V tomto článku budeme študovať o analýze Fourierovej transformácie alebo Fourierovej transformácii v analýze obvodov. Fourierova transformácia je v podstate matematická operácia, ktorá rozkladá signál na jeho frekvenčné zložky. Jednoducho povedané, prevádza signál z časovej oblasti do frekvenčnej oblasti. Časová doména bude reprezentovať signál ako funkciu času, zatiaľ čo frekvenčná doména reprezentuje signál ako funkciu frekvencie.

Fourierova transformácia

Fourierova transformácia je úžasný výkonný nástroj na analýzu správania rôznych druhov obvodov, pretože nám umožňuje vidieť, ako obvod reaguje na rôznych frekvenciách. To je užitočné pre rôzne druhy úloh, ako napríklad:

• Analýza odozvy obvodu na ľubovoľné vstupné signály: To sa dá ľahko použiť na navrhovanie obvodov, ktoré dokážu spracovať obrovský rozsah vstupných signálov, ako sú audio signály alebo video signály.
• Identifikácia rezonančných frekvencií obvodu: Rezonančné frekvencie sú frekvencie, pri ktorých obvod zosilní signály. Tieto informácie možno použiť na návrh obvodov, ktoré by mali pracovať na špecifických frekvenciách, ako sú filtre alebo oscilátory.
• Navrhovanie filtrov na odstránenie nežiaducich frekvenčných zložiek zo signálu: Filtre možno väčšinou použiť na odstránenie šumu alebo rušenia zo signálu, alebo na extrakciu špecifických frekvenčných zložiek z konkrétneho signálu.
• Pochopenie stability obvodu: Stabilný obvod je taký, ktorý jednoducho nebude oscilovať ani divergovať. Fourierova transformácia sa môže použiť na analýzu stability obvodu jednoduchým pohľadom na frekvenčnú odozvu obvodu.

Fourierova transformácia sa používa aj v mnohých iných oblastiach, vrátane spracovania signálu, spracovania obrazu a kvantovej mechaniky.

V tomto článku budeme diskutovať o nasledujúcich témach, ktoré súvisia s Fourierovou transformáciou v analýze obvodov:

• Typy Fourierových transformácií
• Vlastnosti Fourierovej transformácie
• Aplikácie Fourierovej transformácie v obvodovej analýze

Budeme tiež diskutovať o príkladoch, ako aj o ilustráciách, ktoré pomôžu správne pochopiť pojmy.

Pochopenie dôvodu evolúcie

Fourierovu transformáciu prvýkrát vyvinul známy francúzsky matematik Jean-Baptiste Joseph Fourier na začiatku 19. storočia. Hlboko sa zaujímal o riešenie rovnice vedenia tepla, ktorá je parciálnou diferenciálnou rovnicou. Fourier si uvedomil, že rovnicu by mohol vyriešiť jednoduchým rozkladom počiatočnej distribúcie teploty na jej sínusové a kosínusové vlny.

Fourierova transformácia bola odvtedy aplikovaná na širokú škálu problémov vo fyzike a inžinierstve, ktoré zahŕňajú analýzu obvodov. V obvodovej analýze môže byť Fourierova transformácia použitá na analýzu odozvy obvodu na ľubovoľné vstupné signály.

Účinky Fourierovej transformácie

Fourierova transformácia má veľký počet dôležitých účinkov na analýzu obvodov. V prvom rade nám umožňuje analyzovať odozvu obvodu na ľubovoľné vstupné signály. Po druhé, umožňuje nám identifikovať rezonančné frekvencie obvodu. Po treťom nám to umožňuje navrhnúť filtre, ktoré sa používajú na odstránenie nežiaducich frekvenčných zložiek zo signálu.

Vzorec Fourierovej transformácie

Fourierova transformácia signálu x(t) je označená X(f) a je definovaná takto:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Tu f je frekvencia v parametri Hertz.

Zápis použitý vo vzorci Fourierovej transformácie je:

• x(t) je signál v časovej doméne.
• X(f) je signál vo frekvenčnej doméne.
• j je imaginárna jednotka.
• e −j2πft je komplexná exponenciálna funkcia.

Typy Fourierovej transformácie

Existujú hlavne dva typy Fourierových transformácií:

• Spojitá Fourierova transformácia (CFT)
• Diskrétna Fourierova transformácia (DFT) .

Kontinuálna Fourierova transformácia (CFT)

CFT je definovaný pre signály so spojitým časom, čo sú v podstate signály, ktoré môžu kedykoľvek nadobudnúť akúkoľvek hodnotu.

Spojitá Fourierova transformácia (CFT) signálu x(t) môže byť definovaná takto:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

kde f je frekvencia v Hertzoch.

Zápis použitý vo vzorci CFT je:

• x(t) je signál časovej domény.
• X(f) je signál vo frekvenčnej doméne.
• j je imaginárna jednotka.
• e −j2πft je komplexná exponenciálna funkcia.

Odvodenie CFT

CFT možno ľahko odvodiť z Fourierovho radu periodického signálu. Fourierov rad periodického signálu x(t) s periódou T je daný:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Tu Cn sú Fourierove koeficienty signálu.

CFT možno získať jednoduchým zobratím limitu Fourierovho radu, keď sa perióda T blíži k nekonečnu. V tomto limite sa Fourierove koeficienty stávajú spojitými funkciami frekvencie a Fourierova séria sa stáva CFT.

Diskrétna Fourierova transformácia (DFT)

DFT je definovaný pre signály s diskrétnym časom, čo sú signály, ktoré môžu nadobudnúť určité hodnoty iba v určitých určitých časoch.

Diskrétnu Fourierovu transformáciu (DFT) signálu s diskrétnym časom x[n] možno definovať takto:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Tu k je frekvenčný index a N je dĺžka konkrétneho signálneho signálu.

Zápis použitý vo vzorci DFT je:

menu nastavení telefónu s Androidom

• x[n] je signál v diskrétnom čase.
• X[k] je signál vo frekvenčnej doméne.
• j je imaginárna jednotka.
• e −j2πkn/N
• je komplexná exponenciálna funkcia.

Odvodenie DFT

Jednoducho povedané, CFT je v podstate definovaný pre signály so spojitým časom , zatiaľ čo DFT je definovaný pre signály v diskrétnom čase . DFT sa väčšinou používa ako typ Fourierovej transformácie pri analýze obvodov, ako väčšina elektronických obvodov, ktoré pracujú na signáloch s diskrétnym časom.

DFT signálu v diskrétnom čase x[n] je označený X[k] a je definovaný takto:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Tu k je frekvenčný index a N je dĺžka signálu.

DFT možno odvodiť z CFT jednoduchým vzorkovaním CFT na diskrétnych frekvenciách:

X[k] = X(f = k/N)>

Príklady Fourierovej transformácie s diagramom

Zoberme si nasledujúci príklad obvodu:

Jednoduchý RC obvod

Vstupom do obvodu je štvorcová vlna a výstupom je filtrovaná štvorcová vlna. Kde Fourierova transformácia vstupnej štvorcovej vlny je séria impulzov na harmonických frekvenciách. Fourierova transformácia výstupnej štvorcovej vlny je séria oslabených impulzov na harmonických frekvenciách.

Tu je nasledujúci diagram, ktorý ukazuje Fourierove transformácie vstupných a výstupných signálov:

Fourierova transformácia Vstup Výstup

Vlastnosti

Fourierova transformácia má množstvo dôležitých vlastností, medzi ktoré patria:

• Fourierova transformácia reálneho signálu je konjugovaná symetrická.
• Fourierova transformácia lineárnej kombinácie signálov je lineárna kombinácia Fourierových transformácií jednotlivých signálov.
• Fourierova transformácia časovo posunutého signálu je frekvenčne posunutý signál.
• Fourierova transformácia frekvenčne posunutého signálu je časovo posunutý signál.

Charakteristika

Fourierova transformácia signálu má tieto vlastnosti:

• Veľkosť Fourierovej transformácie signálu bude predstavovať amplitúdu frekvenčných zložiek signálu.
• Fáza Fourierovej transformácie signálu bude predstavovať fázu frekvenčných zložiek signálu.

Aplikácie

Fourierova transformácia má obrovské množstvo aplikácií v analýze obvodov, medzi ktoré patria:

• Analýza danej odozvy obvodu na ľubovoľné vstupné signály.
• Identifikácia rezonančných frekvencií obvodu.
• Navrhovanie filtrov na odstránenie nežiaducich frekvenčných zložiek zo signálu.

Výhody a nevýhody

Niektoré z výhod a nevýhod Fourierovej transformácie sú:

odovzdať reťazec do int java

Výhody:

• Fourierova transformácia je najsilnejší nástroj na analýzu frekvenčnej odozvy obvodov.
• Môže sa použiť na navrhovanie filtrov na odstránenie nežiaducich frekvenčných zložiek zo signálu.

Nevýhody:

• Fourierova transformácia môže byť oveľa zložitejšia na pochopenie a použitie.
• Výpočet Fourierovej transformácie môže byť výpočtovo nákladnejší.

Rozdiel medzi Laplaceovou transformáciou a Fourierovou transformáciou

Fourierova transformácia je v podstate podobná Laplaceovej transformácii, ale existuje niekoľko kľúčových rozdielov. V tom, že Fourierova transformácia je definovaná pre signály so spojitým časom, stredná hodnota, zatiaľ čo Laplaceova transformácia je definovaná pre signály so spojitým aj diskrétnym časom. Okrem toho Fourierova transformácia nie je vhodná na analýzu prechodných signálov, zatiaľ čo Laplaceova transformácia je v nej užitočná.

Dopredná a inverzná Fourierova transformácia

Dopredná Fourierova transformácia môže konvertovať signál z časovej oblasti do frekvenčnej oblasti. Inverzná Fourierova transformácia by mala konvertovať signál z frekvenčnej oblasti do časovej oblasti.

Inverzná Fourierova transformácia je definovaná takto:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Dopredná sínusová transformácia a Fourierova kosínusová transformácia

Dopredná sínusová transformácia a dopredná kosínusová transformácia sú v podstate dva varianty Fourierovej transformácie. Dopredná sínusová transformácia je definovaná takto:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Dopredná kosínusová transformácia je definovaná takto:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Dopredná sínusová transformácia a dopredná kosínusová transformácia sú veľmi užitočné na analýzu signálov s párnou a nepárnou symetriou.

Záver

Celkovo je Fourierova transformácia najdôležitejším nástrojom pre analýzu obvodov. Poskytuje nám povolenie pochopiť, ako obvody reagujú na rôzne frekvencie, čo je dôležitejšie pre návrh a analýzu elektronických obvodov. Fourierova transformácia má iný druh aplikácií v analýze obvodov, vrátane analýzy odozvy obvodu na ľubovoľné vstupné signály, identifikácie rezonančných frekvencií daného obvodu, navrhovania filtrov na odstránenie nežiaducich frekvenčných komponentov zo signálu a pochopenia stability obvodu. obvod.

Fourierova transformácia sa používa aj v mnohých iných oblastiach, ktoré zahŕňajú spracovanie signálu, spracovanie obrazu a kvantovú mechaniku. Je to veľmi všestranný a výkonný nástroj so širokou škálou aplikácií.

Tu je niekoľko ďalších vedomých myšlienok o dôležitosti Fourierovej transformácie v analýze obvodov:

príkaz java if else

• Fourierova transformácia nám jednoducho umožňuje analyzovať lineárne a nelineárne obvody.
• Fourierova transformácia môže byť použitá na analýzu rôznych druhov obvodov v časovej alebo frekvenčnej oblasti.
• Fourierova transformácia môže byť použitá na analýzu obvodov s viacerými vstupmi a výstupmi.
• Fourierova transformácia môže byť použitá na analýzu obvodov so spätnoväzbovými slučkami.

Fourierova transformácia je výkonný nástroj, ktorý možno použiť na analýzu širokej škály problémov s obvodmi. Je to nevyhnutný nástroj pre každého inžiniera obvodov.

často kladené otázky

1. Aký je rozdiel medzi Fourierovou transformáciou a Laplaceovou transformáciou?

Laplaceovo použitie pre CFT aj DFT, ale nie pre Fourierovu transformáciu

2. Prečo je Fourierova transformácia dôležitá pri analýze obvodov?

Fourierova transformácia je dôležitejšia pri analýze obvodov len preto, že nám umožňuje analyzovať frekvenčnú odozvu obvodov. Frekvenčná odozva

3. Aké sú niektoré aplikácie Fourierovej transformácie v analýze obvodov?

Fourierova transformácia môže byť použitá pre rôzne úlohy v obvodovej analýze, ako napríklad:

Analýza odozvy obvodu na ľubovoľné vstupné signály.

Identifikácia rezonančných frekvencií obvodu.

Navrhovanie filtrov na odstránenie nežiaducich frekvenčných zložiek zo signálu.

Pochopenie stability obvodu.