LICHOBEŽNÍKOVÉ PRAVIDLO: DEFINÍCIA, VZOREC, PRÍKLADY A ČASTO KLADENÉ OTÁZKY

Lichobežníkové pravidlo je jedným zo základných pravidiel integrácie, ktoré sa používa na definovanie základnej definície integrácie. Je to široko používané pravidlo a lichobežníkové pravidlo je pomenované tak, pretože udáva oblasť pod krivkou rozdelením krivky na malé lichobežníky namiesto obdĺžnikov.

Vo všeobecnosti nájdeme plochu pod krivkou tak, že plochu rozdelíme na menšie obdĺžniky a potom nájdeme súčet všetkých obdĺžnikov, ale v lichobežníkovom pravidle sa plocha pod krivkou rozdelí na lichobežníky a potom sa vypočíta ich súčet. Lichobežníkové pravidlo sa používa na nájdenie hodnoty určitých integrálov v numerickej analýze. Toto pravidlo sa tiež nazýva lichobežníkové pravidlo alebo lichobežníkové pravidlo. Dozvieme sa viac o lichobežníkovom pravidle, jeho vzorci a dôkaze, príklade a ďalších podrobne v tomto článku.

Čo je lichobežníkové pravidlo?

Lichobežníkové pravidlo je pravidlo, ktoré sa používa na zistenie hodnoty určitého integrálu tvaru^b∫_af(x) dx. Vieme, že hodnota určitého integrálu^b∫_af(x) dx je plocha uzavretá pod krivkou y = f(x) a osou x v intervale a a b na osi x. Túto plochu vypočítame tak, že celú plochu rozdelíme na niekoľko malých obdĺžnikov a potom zistíme ich súčet.

V lichobežníkovom pravidle, ako už názov napovedá, je plocha pod krivkou rozdelená na niekoľko lichobežníkov a potom sa zistí ich súčet, aby sa získala plocha krivky. Lichobežníkové pravidlo neposkytuje najlepšiu aproximáciu oblasti pod krivkou ako Simpsonovo pravidlo, ale napriek tomu je jeho výsledok dostatočne presný a toto pravidlo je široko používaným pravidlom v kalkulácii.

Vzorec lichobežníkového pravidla

Vzorec lichobežníkového pravidla je vzorec, ktorý sa používa na nájdenie oblasti pod krivkou. Ak chcete teraz nájsť oblasť pod krivkou pomocou lichobežníkového pravidla,

Nech y = f(x) je súvislá krivka definovaná na uzavretom intervale [a, b]. Teraz rozdelíme uzavretý interval [a, b] na n rovnakých podintervalov, pričom každý má šírku,

Δx = (b – a)/n

Taký,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

Teraz pomocou vzorca lichobežníkového pravidla môžeme nájsť oblasť pod krivkou ako,

∫^b_af(x) dx = Plocha pod krivkou = (Δx/2) [y₀+ 2 (a₁+ a₂+ a₃+ ….. + a_n-1) + y_n]

kde, y₀, a₁, a₂,…. a_nsú hodnoty funkcie pri x = 1, 2, 3, ….., n.

Odvodenie vzorca lichobežníkového pravidla

Vzorec lichobežníkového pravidla na výpočet plochy pod krivkou je odvodený tak, že sa plocha pod krivkou rozdelí na niekoľko lichobežníkov a potom sa zistí ich súčet.

vyhlásenie:

Nech f(x) je spojitá funkcia definovaná na intervale (a, b). Teraz rozdelíme intervaly (a, b) na n rovnakých podintervalov, pričom šírka každého intervalu je,

linux upraviť súbor

Δx = (b – a)/n

tak, že a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Potom vzorec lichobežníkového pravidla je,

∫^b_af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

kde, x_i= a + i△x

Ak n → ∞, R.H.S výrazu dáva určitý integrál $int_{a}^{b}f(x) dx$

dôkaz:

Tento vzorec je dokázaný rozdelením plochy pod danou krivkou, ako je znázornené na obrázku vyššie, na rôzne lichobežníky. Prvý lichobežník má výšku Δx a dĺžka rovnobežných základní je f(x₀) a f(x₁)

Plocha prvého lichobežníka = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Podobne plocha zostávajúcich lichobežníkov je (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], a tak ďalej.

Teraz môžeme povedať,

∫^b_af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁)) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂)) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n))

Po zjednodušení dostaneme,

∫^b_af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Tým je dokázané lichobežníkové pravidlo.

Ako aplikovať lichobežníkové pravidlo?

Lichobežníkové pravidlo nájde oblasť pod krivkou tak, že oblasť pod krivkou rozdelí na rôzne lichobežníky a potom nájde súčet všetkých lichobežníkov. Lichobežníkové pravidlo nie je dokonalou aproximáciou hodnoty určitého integrálu, pretože používa kvadratickú aproximáciu.

Musíme nájsť hodnotu určitého integrálu ∫^b_af(x) dx. Hodnotu určitého integrálu možno vypočítať pomocou lichobežníkového pravidla podľa nasledujúcich krokov:

Krok 1: Označte hodnotu čiastkových intervalov n a intervalov a a b.

Krok 2: Nájdite šírku podintervalu (△x) pomocou vzorca △x = (b – a)/n

Krok 3: Vložte všetky hodnoty do vzorca lichobežníkového pravidla a nájdite približnú plochu danej krivky, ktorá predstavuje určitý integrál ∫^b_af(x) dx

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

kde, X _i = a + i△x

Sumačný zápis lichobežníkového pravidla

Vieme, že plocha lichobežníka je v podstate priemer dĺžok rovnobežných strán vynásobený výškou. Takže v tomto prípade zvážte lichobežník pre i^thinterval,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Keďže celková plocha je súčtom všetkých plôch,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Toto sa nazýva sigma notácia alebo sumačná notácia lichobežníkových súčtov.

Riemann Sums

Riemann zhŕňa prácu na myšlienke potápania oblasti pod krivkou do rôznych pravouhlých častí. S pribúdajúcim počtom obdĺžnikov sa oblasť čoraz viac približuje k aktuálnej oblasti. Na obrázku nižšie je funkcia f(x). Oblasť pod touto funkciou je rozdelená do mnohých obdĺžnikov. Celková plocha pod krivkou je súčtom plôch všetkých obdĺžnikov.

koľko miest je v nás

Všimnite si, že na obrázku vyššie sa pravý koniec obdĺžnikov dotýka krivky. Toto sa nazýva pravicovo-Riemannove sumy.

V inom prípade, keď sa ľavý koniec obdĺžnikov dotýka krivky, ako je znázornené na obrázku nižšie, nazývajú sa ľavé Riemannove súčty.

Povedzme, že Δx je šírka intervalu šírka n je počet intervalov, ako je uvedené vyššie. Potom je plocha krivky reprezentovaná súčtom,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Stredné súčty

V Riemannových súčtoch sa ľavý alebo pravý koniec obdĺžnika dotýka krivky. V tomto prípade sa stredný bod obdĺžnika dotýka krivky. Všetko ostatné je rovnaké ako Riemannove sumy. Obrázok nižšie zobrazuje funkciu f(x) a rôzne obdĺžniky v súčtoch stredných bodov.

Povedzme A_ioznačuje oblasť i^thobdĺžnik. Oblasť tohto obdĺžnika bude v tomto prípade

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Teraz bude celková plocha v zápise súčtu daná ako,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Čítaj viac,

Integračné vzorce
Integrácia podľa častí
Diferenciačný a integračný vzorec

Vyriešený príklad na lichobežníkovom pravidle

Príklad 1: Nájdite oblasť ohraničenú funkciou f(x) medzi x = 0 až x = 4 so 4 intervalmi.

f(x) = 4

Riešenie:

Tu a = 0, b = 4 a n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichobežníkové pravidlo pre n = 4 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Nahradením hodnôt v tejto rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

Príklad 2: Nájdite oblasť ohraničenú funkciou f(x) medzi x = 0 až x = 3 s 3 intervalmi.

f(x) = x

Riešenie:

Tu a = 0, b = 3 a n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichobežníkové pravidlo pre n = 3 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Nahradením hodnôt v tejto rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Príklad 3: Nájdite oblasť ohraničenú funkciou f(x) medzi x = 0 až x = 2 s 2 intervalmi.

f(x) = 2x

Riešenie:

Tu a = 0, b = 2 a n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichobežníkové pravidlo pre n = 2 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Nahradením hodnôt v tejto rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Príklad 4: Nájdite oblasť ohraničenú funkciou f(x) medzi x = 0 až x = 3 s 3 intervalmi.

f(x) = x ²

Riešenie:

Tu a = 0, b = 3 a n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$
nahradiť reťazec java

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichobežníkové pravidlo pre n = 3 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Nahradením hodnôt v tejto rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Príklad 5: Nájdite oblasť ohraničenú funkciou f(x) medzi x = 0 až x = 4 so 4 intervalmi.

f(x) = x ³ + 1

Riešenie:

Tu a = 0, b = 4 a n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichobežníkové pravidlo pre n = 4 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Nahradením hodnôt v tejto rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Šípka doprava T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Šípka doprava T_n= 72$

Príklad 6: Nájdite oblasť ohraničenú funkciou f(x) medzi x = 0 až x = 4 so 4 intervalmi.

f(x) = e ^X

Riešenie:

Tu a = 0, b = 4 a n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Lichobežníkové pravidlo pre n = 4 je,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Nahradením hodnôt v tejto rovnici

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Šípka doprava T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Šípka doprava T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Aplikácie lichobežníkového pravidla

Numerická integrácia:

Primárna aplikácia lichobežníkového pravidla je pri aproximácii určitých integrálov. Používa sa, keď je integrácia funkcie náročná a numerický prístup je uskutočniteľnejší. Lichobežníkové pravidlo je často súčasťou pokročilejších techník numerickej integrácie.

Fyzika a inžinierstvo:

Vo fyzike a inžinierstve sa lichobežníkové pravidlo môže použiť na výpočet veličín, ako je posunutie, rýchlosť a zrýchlenie. Napríklad, keď sa experimentálne údaje zhromažďujú v diskrétnych časových intervaloch, na odhad plochy pod krivkou možno použiť lichobežníkové pravidlo, čím sa získa aproximácia integrálu.

Ekonomika a financie:

Lichobežníkové pravidlo možno použiť vo finančnom modelovaní na odhad súčasnej hodnoty budúcich peňažných tokov. To je užitočné najmä pri analýze diskontovaných peňažných tokov (DCF), kde je cieľom vypočítať čistú súčasnú hodnotu investície.

štatistiky:

V štatistike sa lichobežníkové pravidlo môže použiť na odhad oblasti pod funkciami hustoty pravdepodobnosti alebo funkciami kumulatívneho rozdelenia. To je užitočné najmä v prípadoch, keď je presná forma distribúcie neznáma alebo zložitá.

Časté otázky týkajúce sa lichobežníkového pravidla

Q1: Čo je lichobežníkové pravidlo?

odpoveď:

primitívne dátové typy v jazyku Java

Lichobežníkové pravidlo je pravidlo, ktoré sa používa na nájdenie určitého integrálu, rozdelí plochu pod krivkou na niekoľko lichobežníkov a potom sa nájde ich individuálna plocha a potom sa vypočíta súčet, aby sa získala hodnota určitého integrálu.

Otázka 2: Aký je vzorec lichobežníkového pravidla?

odpoveď:

Vzorec lichobežníkového pravidla je,

∫ ^b _a f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

Otázka 3: Prečo sa to nazýva vzorec lichobežníkového pravidla?

odpoveď:

Vzorec lichobežníkového pravidla sa nazýva lichobežníkové pravidlo, pretože rozdeľuje plochu pod krivkou na niekoľko lichobežníkov a potom sa ich plocha vypočíta ako súčet lichobežníkov.

Q4: Aký je rozdiel medzi lichobežníkovým pravidlom a pravidlom Riemannových súm?

odpoveď:

Hlavný rozdiel medzi lichobežníkovým pravidlom a pravidlom Riemannových súm je v tom, že lichobežníkové pravidlo rozdeľuje plochu pod krivkou ako lichobežníky a potom nájde plochu tak, že vezme ich súčet, zatiaľ čo Riemannove súčty rozdelia plochu pod krivkou ako lichobežník a potom nájde oblasť tak, že vezme ich súčet.