácia : Premietnutím vektora posunutia medzi dvoma geografickými polohami na vektor zemského povrchu dokážu algoritmy GPS presne vypočítať vzdialenosti a smery a optimalizovať tak cestovné trasy.

Príklad 2: Športová analýza

• Kontext : V športovej analýze, najmä vo futbale alebo basketbale, pomáha vektorová projekcia pri analýze pohybov hráčov a trajektórií lopty.
• Aplikácia : Projektovaním pohybových vektorov hráčov na hraciu plochu alebo ihrisko môžu analytici študovať vzorce, rýchlosti a efektívnosť pohybov, čo prispieva k strategickému plánovaniu a zlepšovaniu výkonu.

Príklad 3: Inžinierstvo obnoviteľnej energie

• Kontext : Pri navrhovaní veterných turbín je pochopenie zložiek sily vetra nevyhnutné na optimalizáciu výroby energie.
• Aplikácia : Inžinieri premietajú vektory rýchlosti vetra na rovinu lopatiek turbíny. Táto analýza pomáha pri určovaní optimálneho uhla a orientácie lopatiek, aby sa maximalizovalo zachytenie veternej energie.

Príklad 4: Rozšírená realita (AR)

• Kontext : V aplikáciách rozšírenej reality sa vektorová projekcia používa na presné umiestnenie virtuálnych objektov do priestorov reálneho sveta.
• Aplikácia : Projektovaním vektorov z virtuálnych objektov na roviny skutočného sveta zachytené zariadeniami AR môžu vývojári zabezpečiť, aby virtuálne objekty realisticky interagovali s prostredím, čím sa zlepšuje používateľská skúsenosť.

Skontrolujte: Komponenty vektora

Časté otázky o vektorovej projekcii

Definujte projekčný vektor.

Projekčný vektor je tieňom vektora na inom vektore.

Čo je vzorec vektorovej projekcie?

Vzorec pre projekciu vektora je uvedený akofrac{vec A.vec B}

Ako nájsť projekčný vektor?

Vektor projekcie sa zistí výpočtom bodového súčinu dvoch vektorov deleného hodnotou, na ktorú je vrhnutý tieň.

Aké sú pojmy potrebné na výpočet projekčného vektora?

Na výpočet vektorovej projekcie potrebujeme poznať uhol medzi dvoma vektormi a bodový súčin dvoch vektorov.

vicky kaushal vek

Kde sa používa projekčný vektor?

Projekčný vektor sa používa na riešenie rôznych fyzikálnych numerických riešení, ktoré vyžadujú rozdelenie vektorovej veličiny na jej zložky.

Aký je význam vektorovej projekcie vo fyzike?

Vo fyzike je vektorová projekcia rozhodujúca pre rozklad síl, výpočet práce vykonanej silou v určitom smere a analýzu pohybu. Pomáha pochopiť, ako rôzne zložky vektora prispievajú k účinkom v rôznych smeroch.

Môže byť vektorová projekcia negatívna?

Áno, skalárna zložka vektorovej projekcie môže byť záporná, ak je uhol medzi týmito dvoma vektormi väčší ako 90 stupňov, čo naznačuje, že projekcia ide v opačnom smere ako je základný vektor.

Ako sa vektorová projekcia používa v inžinierstve?

Inžinieri používajú vektorovú projekciu na analýzu štrukturálnych napätí, optimalizáciu návrhov rozkladom síl na zvládnuteľné komponenty a v dynamike tekutín na štúdium vzorcov prúdenia proti povrchom.

Aký je rozdiel medzi skalárnou a vektorovou projekciou?

Skalárna projekcia udáva veľkosť jedného vektora v smere druhého a môže byť kladná alebo záporná. Vektorová projekcia, na druhej strane, nezohľadňuje len veľkosť, ale tiež udáva smer projekcie ako vektor.

Aké sú aplikácie vektorovej projekcie v reálnom svete?

Vektorová projekcia má aplikácie v GPS navigácii, športovej analytike, počítačovej grafike na vykresľovanie tieňov a odrazov a v rozšírenej realite na umiestňovanie virtuálnych objektov do priestorov reálneho sveta.