Podobné trojuholníky sú trojuholníky s rovnakým tvarom, ale môžu mať rôzne veľkosti. Podobné trojuholníky majú zodpovedajúce strany vo vzájomnom pomere a zodpovedajúce uhly sa navzájom rovnajú. Podobné trojuholníky sa líšia od zhodných trojuholníkov. Dve zhodné čísla sú vždy podobné, ale dve podobné čísla nemusia byť zhodné.

Dva trojuholníky sa považujú za podobné, ak sa ich zodpovedajúce uhly zhodujú a ich strany sú proporcionálne. To znamená, že podobné trojuholníky majú rovnaký tvar, hoci ich veľkosti sa môžu líšiť. Na druhej strane sú trojuholníky definované ako zhodné, keď nielenže zdieľajú rovnaký tvar, ale majú aj zodpovedajúce strany, ktoré majú rovnakú dĺžku.

Teraz sa dozvieme viac o podobné trojuholníky a ich vlastnosti s riešenými príkladmi a ďalšie podrobne v tomto článku.

Obsah

• Čo sú podobné trojuholníky?
• Podobné definície trojuholníkov
• Podobné príklady trojuholníkov
• Základná teoréma proporcionality (Thalesova veta)
• Podobné kritériá trojuholníkov
• Podobný vzorec Triangles
• Vzorec pre podobné trojuholníky v geometrii
• Podobné pravidlá trojuholníka
• Uhol-uhol (AA) alebo AAA Veta podobnosti
• Side-Angle-Side alebo SAS teorém podobnosti
• Side-Side-Side alebo SSS teorém podobnosti
• Ako nájsť podobné trojuholníky?
• Oblasť podobných trojuholníkov – teorém
• Rozdiel medzi podobnými trojuholníkmi a zhodnými trojuholníkmi
• Aplikácie podobných trojuholníkov
• Dôležité poznámky k podobným trojuholníkom
• Vyriešené otázky týkajúce sa podobných trojuholníkov
• Cvičné otázky Podobné trojuholníky

Čo sú podobné Trojuholníky?

Podobné trojuholníky sú trojuholníky, ktoré sa navzájom podobajú, ale ich veľkosti sa môžu líšiť. Podobné predmety majú rovnaký tvar, ale rôzne veľkosti. To znamená, že podobné tvary by sa pri zväčšení alebo zmenšení mali navzájom prekrývať. Táto vlastnosť podobných tvarov je známa ako Podobnosť .

Existujú tri podobné vety o trojuholníku:

• AA (alebo AAA) alebo veta o podobnosti uhla a uhla
• SAS alebo Veta podobnosti Side-Angle-Side
• SSS alebo Side-Side-Side teorém podobnosti

Podobné definície trojuholníkov

Dva trojuholníky sa nazývajú podobné trojuholníky, ak sú ich zodpovedajúce uhly rovnaké a zodpovedajúce strany sú v rovnakom pomere. Zodpovedajúce uhly dvoch podobných trojuholníkov musia byť rovnaké. Podobné trojuholníky môžu mať rôzne dĺžky strán trojuholníka, ale pomer dĺžok zodpovedajúcich strán musí byť rovnaký.

Keď sú dva trojuholníky podobné, znamená to, že:

výmena pamäte

• Všetky dvojice zodpovedajúcich uhlov v trojuholníkoch sú rovnaké.
• Všetky dvojice zodpovedajúcich strán trojuholníka sú úmerné.

Symbol ∼ sa používa na vyjadrenie podobnosti medzi podobnými trojuholníkmi. Takže, keď sú dva trojuholníky podobné, zapíšeme to ako △ABC ∼ △DEF.

Podobné príklady trojuholníkov

Rôzne príklady podobných trojuholníkov sú:

• Ak vezmeme dva trojuholníky, ktoré majú strany v pomere, potom sú to podobné trojuholníky.
• Vlajkové stožiare a ich tiene predstavujú podobné trojuholníky.

Trojuholníky zobrazené na obrázku nižšie sú podobné a predstavujeme ich ako, △ABC ∼ △PQR.

Základná teoréma proporcionality (Thalesova veta)

Základná teoréma proporcionality, tiež známa ako Thalesova veta, je základným konceptom v geometrii, ktorý súvisí s podobnosťou trojuholníkov. Uvádza, že ak je čiara nakreslená rovnobežne s jednou stranou trojuholníka, proporcionálne rozdeľuje ostatné dve strany. Zjednodušene povedané, ak priamka rovnobežná s jednou stranou trojuholníka pretína ďalšie dve strany, tieto strany proporcionálne rozdeľuje.

Matematicky, ak je priamka DE nakreslená rovnobežne s jednou stranou trojuholníka ABC, pričom strany AB a AC pretínajú v bodoch D a E, potom podľa základnej vety o proporcionalite:

BD/DA = CE/HER

Táto veta je dôsledkom podobnosti trojuholníkov tvorených rovnobežkou a stranami pôvodného trojuholníka. Konkrétne trojuholníky ADE a ABC, ako aj trojuholníky ADC a AEB, sú podobné, pretože zodpovedajúce uhly sú rovnaké. V dôsledku toho sú pomery zodpovedajúcich strán v podobných trojuholníkoch rovnaké, čo vedie k vzťahu proporcionality opísanému základnou vetou o proporcionalite.

Základná teoréma proporcionality je široko používaná v geometrii a trigonometrii na riešenie rôznych problémov zahŕňajúcich rovnobežné čiary a trojuholníky. Slúži ako základný princíp na pochopenie vlastností podobných trojuholníkov a vzťahov medzi ich zodpovedajúcimi stranami a uhlami. Okrem toho tvorí základ pre pokročilejšie koncepty v geometrii, ako je teorém o paralelných čiarach a aplikácie v rôznych geometrických konštrukciách a dôkazoch.

Podobné kritériá trojuholníkov

Ak sú dva trojuholníky podobné, musia spĺňať jedno z nasledujúcich pravidiel:

• Dva páry zodpovedajúcich uhlov sú rovnaké. (pravidlo AA)
• Tri páry zodpovedajúcich strán sú proporcionálne. (Pravidlo SSS)
• Dva páry zodpovedajúcich strán sú úmerné a zodpovedajúce uhly medzi nimi sú rovnaké. (Pravidlo SAS)

Prečítajte si podrobne: Kritériá pre podobné trojuholníky

Podobný vzorec Triangles

V poslednej časti sme študovali dve podmienky, pomocou ktorých môžeme overiť, či sú dané trojuholníky podobné alebo nie. Podmienky sú, keď sú dva trojuholníky podobné; ich zodpovedajúce uhly sú rovnaké alebo zodpovedajúce strany sú v pomere. Pomocou ktorejkoľvek podmienky môžeme dokázať, že △PQR a △XYZ sú podobné z nasledujúceho súboru podobných trojuholníkových vzorcov.

Vzorec pre podobné trojuholníky v geometrii

V △PQR a △XYZ, ak:

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Vyššie uvedené dva trojuholníky sú podobné, t.j. △PQR ∼ △XYZ.

Podobné pravidlá trojuholníka

Vety o podobnosti nám pomáhajú zistiť, či sú tieto dva trojuholníky podobné alebo nie. Keď nemáme mieru uhlov alebo strán trojuholníkov, použijeme vety o podobnosti.

Existujú tri hlavné typy pravidiel podobnosti, ako je uvedené nižšie:

• AA (alebo AAA) alebo veta o podobnosti uhla a uhla
• SAS alebo Veta podobnosti Side-Angle-Side
• SSS alebo Side-Side-Side teorém podobnosti

Uhol-uhol (AA) alebo AAA Veta podobnosti

Kritérium podobnosti AA uvádza, že ak sa ľubovoľné dva uhly v trojuholníku rovnajú ľubovoľným dvom uhlom iného trojuholníka, musia to byť podobné trojuholníky. Pravidlo podobnosti AA sa ľahko aplikuje, keď poznáme iba mieru uhlov a nemáme predstavu o dĺžke strán trojuholníka.

Na obrázku nižšie, ak je známe, že ∠B = ∠G a ∠C = ∠F:

A môžeme povedať, že podľa kritéria podobnosti AA sú △ABC a △EGF podobné alebo △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF a ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side alebo SAS teorém podobnosti

Podľa SAS teorému podobnosti, ak sú akékoľvek dve strany prvého trojuholníka v presnom pomere k dvom stranám druhého trojuholníka spolu s uhlom, ktorý tvoria tieto dve strany jednotlivých trojuholníkov, sú rovnaké, potom to musia byť podobné trojuholníky. Toto pravidlo sa vo všeobecnosti používa, keď poznáme iba mieru dvoch strán a uhol medzi týmito dvoma stranami v oboch trojuholníkoch.

Na obrázku nižšie, ak je známe, že AB/DE = AC/DF a ∠A = ∠D

A môžeme povedať, že podľa kritéria podobnosti SAS sú △ABC a △DEF podobné alebo △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side alebo SSS teorém podobnosti

Podľa SSS teorému podobnosti budú dva trojuholníky navzájom podobné, ak je zodpovedajúci pomer všetkých strán týchto dvoch trojuholníkov rovnaký. Toto kritérium sa bežne používa, keď máme iba mieru strán trojuholníka a máme menej informácií o uhloch trojuholníka.

Na obrázku nižšie, ak je známe, že PQ/ED = PR/EF = QR/DF

A môžeme povedať, že podľa kritéria podobnosti SSS sú △PQR a △EDF podobné alebo △PQR ∼ △EDF.

Podobné vlastnosti trojuholníkov

Podobné trojuholníky majú rôzne vlastnosti, ktoré sa široko používajú na riešenie rôznych geometrických problémov. Niektoré zo spoločných vlastností podobného trojuholníka:

• Tvar podobných trojuholníkov je pevný, ale ich veľkosti sa môžu líšiť.
• Zodpovedajúce uhly podobných trojuholníkov sú rovnaké.
• Zodpovedajúce strany podobných trojuholníkov sú v spoločných pomeroch.
• Pomer plochy podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu pomeru ich zodpovedajúcej strany.

Ako nájsť podobné trojuholníky?

Dva dané trojuholníky môžu byť dokázané ako podobné trojuholníky pomocou vyššie uvedených viet. Môžeme postupovať podľa krokov uvedených nižšie, aby sme skontrolovali, či sú dané trojuholníky podobné alebo nie:

Krok 1: Zaznamenajte si dané rozmery trojuholníkov (zodpovedajúce strany alebo zodpovedajúce uhly).

Krok 2: Skontrolujte, či tieto rozmery spĺňajú niektorú z podmienok pre podobné vety o trojuholníkoch (AA, SSS, SAS).

Krok 3 : Dané trojuholníky, ak spĺňajú niektorú z viet o podobnosti, môžu byť reprezentované pomocou ∼ na označenie podobnosti.

To možno lepšie pochopiť pomocou nasledujúceho príkladu:

Príklad: Skontrolujte, či △ABC a △PQR sú podobné trojuholníky alebo či nie sú pomocou zadaných údajov: ∠A = 65°, ∠B = 70º a ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Pomocou daného merania uhlov nemôžeme dospieť k záveru, či dané trojuholníky spĺňajú kritérium podobnosti AA alebo nie. Nájdeme mieru tretieho uhla a vyhodnotíme ju.

Pomocou vlastnosti súčtu uhlov trojuholníka vieme, že ∠C v △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

Podobne ∠Q v △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Preto môžeme konštatovať, že v △ABC a △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P a ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Oblasť podobných trojuholníkov – teorém

Podobná teoréma o ploche trojuholníka hovorí, že pre dva podobné trojuholníky je pomer plochy trojuholníkov úmerný druhej mocnine pomeru ich zodpovedajúcich strán. Predpokladajme, že máme dva podobné trojuholníky, ΔABC a ΔPQR

Podľa podobnej vety o trojuholníku:

(Oblasť ΔABC)/(Oblasť ΔPQR) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

apache

Rozdiel medzi podobnými trojuholníkmi a zhodnými trojuholníkmi

Podobné trojuholníky a zhodné trojuholníky sú dva typy trojuholníkov, ktoré sa široko používajú v geometrii na riešenie rôznych problémov. Každý typ trojuholníka má iné vlastnosti a základný rozdiel medzi nimi je uvedený v tabuľke nižšie.

Aplikácie podobných trojuholníkov

Rôzne aplikácie podobného trojuholníka, ktoré vidíme v reálnom živote, sú,

• Tieň a výška rôznych objektov sa vypočítajú pomocou konceptu podobných trojuholníkov.
• Zmena mierky mapy používa koncept podobného trojuholníka.
• Fotografické zariadenia využívajú podobné vlastnosti trojuholníka na zachytávanie rôznych obrázkov.
• Model Making využíva koncept podobných trojuholníkov.
• Navigácia a trigonometria tiež používa podobný trojuholníkový prístup na riešenie rôznych problémov atď.

Dôležité poznámky k podobným trojuholníkom:

• Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu pomeru ich zodpovedajúcich strán.
• Všetky zhodné trojuholníky sú podobné, ale všetky podobné trojuholníky nemusia byť nevyhnutne zhodné.
• Toto ' ~ “ symbol sa používa na označenie podobných trojuholníkov.

Vyriešené otázky týkajúce sa podobných trojuholníkov

Otázka 1: Na uvedenom obrázku 1 DE || BC. Ak AD = 2,5 cm, DB = 3 cm a AE = 3,75 cm. Nájsť AC?

Riešenie:

V △ABC, DE || B.C.

AD/DB = AE/EC (podľa Thalesovej vety)

2,5/3 = 3,75/x, kde EC = x cm

upraviť súbor linux

(3 x 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

Preto AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Otázka 2: Na obrázku 1 DE || BC. Ak AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm a AC = 9 cm. Nájsť AE?

Riešenie:

Nech AE = x cm.

V △ABC, DE || B.C.

Podľa Thalesovej vety máme,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7 x 9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Preto AE = 2,25 cm

Otázka 3: Dokážte, že čiara vedená stredom jednej strany trojuholníka (obrázok 1) rovnobežná s druhou stranou pretína tretiu stranu.

Riešenie:

Je dané ΔΑΒC, v ktorom D je stred AB a DE || BC, stretnutie AC v E.

NA DOKÁZANIE AE = EC.

dôkaz: Od DE || BC, podľa Thalesovej vety máme:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, dané)

AE/EC = 1

AE = EC

Otázka 4: Na uvedenom obrázku 2 AD/DB = AE/EC a ∠ADE = ∠ACB. Dokážte, že ABC je rovnoramenný trojuholník.

Riešenie:

Máme AD/DB = AE/EC DE || pred Kr. [v premene Tálesovej vety]

∠ADE = ∠ABC (zodpovedajúce ∠s)

Ale, ∠ADE = ∠ACB (dané).

Preto ∠ABC = ∠ACB.

Takže AB = AC [strany opačné k rovnakým uhlom].

△ABC je teda rovnoramenný trojuholník.

Otázka 5: Ak D a E sú body na stranách AB a AC △ABC (obrázok 2) tak, že AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm a AE = 1,8 cm, ukážte, že DE | | BC.

Riešenie:

Dané, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm a AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 a AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Preto, podľa Thalesovej vety, DE || BC.

Otázka 6: Dokážte, že úsečka spájajúca stredy ľubovoľných dvoch strán trojuholníka (obrázok 2) je rovnobežná s treťou stranou.

Riešenie:

V △ABC, kde D a E sú stredy AB a AC.

Keďže D a E sú stredy AB a AC, máme:

AD = DB a AE = EC.

AD/DB = AE/EC (každý sa rovná 1)

Preto, podľa Thalesovej vety, DE || BC

Dôležité odkazy súvisiace s matematikou:

• Čo je jednoduchý úrok
• Stratový vzorec
• Vlastnosť súčtu uhla
• Deliteľnosť 11
• Stĺpcový graf
• Využitie trigonometrie
• Zoznam prirodzených čísel
• Model Pytagoras
• Matematický projekt pre 9. triedu

Cvičné otázky Podobné trojuholníky

Q1. V dvoch podobných trojuholníkoch △ABC a △ADE, ak DE || BC a AD = 3 cm, AB = 8 cm a AC = 6 cm. Nájdite AE.

Q2. V dvoch podobných trojuholníkoch △ABC a △PQR, ak QR || BC a PQ = 2 cm, AB = 12 cm a AC = 9 cm. Nájdite PR.

reťazec a podreťazec

Q3. V dvoch podobných trojuholníkoch ΔABC a ΔAPQ sú dĺžky strán dané ako AP = 9 cm , PB = 12 cm a BC = 24 cm. Nájdite pomer plôch ΔABC a ΔAPQ.

Q4. V dvoch podobných trojuholníkoch ΔABC a ΔAPQ sú dĺžky strán dané ako AP = 3 cm , PB = 4 cm a BC = 8 cm. Nájdite pomer plôch ΔABC a ΔAPQ.

Zhrnutie – Podobné trojuholníky

Podobné trojuholníky sú geometrické útvary, ktoré majú rovnaký tvar, ale líšia sa veľkosťou, vyznačujúce sa rovnakými zodpovedajúcimi uhlami a proporcionálne zodpovedajúcimi stranami. Kľúčové vety ako Uhol-Uhol (AA), Side-Angle-Side (SAS) a Side-Side-Side (SSS) stanovujú kritériá pre podobnosť trojuholníkov.

Tieto princípy sú základom v oblastiach, ako je strojárstvo, počítačová grafika a architektúra, vďaka ich schopnosti zachovať integritu tvaru pri zmene mierky. Thalesova veta alebo základná teoréma proporcionality ilustruje, ako priamka rovnobežná s jednou stranou trojuholníka proporcionálne rozdeľuje ostatné dve, čím ďalej demonštruje koncept podobnosti v trojuholníkoch.

Podobné trojuholníky sú rozhodujúce pre praktické aplikácie od výpočtu výšok a vzdialeností pri navigácii až po optimalizáciu návrhov v technológii a konštrukcii, čo demonštruje ich široký význam v akademickom aj v reálnom svete.

Podobné trojuholníky – často kladené otázky

Čo sú podobné trojuholníky triedy 10?

Podobné trojuholníky sú trojuholníky, ktoré majú všetky uhly rovnaké a ich strany sú v spoločnom pomere. Majú podobný tvar, ale nie podobnú oblasť.

Čo sú vzorce podobných trojuholníkov?

Podobné trojuholníkové vzorce sú vzorce, ktoré nám hovoria, či sú dva trojuholníky podobné alebo nie. Pre dva trojuholníky △ABC a △XYZ je podobný trojuholníkový vzorec:

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y a ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Ktorý symbol sa používa na znázornenie podobných trojuholníkov?

Podobné trojuholníky sú znázornené pomocou symbolu „~“. Ak sú dva trojuholníky △ABC a △XYZ podobné, predstavujeme ich ako △ABC ~ △XYZ, čítame to ako trojuholník ABC podobný trojuholníku XYZ.

Aké sú 3 podobné vety o trojuholníku?

Môžeme ľahko dokázať, že dva trojuholníky sú podobné pomocou vety o troch trojuholníkoch, ktoré sú,

• AA (alebo AAA) alebo veta o podobnosti uhla a uhla
• SAS alebo Veta podobnosti Side-Angle-Side
• SSS alebo Side-Side-Side teorém podobnosti

Aké sú vlastnosti podobných trojuholníkov?

Dôležité vlastnosti podobného trojuholníka sú,

• Podobné trojuholníky majú pevné tvary, ale ich veľkosti sa môžu líšiť.
• Zodpovedajúce uhly sú rovnaké v podobnom trojuholníku.
• Zodpovedajúce strany sú v spoločných pomeroch v podobnom trojuholníku.

Ako zistiť, či sú dva trojuholníky podobné?

Ak sú všetky uhly v trojuholníku rovnaké, potom môžeme ľahko povedať, že trojuholníky sú podobné.

Ktoré trojuholníky sú vždy podobné?

Trojuholník, ktorý je vždy podobný, je rovnostranný trojuholník. Pretože všetky uhly v rovnostranných trojuholníkoch sú vždy 60 stupňov, všetky dva rovnostranné trojuholníky sú vždy podobné.

Čo je oblasť podobných trojuholníkov?

Pomer plochy dvoch podobných trojuholníkov sa vždy rovná pomeru štvorcov ich strán. Pre dva trojuholníky △ABC a △XYZ môžeme povedať, že

• plocha △ABC / plocha △XYZ = (AB / XY)²

Čo je to podobné trojuholníkové kritériá?

Kritériá podobného trojuholníka sú kritériá, v ktorých môžeme vyhlásiť tri trojuholníky za podobné trojuholníky a tieto tri kritériá sú,

• Kritériá AAA (uhol-uhol-kritériá)
• Kritériá SAS (kritériá z bočného uhla)
• Kritériá SSS (Side-Side-Side Criteria)

Kto je otcom podobných trojuholníkov?

Euclid, staroveký grécky matematik, často označovaný ako otec geometrie, poskytol základné princípy na pochopenie podobných trojuholníkov vo svojom diele Elements.

Sú podobné trojuholníky úmerné?

Áno, podobné trojuholníky sú proporcionálne. To znamená, že zodpovedajúce strany podobných trojuholníkov sú v pomere, čo znamená, že pomer zodpovedajúcich strán podobných trojuholníkov zostáva konštantný.

Ktoré trojuholníky sú vždy podobné?

Trojuholníky, ktoré majú rovnaké tri uhly, sú vždy podobné. Toto je základná vlastnosť známa ako kritérium podobnosti uhla a uhla (AA).

Sú všetky pravouhlé trojuholníky podobné?

Nie, nie všetky pravouhlé trojuholníky sú podobné. Zatiaľ čo pravouhlé trojuholníky s rovnakými ostrými uhlami sú podobné, dĺžka prepony a pomer dĺžok strán sa môžu líšiť, čo vedie k nepodobnosti medzi pravouhlými trojuholníkmi.

Aký je pomer dvoch podobných trojuholníkov?

Pomer akýchkoľvek dvoch zodpovedajúcich strán v podobných trojuholníkoch zostáva konštantný. To znamená, že ak zoberiete zodpovedajúce strany podobných trojuholníkov a vytvoríte pomer, výsledok bude vždy rovnaký, bez ohľadu na konkrétne zvolené dĺžky strán.