Matematická indukcia je pojem v matematike, ktorý sa používa na dokazovanie rôznych matematických tvrdení a teorémov. Princíp matematickej indukcie sa niekedy označuje ako PMI. Je to technika, ktorá sa používa na dokazovanie základných teorémov v matematike, ktoré zahŕňajú riešenie až n konečných prirodzených pojmov.

Princíp matematickej indukcie je široko používaný pri dokazovaní rôznych tvrdení, ako je súčet prvého n prirodzené čísla je daný vzorcom n(n+1)/2. To sa dá ľahko dokázať pomocou princípu matematickej indukcie.

V tomto článku sa podrobne dozvieme o princípe matematickej indukcie, jej výroku, príklade a iných.

Obsah

• Čo je to matematická indukcia?
• Princíp matematickej indukcie
• Kroky matematickej indukcie
• Príklad matematickej indukcie

Čo je to matematická indukcia?

Matematická indukcia je jednou zo základných metód písania dôkazov a používa sa na dokázanie daného tvrdenia o akejkoľvek dobre organizovanej množine. Vo všeobecnosti sa používa na preukázanie výsledkov alebo stanovenie vyhlásení, ktoré sú formulované v zmysle n , kde n je prirodzené číslo.

Predpokladajme, že P(n) je tvrdenie pre n prirodzeného čísla, potom ho možno dokázať pomocou princípu matematickej indukcie, Najprv dokážeme pre P(1), potom nech platí P(k) a potom dokážeme pre P(k+1) . Ak platí P(k+1), potom hovoríme, že P(n) je pravdivé podľa princípu matematickej indukcie.

Matematickú indukciu môžeme prirovnať k padajúcemu domino. Keď domino padne, zrazí ďalšie domino za sebou. Prvá domino zrazí druhú, druhá tretiu a tak ďalej. Na konci budú všetky kocky domina prehodené. Je však potrebné splniť niekoľko podmienok:

• Základným krokom je, že štartovacie domino musí padnúť, aby sa spustil proces klepania.
• Vzdialenosť medzi domino musí byť rovnaká pre akékoľvek dve susedné domino. V opačnom prípade môže určitá domino spadnúť bez toho, aby sa prehádzalo po ďalšej. Potom sa sled reakcií zastaví. Udržiavanie rovnakej vzdialenosti medzi domino zaisťuje, že P(k) ⇒ P(k + 1) pre každé celé číslo k ≥ a. Toto je indukčný krok.

Princíp matematickej indukcie

Akékoľvek tvrdenie P(n), ktoré je pre n prirodzeného čísla, možno dokázať pomocou princípu matematickej indukcie podľa nasledujúcich krokov:

Krok 1: Overte, či je tvrdenie pravdivé pre triviálne prípady ( n = 1) t.j. skontrolujte, či je P(1) pravdivé.

Krok 2: Predpokladajme, že tvrdenie je pravdivé pre n = k pre nejaké k ≥ 1, t.j. P(k) je pravdivé.

Krok 3: Ak pravdivosť P(k) implikuje pravdivosť P(k + 1), potom tvrdenie P(n) platí pre všetkých n ≥ 1 .

Obrázok pridaný nižšie obsahuje všetky kroky matematickej indukcie

Prvým tvrdením je fakt a ak nie je možné, aby všetky P(n) platili pri n = 1, potom tieto tvrdenia platia pre niektoré ďalšie hodnoty n, napríklad n = 2, n = 3 a iné.

Ak je tvrdenie pravdivé pre P(k), potom ak sa preukáže, že P(k+1) je pravdivé, potom hovoríme, že P(n) platí pre všetky n patriace do prirodzených čísel (N)

Kroky matematickej indukcie

Rôzne kroky používané v matematickej indukcii sú pomenované podľa toho. Názvy rôznych krokov používaných v princípe matematickej indukcie sú:

• Základný krok: Dokážte, že P(k) platí pre k =1
• Krok predpokladu: Nech P(k) platí pre všetky k v N ak> 1
• Indukčný krok: Dokážte, že P(k+1) je pravdivé pomocou základných matematických vlastností.

Ak sú vyššie uvedené tri kroky dokázané, môžeme povedať, že podľa princípu matematickej indukcie platí P(n) pre všetky n patriace do N.

Príklad matematickej indukcie

Matematická indukcia sa používa na dôkaz rôznych tvrdení, ktoré sa môžeme naučiť pomocou nasledujúceho príkladu.

Pre každé kladné celé číslo n dokážte, že n³+ 2n je vždy deliteľné 3

Riešenie:

Nech P(n): n³+ 2n je v danom výroku deliteľné 3.

Krok 1: Základný krok

Najprv dokážeme, že P(1) platí. Nech n = 1 v n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Keďže 3 je deliteľné 3. P(1) teda platí.

Krok 2: Krok predpokladu

Predpokladajme, že P(k) je pravdivé

Potom, k³+ 2k je deliteľné 3

Môžeme to teda napísať ako k³+ 2k = 3n, (kde n je akékoľvek kladné celé číslo)….(i)

java int ako reťazec

Krok 3: Indukčné kroky

Teraz musíme dokázať, že algebraický výraz (k + 1)³+ 2 (k + 1) je deliteľné 3

= (k + 1)³+ 2 (k + 1)

= k³+ 3 tis²+ 5 tisíc + 3

= (k³+ 2 k) + (3 k²+ 3 000 + 3)

z rovnice (i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Keďže je to násobok 3, môžeme povedať, že je deliteľné 3.

P(k+1) je teda pravdivé, t.j. (k + 1)³+ 2(k + 1) je deliteľné 3. Teraz podľa princípu matematickej indukcie môžeme povedať, že P(n): n³+ 2n je deliteľné 3 je pravda.

Čítaj viac,

• Aritmetický postup
• Geometrická progresia

Riešené príklady matematickej indukcie

Príklad 1: Pre všetky n ≥ 1 dokážte, že 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Riešenie:

Nech je daný výrok P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Teraz zoberme kladné celé číslo k a predpokladajme, že P(k) je pravdivé, t.j.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Teraz dokážeme, že P(k + 1) je tiež pravdivé, takže teraz máme,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

P(k + 1) teda platí vždy, keď P(k) platí pre všetky prirodzené čísla. Procesom matematickej indukcie teda daný výsledok platí pre všetky prirodzené čísla.

Príklad 2: Pre všetky n ≥ 1 dokážte, že 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Riešenie:

Nech je daný výrok S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Teraz zoberme kladné celé číslo k a predpokladajme, že S(k) je pravdivé, t.j.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Teraz dokážeme, že S(k + 1) je tiež pravdivé, takže teraz máme,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

S(k + 1) je teda pravdivé vždy, keď S(k) platí pre všetky prirodzené čísla. A na začiatku sme ukázali, že S(1) platí, teda S(n) platí pre všetky prirodzené čísla.

Príklad 3: Pre všetky n ≥ 1 dokážte, že 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Riešenie:

Nech je daný výrok S(n),

a S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Pre n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²S(1) teda platí.

Teraz zoberme kladné celé číslo k a predpokladajme, že S(k) je pravdivé, t.j.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Teraz dokážeme, že S(k + 1) je tiež pravdivé, takže teraz máme,

učiť selén

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + .... (2k – 1) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2 000 + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

S(k + 1) je teda pravdivé vždy, keď S(k) platí pre všetky prirodzené čísla. A na začiatku sme ukázali, že S(1) platí, teda S(n) platí pre všetky prirodzené čísla.

Príklad 4: Pre všetky n ≥ 1 dokážte, že 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Riešenie:

Nech je daný výrok S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Teraz zoberme kladné celé číslo k a predpokladajme, že S(k) je pravdivé, t.j.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Teraz dokážeme, že S(k + 1) je tiež pravdivé, takže teraz máme,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

S(k + 1) je teda pravdivé vždy, keď S(k) platí pre všetky prirodzené čísla. A na začiatku sme ukázali, že S(1) platí, teda S(n) platí pre všetky prirodzené čísla.

Príklad 5: Dokážte a _n = a ₁ + (n – 1) d, je všeobecný pojem akejkoľvek aritmetickej postupnosti.

Riešenie:

Pre n = 1 máme a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, takže vzorec platí pre n = 1,

Predpokladajme, že vzorec a_k= a₁+ (k – 1) platí pre všetky prirodzené čísla.

Teraz dokážeme, že vzorec platí aj pre k+1, takže teraz máme,

a_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Predpokladali sme, že a_k= a₁+ (k – 1) d, a podľa definície aritmetickej postupnosti a_{k+ 1}– a_k= d,

Potom_{k + 1}– a_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁– a₁+ kd – kd + d
= d

Vzorec teda platí pre k + 1, kedykoľvek platí pre k. A na začiatku sme ukázali, že vzorec platí pre n = 1. Vzorec teda platí pre všetky prirodzené čísla.

Často kladené otázky o matematickej indukcii

Čo je princíp matematickej indukcie?

Princíp matematickej indukcie je princíp, ktorý hovorí, že pre akýkoľvek výrok P(n), ak je pravdivý pre ľubovoľnú hodnotu 'a', ak je P(a) pravdivé a ak P(k) považujeme za pravdivé, potom dokázaním P( aby k+1) platilo, môžeme dokázať, že P(n) platí pre všetky n ≥ a, an patriace prirodzeným číslam.

Aké je využitie matematickej indukcie?

Matematická indukcia je základným princípom používaným v matematike na dokázanie základných tvrdení v matematike, ktoré sa nedajú ľahko dokázať inými prostriedkami.

Aký je princíp matematickej indukcie v maticách?

Princíp matematickej indukcie v maticách je základným princípom, ktorý sa používa na dokazovanie základných tvrdení v maticách, ktoré sa nedajú ľahko dokázať inými prostriedkami.

Ako aplikovať princíp matematickej indukcie?

Princíp matematickej indukcie sa používa na dôkaz matematických tvrdení, predpokladajme, že musíme dokázať tvrdenie P(n), potom sa použijú tieto kroky:

Krok 1: Dokážte, že P(k) platí pre k =1

Krok 2: Nech P(k) platí pre všetky k v N ak> 1

Krok 3: Dokážte, že P(k+1) je pravdivé pomocou základných matematických vlastností.

Ak je teda P(k+1) pravdivé, potom hovoríme, že P(n) je pravdivé.

Aké sú kroky na vyriešenie problému pomocou matematickej indukcie?

Pri matematickej indukcii sa používajú tri základné kroky

• Základný krok
• Krok predpokladu
• Indukčný krok