Aritmetická progresia, tiež známa ako A.P., je sekvencia v matematike, kde je rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi pojmami konštantný. Konštanta je známa ako spoločný rozdiel. Aritmetický postup je postupnosť čísel v poradí, v ktorej je rozdiel medzi akýmikoľvek dvoma po sebe idúcimi číslami konštantná hodnota.

V tomto článku sa podrobne dozvieme o definícii aritmetickej progresie, vzorcoch aritmetickej progresie, súvisiacich príkladoch a ďalších.

ascii v jazyku java

Obsah

• Čo je aritmetická progresia?
• Zápisy v aritmetickom postupe
• Bežný rozdiel aritmetickej progresie
• Prvý termín aritmetického postupu
• N-tý člen aritmetického postupu
• Súčet aritmetickej progresie
• Vzorec aritmetického postupu (AP vzorce)

Čo je aritmetická progresia?

Aritmetická progresia (AP) je postupnosť čísel, v ktorej je rozdiel medzi dvoma po sebe idúcimi číslami konštantná hodnota. Inými slovami, aritmetická progresia môže byť definovaná ako Matematická postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi vždy konštantný.

Napríklad série čísel: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... sú v aritmetickej postupnosti, ktorá má spoločný rozdiel (d) medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi (povedzme 1 a 2) rovný 1 (2 – 1). Je možné vidieť spoločný rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi, dokonca aj pre nepárne čísla a párne čísla, ktorým sa rovná 2. V AP sú tri hlavné pojmy spoločný rozdiel (d), n-tý pojem (a_n) a súčet prvých n členov (S_n); všetky tri pojmy predstavujú vlastnosti AP. Pozrime sa podrobne na to, aký je spoločný rozdiel,

V AP sa stretávame s rôznymi slovami ako sekvencia, séria a progresia; teraz sa pozrime, čo každé slovo definuje,

• Sekvencia je konečný alebo nekonečný zoznam čísel, ktorý sa riadi určitým vzorom. Napríklad 0, 1, 2, 3, 4, 5… je postupnosť, ktorá je nekonečnou postupnosťou celých čísel.

• séria je súčet prvkov, ktorým sekvencia zodpovedá. Napríklad 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. je rad prirodzených čísel. Každé číslo v postupnosti alebo rade sa nazýva termín. Tu je 1 termín, 2 je termín, 3 je termín atď.

• Progresia je postupnosť, v ktorej môže byť všeobecný výraz vyjadrený pomocou matematického vzorca alebo postupnosti, ktorá používa matematický vzorec, ktorý možno definovať ako postupnosť.

Poznámka: Existujú hlavne tri typy progresie:

1. Aritmetická progresia (AP)
2. Geometrická progresia (GP)
3. Harmonická progresia (HP)

Zápisy v aritmetickom postupe

V aritmetickej postupnosti sa stretneme s nasledujúcimi zápismi:

• Prvý termín ⇢ a
• Spoločný rozdiel ⇢ d
• N-té obdobie ⇢ a _n
• Súčet prvých n pojmov ⇢ S _n

Všeobecná forma aritmetického postupu je a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Tu je niekoľko príkladov AP:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Bežný rozdiel aritmetickej progresie

Spoločný rozdiel sa označuje d v aritmetickej progresii. Je to rozdiel medzi nasledujúcim obdobím a tým pred ním. Pre aritmetickú progresiu je vždy konštantná alebo rovnaká. Jedným slovom, ak je spoločný rozdiel konštantný v určitej postupnosti, môžeme povedať, že toto je A.P. Ak je postupnosť_1,a₂, a₃, a₄, a tak ďalej.

Inými slovami, spoločný rozdiel v aritmetickej progresii je označený d. Rozdiel medzi nasledujúcim obdobím a predchádzajúcim obdobím. Pre aritmetickú postupnosť je vždy konštantná alebo rovnaká. Inými slovami, môžeme povedať, že v danej postupnosti, ak je spoločný rozdiel konštantný alebo rovnaký, potom môžeme povedať, že daná postupnosť je v Aritmetická progresia (AP).

Vzorec na nájdenie spoločného rozdielu je,

d = (a _{n + 1} – a _n ) = (a _n – a _n-1 )

• Ak je spoločný rozdiel pozitívny, potom AP sa zvyšuje . Napríklad 4, 8, 12, 16… v týchto sériách sa AP zvyšuje

• Ak je spoločný rozdiel záporný, potom AP klesá . Napríklad -4, -6, -8…, tu AP klesá.

• Ak je spoločný rozdiel nula, potom AP bude konštantné . Napríklad 1, 2, 3, 4, 5…, tu je AP konštantné.

Postupnosť aritmetického postupu bude ako a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Bežný rozdiel (d) = a ₂ – a ₁ = d

a ₃ – a ₂ = d

a ₄ – a ₃ = d a tak ďalej.

Prvý termín aritmetického postupu

Aritmetickú progresiu možno zapísať z hľadiska spoločného rozdielu (d) ako:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

kde,

• a je prvé funkčné obdobie AP
• d je bežný rozdiel AP

N-tý člen aritmetického postupu

N-tý člen možno nájsť pomocou vzorca uvedeného nižšie,

url vs

T _n = a + (n - 1)d

kde,

• a je prvý termín AP
• d je spoločný rozdiel
• n je počet termínov
• T_nje n-tý termín

N-tý člen aritmetického postupu

Poznámka: Správanie aritmetickej postupnosti je založené na hodnote spoločného rozdielu.

• Ak je d kladné, členy sa zvýšia do kladného nekonečna.
• Ak je d záporné, členy členov rastú do záporného nekonečna

Súčet aritmetickej progresie

Vzorec súčtu aritmetického postupu je vysvetlené nižšie; zvážte AP pozostávajúce z n členov.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Súčet aritmetického postupu, keď je zadaný prvý a posledný výraz,

S = n/2 (prvý termín AP + posledný termín AP)

S = N/2[a+ a _n ]

Vzorec aritmetického postupu (AP vzorce)

Pre AP s prvým výrazom „a“ a spoločným rozdielom „d“ sú jeho rôzne vzorce:

• Spoločný rozdiel AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1

• n-té obdobie AP: a _n = a + (n – 1)d

• Súčet n podmienok AP: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , kde l je posledný člen aritmetickej postupnosti.

Zhrnutie aritmetického postupu

• Aritmetická progresia (AP) je postupnosť čísel, v ktorej je rozdiel medzi akýmikoľvek dvoma po sebe idúcimi číslami konštantná hodnota. Napríklad séria čísel: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Všeobecná forma aritmetickej progresie je a, a + d, a + 2d, a + 3d …

• Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je a _n = a + (n – 1)d

• Súčet prvých n členov alebo vzorec aritmetického súčtu je S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Článok súvisiaci s aritmetickým postupom:

• Sumačný vzorec
• Súčet prirodzených čísel
• Aritmetická progresia a geometrická progresia

Príklady aritmetického postupu

Príklad 1: Nájdite AP, ak je prvý výraz 15 a spoločný rozdiel je 4.

Riešenie:

Ako vieme,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Tu a = 15 a d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …a tak ďalej.

Takže AP je 15, 19, 23, 27, 31…

Príklad 2: Nájdite 20. člen pre daný AP: 3, 5, 7, 9, …

Riešenie:

Dané, 3, 5, 7, 9, 11……

Tu,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

a_n= a + (n - 1)d

a_dvadsať= 3 + (20-1)2

a_dvadsať= 3 + 38

a_dvadsať= 41

inicializácia pružiny

Tu je 20. termín a_dvadsať= 41

Príklad 3: Nájdite súčet prvých 20 násobkov 5.

Riešenie:

Prvých 20 násobkov 5 je 5, 10, 15, … 100.

Tu je jasné, že vytvorená postupnosť je aritmetickou postupnosťou, kde

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Cvičné otázky o aritmetickom postupe

Q1. Súčet prvých nn členov aritmetickej progresie je daný S _n = 3n ² + 2n. Nájdite spoločný rozdiel a prvý výraz.

Q2. Prvý člen aritmetického postupu je 7 a 11. člen je 31. Nájdite súčet prvých 11 členov.

Q3. V aritmetickej postupnosti je súčet prvých 10 členov 150 a súčet ďalších 10 členov je 550. Nájdite prvý člen a spoločný rozdiel.

Q4. Ak je 4. člen aritmetického postupu 10 a 9. člen je 25, nájdite 15. člen.

Q5. Aritmetická postupnosť má spoločný rozdiel 5. Ak je 6. člen 22, nájdite prvý člen a súčet prvých 12 členov.

Časté otázky o aritmetickom postupe

Čo je aritmetická progresia s príkladom?

Aritmetická progresia je postupnosť čísel, kde dva po sebe idúce pojmy majú spoločný rozdiel. Napríklad: 3, 6, 9, 12, 15,…

Ako zistíte súčet aritmetickej progresie?

Na nájdenie súčtu aritmetického postupu je možné použiť nasledujúce vzorce na základe poskytnutých informácií:

java tutoriál

S = n/2 (prvý termín AP + posledný termín AP) = n/2[a+ a _n ]

Aký je rozdiel medzi aritmetickým postupom a aritmetickým radom?

Aritmetická progresia je počet sekvencií v akomkoľvek rozsahu, ktorý poskytuje spoločný rozdiel. Zatiaľ čo aritmetický rad / postupnosť je súčtom všetkých členov prítomných v aritmetickej progresii.

Aký je vzorec pre AP a GP?

Vzorec pre AP a GP je:

• AP: a _n = a + (n – 1).d
• GP: a _n = a.r

Aké je použitie aritmetického postupu?

Aritmetická progresia je séria, ktorá dáva spoločný rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi výrazmi. Používa sa v každodennom živote na zovšeobecnenie súboru vzorov. Napríklad pri čakaní na autobus predpokladajme, že sa autobusy pohybujú konštantnou rýchlosťou, pomocou AP môžete zistiť, kedy autobus dorazí. AP možno použiť aj pri vytváraní štruktúr podobných pyramíde atď.