logo

TechCodeview

Formulár radu Echelon

Matica je vo forme riadkov, ak má nasledujúce vlastnosti:

  • Akýkoľvek riadok pozostávajúci výlučne z núl sa nachádza v spodnej časti matice.
  • Pre každý riadok, ktorý neobsahuje úplné nuly, je prvý nenulový záznam 1 (nazývaný úvodná 1).
  • Pre dva po sebe nasledujúce (nenulové) riadky je vodiaca 1 vo vyššom rade vľavo viac ako predná 1 v dolnom rade.

Pre zmenšenú postupnosť riadkov, prvá 1 každého riadku obsahuje 0 pod a nad ním v tomto stĺpci.



Nižšie je uvedený príklad tvaru riadok-echalon:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

a redukovaný rad-echalon tvar:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Akákoľvek matica môže byť transformovaná na redukovaný riadkový echelónový tvar pomocou techniky nazývanej Gaussova eliminácia. Toto je obzvlášť užitočné pri riešení systémov lineárnych rovníc.

Gaussova eliminácia

Gaussova eliminácia je spôsob premeny matice na redukovaný riadkový echelónový tvar. Môže sa použiť aj ako spôsob hľadania riešenia systému lineárnych rovníc. Myšlienka za tým je, že vykonáme nejaké matematické operácie na riadku a pokračujeme, kým nezostane iba jedna premenná.



Nižšie sú uvedené niektoré operácie, ktoré môžeme vykonať:

  • Vymeňte ľubovoľné dva riadky
  • Pridajte dva riadky dohromady.
  • Vynásobte jeden riadok nenulovou konštantou (t.j. 1/3, -1/5, 2).

Vzhľadom na nasledujúcu lineárnu rovnicu:

x - 2r + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7r + z = -2

a rozšírená matica vyššie

egin{bmatica} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Teraz to musíme previesť do tvaru riadok-echalon. Na to, aby sme to previedli na rad-echelonovú formu, musíme vykonať Gaussovu elimináciu.

  • Najprv musíme odpočítať 2*r1z r2a 4*r1z r3dostať 0 na prvé miesto v r2a r3.

egin{bmatica} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Ďalej si vymeníme riadky r2 a r3 a potom odpočítame 5*r2z r3získať druhú 0 v treťom rade.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Teraz môžeme odvodiť hodnotu S z r3,t.j. 10 z = 0 ⇾ z = 0. Pomocou hodnoty z =0 ju môžeme priradiť k r2, y = 2. Podobne môžeme do r vložiť hodnotu y a z1a dostaneme hodnotu x=3

Hodnosť matice

Poradie matice je počet nenulových riadkov v riadkovej vrstve. Aby sme našli poradie, musíme vykonať nasledujúce kroky:

  • Nájdite riadkový tvar danej matice
  • Spočítajte počet nenulových riadkov.

Zoberme si príklad matice:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Teraz zredukujeme vyššie uvedenú maticu na formu riadok-echalon

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Tu len dva riadky obsahujú nenulové prvky. Preto je poradie matice 2.

Implementácia

  • Na konverziu matice do redukovanej formy riadkov sme použili balík Sympy v pythone, najprv ho musíme nainštalovať.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Výkon: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>