Permutácia a kombinácia sú najzákladnejšie pojmy v matematike a s týmito pojmami sa študentom predstavuje nový odbor matematiky, t. j. kombinatorika. Permutácia a kombinácia sú spôsoby usporiadania skupiny objektov ich výberom v špecifickom poradí a vytvorením ich podmnožín.

Na usporiadanie skupín údajov v určitom poradí sa používajú permutačné a kombinačné vzorce. Výber údajov alebo objektov z určitej skupiny sa nazýva permutácia, zatiaľ čo poradie, v ktorom sú usporiadané, sa nazýva kombinácia.

Permutácie a kombinácie

V tomto článku budeme študovať koncept permutácie a kombinácie a ich vzorce, pričom ich použijeme aj na riešenie mnohých vzorových problémov.

Obsah

• Význam permutácie
• Kombinácia Význam
• Odvodenie permutačných a kombinovaných vzorcov
• Rozdiel medzi permutáciou a kombináciou
• Vyriešené príklady na permutáciu a kombináciu

Význam permutácie

Permutácia je rozdielna interpretácia poskytnutého počtu komponentov prenášaných jeden po druhom, niektoré alebo všetky naraz. Napríklad, ak máme dve zložky A a B, potom sú pravdepodobné dve výkonnosti, AB a BA.

Počet permutácií, keď sú komponenty „r“ umiestnené z celkového počtu „n“ komponentov, je ⁿ P _r . Napríklad nech n = 3 (A, B a C) a r = 2 (všetky permutácie veľkosti 2). Potom sú ³ P ₂ takých permutácií, čo sa rovná 6. Týchto šesť permutácií je AB, AC, BA, BC, CA a CB. Šesť permutácií A, B a C urobených po troch je zobrazených na obrázku pridanom nižšie:

Význam permutácie

Permutačný vzorec

Permutačný vzorec sa používa na nájdenie množstva spôsobov výberu r veci z n rôzne veci v konkrétnom poradí a výmena nie je povolená a je daná nasledovne:

Permutačný vzorec

Vysvetlenie permutačného vzorca

Ako vieme, permutácia je usporiadanie r vecí z n, pričom poradie usporiadania je dôležité (AB a BA sú dve rôzne permutácie). Ak existujú tri rôzne číslice 1, 2 a 3 a ak je niekto zvedavý na permutáciu číslic 2, zobrazí sa (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3 ), (3, 1) a (3, 2). To znamená, že sa to dá dosiahnuť 6 spôsobmi.

Tu sú (1, 2) a (2, 1) odlišné. Opäť, ak sa tieto 3 číslice použijú naraz, potom budú interpretácie (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) ), (3, 1, 2) a (3, 2, 1), teda 6 spôsobmi.

Vo všeobecnosti možno nastaviť n rôznych vecí pomocou r (r^thvec môže byť ktorákoľvek zo zostávajúcich n – (r – 1) vecí.

Preto celý počet permutácií n rôznych vecí nesúcich r súčasne je n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], čo sa píše akoⁿP_r. Alebo inými slovami,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Kombinácia Význam

Sú to oddelené časti zdieľaného počtu komponentov prenášaných jeden po druhom, niektoré alebo všetky naraz. Napríklad, ak sú dve zložky A a B, potom existuje len jeden spôsob, ako vybrať dve veci, vybrať obe.

Napríklad nech n = 3 (A, B a C) a r = 2 (všetky kombinácie veľkosti 2). Potom sú ³ C ₂ také kombinácie, čo sa rovná 3. Tieto tri kombinácie sú AB, AC a BC.

Tu, kombinácia z akýchkoľvek dvoch písmen z troch písmen A, B a C, ktoré sú zobrazené nižšie, si všimneme, že v kombinácii nie je dôležité, v akom poradí sú A a B, pretože AB a BA predstavujú rovnakú kombináciu.

Kombinácia Význam

Poznámka: V tom istom príklade máme odlišné body pre permutáciu a kombináciu. Pretože AB a BA sú dve odlišné položky, t. j. dve odlišné permutácie, ale na výber sú AB a BA rovnaké, t. j. rovnaká kombinácia.

webové stránky ako coomeet

Kombinovaný vzorec

Kombinovaný vzorec sa používa na výber komponentov „r“ z celkového počtu „n“ komponentov a je daný:

Kombinovaný vzorec

Použitím vyššie uvedeného vzorca pre r a (n-r) dostaneme rovnaký výsledok. teda

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Vysvetlenie kombinovaného vzorca

Kombinácia je na druhej strane typ balenia. Opäť platí, že z týchto troch čísel 1, 2 a 3, ak sú množiny vytvorené s dvoma číslami, potom sú kombinácie (1, 2), (1, 3) a (2, 3).

Tu sú (1, 2) a (2, 1) totožné, na rozdiel od permutácií, kde sú odlišné. Toto je napísané ako³C₂. Vo všeobecnosti je počet kombinácií n rôznych vecí, ktoré sa berú r naraz,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Odvodenie permutačných a kombinovaných vzorcov

Tieto vzorce permutácie a kombinácie môžeme odvodiť pomocou základných metód počítania, pretože tieto vzorce predstavujú to isté. Odvodenie týchto vzorcov je nasledovné:

Vzorec odvodenia permutácií

Permutácia je výber r rôznych objektov z n objektov bez náhrady a tam, kde je dôležité poradie výberu, základnou teorémou počítania a definíciou permutácie dostaneme

P (n, r) = n. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Vynásobením a delením vyššie pomocou (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, dostaneme

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Tak je odvodený vzorec pre P (n, r).

Odvodenie kombinačného vzorca

Kombinácia je výber r položiek z n položiek, pričom poradie výberu nie je dôležité. Jeho vzorec sa vypočíta takto:

C(n, r) = Celkový počet permutácií /Počet spôsobov usporiadania r rôznych objektov.
[Keďže podľa základnej vety počítania vieme, že počet spôsobov, ako usporiadať r rôznych objektov r spôsobmi = r!]

C(n,r) = P (n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

amplitúdovej modulácie

Tak je odvodený vzorec pre kombináciu, t.j. C(n, r).

Rozdiel medzi permutáciou a kombináciou

Rozdiely medzi permutáciou a kombináciou možno pochopiť podľa nasledujúcej tabuľky:

Tiež skontrolujte,

• Binomická veta
• Binomická expanzia
• Binomické náhodné premenné
• Základná veta počítania

Vyriešené príklady na permutáciu a kombináciu

Príklad 1: Nájdite počet permutácií a kombinácií n = 9 a r = 3 .

Riešenie:

Dané, n = 9, r = 3

Pomocou vyššie uvedeného vzorca:

Pre permutáciu:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6!)/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Pre kombináciu:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Príklad 2: Koľkými spôsobmi možno vybrať komisiu pozostávajúcu zo 4 mužov a 2 žien zo 6 mužov a 5 žien?

Riešenie:

Vyberte 4 mužov zo 6 mužov =⁶C₄spôsoby = 15 spôsobov

Vyberte si 2 ženy z 5 žien =⁵C₂spôsoby = 10 spôsobov

Komisia môže byť zvolená v⁶C₄×⁵C₂= 150 spôsobov.

Príklad 3: Koľkými spôsobmi možno 5 rôznych kníh usporiadať na policu?

Riešenie:

Toto je problém permutácie, pretože na poradí kníh záleží.

Pomocou permutačného vzorca dostaneme:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Preto existuje 120 spôsobov, ako usporiadať 5 rôznych kníh na poličku.

Príklad 4: Koľko 3-písmenových slov možno vytvoriť pomocou písmen zo slova FABLE?

Riešenie:

Toto je problém s permutáciou, pretože na poradí písmen záleží.

Pomocou permutačného vzorca dostaneme:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Preto existuje 60 3-písmenových slov, ktoré možno vytvoriť pomocou písmen zo slova FABLE.

Príklad 5: Zo skupiny 10 ľudí sa vytvorí 5-členný výbor. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie:

f-string python

Toto je kombinovaný problém, pretože na poradí členov nezáleží.

Pomocou kombinovaného vzorca dostaneme:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Existuje teda 252 spôsobov, ako zo skupiny 10 ľudí vytvoriť 5-členný výbor.

Príklad 6: Pizza reštaurácia ponúka 4 rôzne polevy pre svoje pizze. Ak si chce zákazník objednať pizzu presne s 2 zálievkami, koľkými spôsobmi to možno urobiť?

Riešenie:

Toto je problém s kombináciou, pretože na poradí zálievok nezáleží.

Pomocou kombinovaného vzorca dostaneme:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Preto existuje 6 spôsobov, ako si objednať pizzu presne s 2 polevami zo 4 rôznych poliev.

Príklad 7: Aké veľké slová možno vytvoriť pomocou 2 písmen z výrazu LOVE?

Riešenie:

Termín LÁSKA má 4 odlišné písmená.

herec amrita rao

Preto požadovaný počet slov =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Požadovaný počet slov = 4! / 2! = 24/2

⇒ Požadovaný počet slov = 12

Príklad 8: Koľko slov z 3 spoluhlások a 2 samohlások možno vytvoriť z 5 spoluhlások a 3 samohlások?

Riešenie:

Počet spôsobov výberu 3 spoluhlások z 5 =⁵C₃

Počet spôsobov výberu 2 samohlások z 3 =³C₂

Počet spôsobov výberu 3 spoluhlások z 2 a 2 samohlások z 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Požadovaný počet = 10 × 3

= 30

To znamená, že môžeme mať 30 skupín, pričom každá skupina obsahuje celkom 5 písmen (3 spoluhlásky a 2 samohlásky).

Počet spôsobov usporiadania 5 písmen medzi sebou

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Požadovaný počet spôsobov je teda 30 × 120

⇒ Požadovaný počet spôsobov = 3600

Príklad 9: Koľko rôznych kombinácií získate, ak máte 5 položiek a vyberiete si 4?

Riešenie:

Vložte dané čísla do rovnice kombinácií a vyriešte. n je počet položiek, ktoré sú v množine (v tomto príklade 5); r je počet položiek, ktoré si vyberáte (v tomto príklade 4):

C(n, r) = n! / r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Riešením je 5.

Príklad 10: Zo 6 spoluhlások a 3 samohlások koľko výrazov možno vytvoriť 2 spoluhlásky a 1 samohlásku?

Riešenie:

Počet spôsobov výberu 2 spoluhlások zo 6 =⁶C₂

Počet spôsobov výberu 1 samohlásky z 3 =³C₁

Počet spôsobov výberu 3 spoluhlások zo 7 a 2 samohlások zo 4.

⇒ Požadované spôsoby =⁶C₂׳C₁

⇒ Požadované spôsoby = 15 × 3

⇒ Požadované spôsoby = 45

To znamená, že môžeme mať 45 skupín, pričom každá skupina obsahuje spolu 3 písmená (2 spoluhlásky a 1 samohlásku).

Počet spôsobov usporiadania 3 písmen medzi sebou = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Požadované spôsoby usporiadania troch písmen = 6

Požadovaný počet spôsobov je teda 45 × 6

⇒ Požadované spôsoby = 270

Príklad 11: V koľkých odlišných formách môžu byť písmená výrazu „TELEFÓN“ usporiadané tak, aby samohlásky boli konzistentné prísť spolu?

Riešenie:

Slovo „PHONE“ má 5 písmen. Obsahuje samohlásky „O“, „E“ a tieto 2 samohlásky by sa mali dôsledne zhodovať. Tieto dve samohlásky teda môžu byť zoskupené a vnímané ako jedno písmeno. Teda PHN(OE).

Preto môžeme vziať celkovo písmen ako 4 a všetky tieto písmená sú odlišné.

Počet metód na usporiadanie týchto listov = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Požadované spôsoby usporiadania písmen = 24

Všetky 2 samohlásky (OE) sú odlišné.

Počet spôsobov, ako usporiadať tieto samohlásky medzi sebou = 2! = 2 × 1

⇒ Požadované spôsoby usporiadania samohlások = 2

Požadovaný počet spôsobov je teda 24 × 2

⇒ Požadované spôsoby = 48.

Časté otázky o permutáciách a kombináciách

Aký je faktoriálny vzorec?

Faktorový vzorec sa používa na výpočet permutácií a kombinácií. Faktoriálny vzorec pre n! sa uvádza ako

n! = n × (n-1) ×. . . × 4 × 3 × 2 × 1

Napríklad 3! = 3 × 2 × 1 = 6 a 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Čo robí ⁿ C _r reprezentovať?

ⁿC_rpredstavuje počet kombinácií, z ktorých je možné vytvoriť n branie predmetov r v tom čase.

Čo myslíš permutáciami a kombináciami?

Permutácia je akt usporiadania vecí v určitom poradí. Kombinácie sú spôsoby výberu r predmety zo skupiny n objekty, kde poradie zvoleného objektu neovplyvňuje celkovú kombináciu.

Napíšte príklady permutácií a kombinácií.

Počet 3-písmenových slov, ktoré možno vytvoriť pomocou písmen slova hovorí: AHOJ;⁵P₃= 5!/(5-3)! toto je príklad permutácie.
Počet kombinácií, ktoré môžeme napísať pomocou samohlások slova HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], toto je príklad kombinácie.

aké mesiace sú q3

Napíšte vzorec na hľadanie permutácií a kombinácií.

• Vzorec na výpočet permutácií: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Vzorec na výpočet kombinácií: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Napíšte niekoľko skutočných príkladov permutácií a kombinácií.

Triedenie ľudí, čísel, písmen a farieb sú niektoré príklady permutácií.
Príklady kombinácií sú výber jedálneho lístka, oblečenia a predmetov.

Aká je hodnota 0!?

Hodnota 0! = 1, je veľmi užitočný pri riešení permutačných a kombinačných problémov.