Kolmé čiary v matematike sú dvojice čiar, ktoré sa vždy pretínajú v pravom uhle, t.j. kolmé čiary sú vždy pretínajúce sa čiary, ktoré sa pretínajú pod uhlom 90°. Kolmé čiary sú pre nás dobre viditeľné, rohy stien, rohy stola a iné predstavujú rovnobežnú čiaru. Pre kolmé čiary hovoríme, že sa navzájom pretínajú v pravom uhle. Najkratšia vzdialenosť medzi dvoma čiarami je daná pomocou kolmej vzdialenosti medzi nimi, t. j. kolmá čiara medzi dvoma bodmi udáva najkratšiu vzdialenosť medzi nimi.

V tomto článku sa podrobne dozvieme o kolmých čiarach, ich vlastnostiach a iných.

Obsah

• Čo sú to kolmé čiary?
• Vlastnosti kolmých čiar
• Sklon kolmých čiar
• Vzorec kolmých čiar
• Ako nakresliť kolmé čiary?
• Rovnica kolmej čiary

Čo je kolmá?

Kolmica je definovaná ako priamka, ktorá tvorí a pravý uhol s ďalším riadkom. Inými slovami, kolmá čiara znamená čiary, ktoré zvierajú uhol 90 stupňov. Najkratšia vzdialenosť medzi bodom a čiarou je kolmá čiara medzi nimi. Kolmica tvorí s druhou čiarou uhol 90 stupňov. Čiary AB a PQ, ako je znázornené na obrázku nižšie, sú na seba kolmé, pretože sa navzájom pretínajú pod uhlom 90 stupňov.

Čiara AB a CD pridaná na obrázku nižšie ukazuje dve kolmé čiary.

Čo sú to kolmé čiary?

Kolmé čiary znamenajú čiary, ktoré sa navzájom pretínajú pod uhlom rovnajúcim sa 90 stupňom, t. j. ak sa dve čiary stretávajú v pravom uhle, nazývajú sa kolmé čiary. Zoberme si obrázok pridaný nižšie, priamka l a priamka m sa pretínajú v bode O a uhol, ktorý zvierajú, je 90 stupňov.

Môžeme teda povedať, že l je priamka kolmá na priamku m alebo priamka m je kolmá na priamku l. Túto podmienku reprezentujeme ako, l ⊥ m. Teraz je každá priamka rovnobežná s priamkou l kolmá na priamku m. Najkratšia vzdialenosť medzi bodom a čiarou je vždy kolmá vzdialenosť medzi nimi.

Poznámka: Nie všetky pretínajúce sa čiary sú kolmé čiary, ale všetky kolmé čiary sú pretínajúce sa čiary.

Kolmé znamenie

Kolmé čiary sú znázornené pomocou symbolu „⊥“. Ak sú priamky l a m na seba kolmé, t. j. pretínajú sa pod uhlom 90 stupňov, potom sa nazývajú kolmé čiary a sú znázornené ako l ⊥ m. Priesečník sa nazýva päta kolmice.

Kolmé tvary

V našom každodennom živote môžeme okolo seba vidieť predkolomé tvary. V kolmých tvaroch sú tvary, v ktorých je aspoň jeden uhol 90°. Rôzne tvary, ktoré majú kolmé čiary (kolmé tvary), sú,

• Námestie
• Obdĺžnik
• Pravouhlý trojuholník

Vlastnosti kolmých čiar

Akékoľvek dve pretínajúce sa čiary, ktoré sa pretínajú pod uhlom 90 stupňov, sa nazývajú kolmé čiary. Kolmé čiary majú iné vlastnosti ako pretínajúce sa čiary a všeobecné vlastnosti pretínajúcich sa čiar sú,

• Kolmé čiary sú čiary, ktoré sa vždy navzájom pretínajú v pravom uhle.
• Ak sú dve čiary kolmé na tú istú čiaru, potom sú tieto dve čiary vždy navzájom rovnobežné.

Sklon kolmých čiar

Sklon akejkoľvek priamky je tan uhol tvorený priamkou s kladnou osou x a sklon v prípade kolmých priamok má medzi nimi osobitný vzťah.

Predpokladajme, že máme dve priamky PQ a RS, ktoré sú na seba kolmé. Teraz je sklon priamky PQ povedzme m₁a sklon priamky RS je povedzme m₂, potom sa súčin sklonov rovná -1. Vyhlásenie k tomu istému je,

vyhlásenie: Dve čiary sú na seba kolmé, ak súčin ich sklonu je -1.

To môže byť reprezentované ako,

m ₁ .m ₂ = -1

Vzorec kolmých čiar

Dva základné vzorce kolmých čiar sú diskutované nižšie,

Vyhlásenie 1: Súčin sklonu kolmej čiary so sklonom pôvodnej čiary je vždy -1 .

dôkaz:

Nech pôvodná čiara zviera s osou X uhol θ.

Potom bude čiara kolmá na čiaru zvierať uhol θ + 90° alebo θ – 90° s osou X.

Teraz je sklon pôvodnej čiary rovný tan θ

t ff

Sklon kolmej čiary sa rovná buď tan (θ + 90^O) alebo opálená (θ – 90^O)

tan (0 + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -postieľka i

Sklon kolmice je teda -cot θ

teraz

Súčin Slopes = tan θ × (-cot θ) = -1

Preto Dokázané

Vyhlásenie 2: Ak je rovnica priamky ax + by + c = 0

Potom rovnica priamky kolmej na danú priamku je,

– bx + ay + d = 0

kde, c a d sú akékoľvek konštantné hodnoty

dôkaz:

Priamková rovnica je ax + by + c = 0

Sklon linky je -a/b

Nech je sklon kolmice m

Vieme, že súčin sklonu dvoch kolmých čiar je -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Ak teraz kolmá čiara prechádza bodom (x₁, a₁), potom rovnica kolmice je,

(a – a₁) / (x – x₁) = b / a

a – a₁= (b / a) × (x – x₁)

je – je₁= bx – bx₁

– bx + je + (bx₁- je₁) = 0 {nech bx₁- je₁= d}

Požadovaná rovnica čiary je teda

– bx + ay + d = 0

Ako nakresliť kolmé čiary?

Dvojicu kolmice môžeme ľahko zostrojiť pomocou uhlomeru a kružidla.

Kreslenie kolmých čiar pomocou uhlomeru

Ak chcete nakresliť pár kolmých čiar, postupujte podľa krokov uvedených nižšie,

Krok 1: Najprv pomocou pravítka nakreslite na papier vodorovnú čiaru AB.

Krok 2: Označíme ľubovoľný bod P na priamke AB, z ktorého máme nakresliť kolmicu.

Krok 3: Umiestnite chránič na čiaru a priraďte stred chrániča k bodu P na čiare.

Krok 4: Označte 90-stupňový uhol pomocou chrániča.

Krok 5: Spojte čiaru pomocou ľubovoľného pravítka s uhlom 90 stupňov, aby ste získali pár kolmých čiar.

Kreslenie kolmej čiary pomocou kompasu

Nasledujú kroky na vytvorenie kolmých čiar pomocou kompasu

Krok 1: Nakreslite čiaru na papier pomocou pravítka

Krok 2: Vezmite bod na čiare a umiestnite naň ihlu kompasu.

Krok 3: Nakreslite oblúk (polkruh) na jednu stranu čiary.

Krok 4: Bez zmeny polomeru kružidla teraz umiestnite ihlu na jeden koniec priemeru polkruhu.

Krok 5: Polkruhový oblúk rozrežte dvakrát. Prvý rez predstavuje 60° a druhý rez 120°

Krok 6: Medzi prvým a druhým rezom je rozdiel 60°. Rozdeľte túto medzeru na polovicu pomocou kompasu bez zmeny jej polomeru.

Krok 7: Teraz spojte bod priesečníka 60 a 120 s bodom, o ktorom sa pôvodne predpokladalo, že nakreslíte polkruhový oblúk.

Krok 8: Takto nakreslená čiara je kolmá na počiatočnú čiaru.

Príklady kolmých čiar

Kolmé čiary sú čiary, ktoré sa vždy stretávajú pod uhlom 90 stupňov. Vidíme rôzne príklady paralelných čiar v reálnom živote, niektoré z nich sú,

• Rohy miestností sú na seba kolmé.
• Ručičky hodín predstavujú kolmé čiary na 3′ hodinách.
• Rohy stola a stola predstavujú kolmé čiary.

Kolmé a rovnobežné čiary

Kolmé čiary sú čiary, ktoré medzi sebou zvierajú uhol 90°, pričom rovnobežné čiary sú čiary, ktoré sú navzájom rovnobežné, to znamená, že sú od seba rovnako vzdialené a nikdy sa navzájom nepretínajú.

Poznámka: Parallel Lines sa stretávajú v Infinity .

Sklon rovnobežných a kolmých čiar

Sklon rovnobežných čiar je rovnaký, zatiaľ čo súčin sklonu kolmých čiar je -1.

Rovnice rovnobežných a kolmých priamok

Ak sú dve priamky rovnobežné, ich rovnica priamok je,

• ax + by + c = 0 a ax + by + d = 0

Zatiaľ čo rovnica dvoch kolmých je,

• ax + by + c = 0 a -bx + ax + d = 0

Čo sú paralelné čiary?

Rovnobežné čiary v geometrii sú definované ako čiary, ktoré sa navzájom nestretávajú v 2-D rovine, t.j. nikdy sa nepretínajú v 2-D rovine. Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami je vždy konštantná. Obrázok pridaný nižšie ukazuje dva páry rovnobežných čiar.

Priamky a, b, x a y sú navzájom rovnobežné.

Rozdiel medzi rovnobežnými a kolmými čiarami

Rovnobežné čiary vs kolmé čiary sú uvedené v tabuľke nižšie.

Rovnica kolmej čiary

Štandart rovnica priamky je ax + by + c = 0 a čiara kolmá na danú čiaru je daná pomocou,

-bx + ay + d = 0

kde, d je konštantná hodnota a jej hodnota sa zistí pomocou inej danej podmienky.

Sklon kolmej čiary

Predpokladajme, že dostaneme priamku, ktorej rovnica je v tvare y = mx + c a jej sklon je m, potom sklon priamky kolmej na danú priamku je,

Sklon kolmej čiary = -1/m

Ak je sklon dvoch priamok m₁a m₂potom vzťah medzi týmito dvoma svahmi je, m ₁ m ₂ = -1

Čítaj viac,

• Paralelné čiary
• Priečne čiary
• Vlastnosti rovnobežných čiar

Príklady kolmých čiar

Príklad 1: Sú priamky 3x + 2y + 5 = 0 a 2x – 3y + 8 = 0 kolmé?

Riešenie:

Sklon priamky ax + by + c = 0 je -a/b

• Sklon priamky 3x + 2y + 5 = 0 je m₁= – 3/2.
• Sklon priamky 2x – 3y + 8 = 0 je m₂= -2/(-3) = 2/3

Vieme, že čiary sú kolmé, ak majú sklony danú podmienku.

m₁× m₂= -1

Teraz z vyššie uvedenej podmienky,

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Súčin sklonov je -1 a teda čiary sú kolmé.

Príklad 2: Nájdite priamku kolmú na priamku x + 2y + 5 = 0 a prejdite bodom (2, 5).

Riešenie:

Vieme, že rovnica priamky kolmej na priamku ax + by + c = 0 je – bx + ay + d = 0.

Daná rovnica priamky je x + 2y + 5 = 0

Porovnaním priamky x + 2y + 5 = 0 s ax + by + c = 0 dostaneme,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Teda rovnica akejkoľvek priamky kolmej na túto priamku je – 2x + y + d = 0…(i)

Vzhľadom na to, že táto čiara prechádza cez (2, 5),

Do tejto rovnice kolmice teda vložte (2, 5).

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Dosadením hodnoty d do rovnice (i) dostaneme

-2x + y + (-1) = 0

Teda rovnica kolmice je -2x + y – 1 = 0

Príklad 3: Nájdite sklon priamky kolmej na priamku 3x + 9y + 7 = 0.

Riešenie:

Vzhľadom na to,

Rovnica priamky je 3x + 9y + 7 = 0

Sklon tejto priamky = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Nech sklon ine kolmice k nad čiare je m

Teraz pomocou vzorca s kolmou čiarou

m × (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Sklon priamky kolmej na danú priamku je teda 3.

Príklad 4: Nájdite uhol priamky kolmej na priamku x + y + 3 = 0.

Riešenie:

Daná čiara,

x + y + 3 = 0

Sklon danej priamky = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Predpokladajme, že sklon priamky kolmej na vyššie uvedenú priamku je m

Zo vzorca s kolmou čiarou,

m x -1 = - 1

⇒ m = 1

Uhol priamky kolmej na danú priamku je teda θ

m = tan 0

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Uhol, ktorý zviera kolmica s osou X, je teda 45°.

Problémy kolmej praxe

Q1. Nájdite uhol priamky kolmej na priamku 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Ak bodmi (11, –4) a (–1, 8) prechádza priamka a bodmi (8, 3) a (–1, -3) prechádza ďalšia priamka. Skontrolujte, či sú tieto čiary rovnobežné alebo kolmé.

Q3. Nájdite rovnicu pre priamku, ktorá je kolmá na 5x − 7y = 5 a prechádza bodom (-1, 8).

Q4. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej cez (2, 3) a kolmej na os x.

Kolmé čiary – často kladené otázky

Čo sú to kolmé čiary?

Ak sa dve pretínajúce sa čiary navzájom pretínajú v pravom uhle, t. j. pod uhlom 90 stupňov, potom sa tieto dve čiary nazývajú kolmé čiary.

Čo sú to rovnobežné a kolmé čiary?

Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré sa navzájom nestretávajú v 2-D rovine. Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami je vždy konštantná. Zatiaľ čo ak sa dve čiary stretnú pod uhlom 90 stupňov, potom sa tieto čiary nazývajú kolmé čiary.

Sú pretínajúce sa čiary vždy kolmé?

Nie, nie všetky pretínajúce sa čiary sú vždy kolmé, môžu a nemusia byť kolmé. Pretínajúce sa čiary sa môžu stretávať v rôznych uhloch.

Čo je podmienkou pre Sklon kolmých čiar?

Predpokladajme, že sklon dvoch čiar je m₁a m₂potom podmienka sklonov dvoch kolmých čiar je, m ₁ .m ₂ = -1

Koľko kolmých čiar je možné nakresliť na čiaru?

Môžeme nakresliť ľubovoľný počet kolmých čiar na čiaru, t.j. môžeme mať nekonečné množstvo kolmých čiar na akúkoľvek čiaru.

Kedy sú dve čiary kolmé?

Dve čiary sú kolmé, ak sa pretínajú pod uhlom 90°, t.j. kolmé čiary sa vždy pretínajú v pravom uhle.

Čo je to kolmý trojuholník?

Trojuholník, ktorý má uhol rovný 90°, sa nazýva kolmý trojuholník. Nazýva sa aj pravouhlý trojuholník.

Aké sú niektoré kolmé tvary?

Niektoré tvary, ktoré sa nazývajú kolmé tvary, sú tvary, ktoré majú v sebe aspoň jednu kolmicu. Rôzne príklady kolmých tvarov sú štvorec, obdĺžnik, pravouhlý trojuholník

Čo sú to kolmé uhly?

Uhly, ktoré sa rovnajú 90°, sa nazývajú kolmé uhly. Iný názov kolmých uhlov je Pravé uhly.

Čo je to kolmý symbol?

Symbol alebo znak, ktorý predstavuje kolmicu, je, ⟂. Tento symbol používame na znázornenie, či sú dve čiary kolmé. Napríklad, ak je napísané A⟂B, kde A a B sú dve čiary, potom čiara A je kolmá na čiaru B a naopak.

Ako zistíte, ktoré čiary sú kolmé?

Ak je uhol medzi dvoma čiarami 90°. Potom môžeme povedať, že tieto dve čiary sú kolmé. Ak je sklon týchto dvoch čiar uvedený ako, m₁, m₂potom použijeme vzorec kolmej čiary, aby sme zistili, či sú kolmé alebo nie. Vzorec kolmej čiary je, m₁.m₂= -1

Ako nájsť sklon kolmých čiar?

Sklon kolmých čiar možno ľahko vypočítať pomocou vzorca sklonu. Predpokladajme, že dostaneme čiaru, potom ju najprv prevedieme do štandardného tvaru a potom pomocou vzorca sklonu nájdeme sklon. Vzorec sklonu je, m = -b/a, kde a je koeficient x a b je koeficient y.