Pascalov trojuholník je číselný vzor usporiadaný do trojuholníkového tvaru. Tento trojuholník poskytuje koeficienty pre rozšírenie akéhokoľvek binomického výrazu s číslami usporiadanými tak, že tvoria trojuholníkový tvar. t.j. druhý riadok v Pascalovom trojuholníku predstavuje koeficienty v (x+y)²a tak ďalej.

V Pascalovom trojuholníku je každé číslo súčtom dvoch vyššie uvedených čísel. Pascalov trojuholník má rôzne aplikácie v teórii pravdepodobnosti, kombinatorike, algebre a rôznych iných odvetviach matematiky.

Dozvieme sa viac o Pascalov trojuholník, jeho konštrukcia a rôzne vzory v Pascalovom trojuholníku podrobne v tomto článku.

Obsah

• Čo je Pascalov trojuholník?
• Čo je Pascalov trojuholník?
• Definícia Pascalovho trojuholníka
• Konštrukcia Pascalovho trojuholníka
• Pascalov trojuholníkový vzorec
• Binomické rozšírenie Pascalovho trojuholníka
• Ako používať Pascalov trojuholník?
• Vzory Pascalovho trojuholníka
• Pridanie riadkov
• Prvočísla v Pascalovom trojuholníku
• Uhlopriečky v Pascalovom trojuholníku
• Fibonacciho sekvencia v Pascalovom trojuholníku
• Vlastnosti Pascalovho trojuholníka
• Príklady Pascalovho trojuholníka

Čo je Pascalov trojuholník?

Je pomenovaný po slávnom filozofovi a matematikovi Baliseovi „Pascalovi“, ktorý vyvinul vzor čísel začínajúcich 1 a čísla pod ním sú súčtom vyššie uvedených čísel. Najprv si zapíšte číslo 1 a začnite vytvárať Pascalov trojuholník. Druhý riadok sa opäť zapíše o dve 1. Ďalšie riadky sa generujú pomocou predchádzajúcich riadkov, aby sa vytvoril trojuholník s číslami. Každý riadok začína a končí 1.

Základná štruktúra Pascalovho trojuholníka je znázornená na obrázku nižšie,

Čo je Pascalov trojuholník?

Pascalov trojuholník definujeme ako základnú množinu čísel usporiadaných do trojuholníkového poľa tak, že každý prvok v Pascalovom trojuholníku je súčtom dvoch čísel nad ním. Pascalov trojuholník začína 1 a prvýkrát to navrhol slávny francúzsky matematik Balise Pascal, a preto ho pomenoval Pascalov trojuholník.

Tento trojuholník predstavuje koeficienty binomického rozšírenia pre rôzne mocniny. (musíme sa uistiť, že mocnina v binomickom rozvoji je len prirodzené číslo, potom iba Pascalov trojuholník predstavuje koeficienty v binomickom rozvoji).

Definícia Pascalovho trojuholníka

Pascalov trojuholník je trojuholníkové pole čísel, v ktorom je každé číslo súčtom dvoch priamo nad ním.

Konštrukcia Pascalovho trojuholníka

Môžeme ľahko zostaviť trojuholník Pad=scal jednoduchým pridaním dvoch čísel z vyššie uvedeného riadku, aby sme získali ďalšie číslo v riadku nižšie. Môžeme predpokladať, že nultý riadok začína jedným prvkom 1 a potom prvok v druhom riadku je 1 1, ktorý vznikne sčítaním 1+0 a 1+0. Podobne prvky v druhom rade sú 1 2 1 2ktoré sa vytvoria sčítaním, 1+0, 1+1 a 1+0, čím sa získajú prvky v treťom rade. Rozšírením tohto konceptu na n-tý riadok dostaneme Pascalov trojuholník s n+1 riadkami.

Pascalov trojuholník až po 3. riadok je zobrazený na obrázku nižšie,

Z vyššie uvedeného obrázku ľahko zistíme, že prvý a posledný prvok v každom riadku je 1.

Pascalov trojuholníkový vzorec

Vzorec Pascal Triangle je vzorec, ktorý sa používa na nájdenie čísla, ktoré sa má vyplniť v m-tom stĺpci a v n-tom riadku. Ako vieme, výrazy v Pascalovom trojuholníku sú súčtom výrazov vo vyššie uvedenom riadku. Požadujeme teda, aby prvky v (n-1)-tom riadku a (m-1)-tom a n-tom stĺpci dostali požadované číslo v m-tom stĺpci a n-tom riadku.

Prečítajte si podrobne: Pascalov trojuholníkový vzorec

preity zinta

Prvky n-tého radu Pascalovho trojuholníka sú dané,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂, …,ⁿC_n.

Vzorec na nájdenie akéhokoľvek čísla v Pascalovom trojuholníku je:

ⁿ Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

Kde,

• ⁿ C _m predstavuje (m+1)-tý prvok v n-tom riadku., a
• n je nezáporné celé číslo [0 ≤ m ≤ n]

Tento vzorec môžeme pochopiť pomocou príkladu uvedeného nižšie,

Príklad: Nájdite tretí prvok v treťom riadku Pascalovho trojuholníka.

Riešenie:

Musíme nájsť 3. prvok v 3. riadku Pascalovho trojuholníka.

Vzorec Pascal Triangle je

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

kdeⁿC_kpredstavujú (k+1)^thprvok v n^thriadok.

Teda 3. prvok v 3. riadku je,

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Tretí prvok v treťom rade Pascalovho trojuholníka je teda 3.

Binomické rozšírenie Pascalovho trojuholníka

Môžeme ľahko nájsť koeficient binomická expanzia pomocou Pascalovho trojuholníka. Prvky v (n+1)-tom riadku Pascalovho trojuholníka predstavujú koeficient rozšíreného výrazu polynómu (x + y)ⁿ.

Vieme, že expanzia (x + y)ⁿje,

(x + y)ⁿ= a₀Xⁿ+ a₁X^n-1a + a₂X^n-2a²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_naⁿ

Tu, a₀, a₁, a₂, a₃, …., a_nsú výraz v (n+1) riadku Pascalovho trojuholníka

Pozrite si napríklad rozšírenie (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀X⁴+⁴C₁X³a +⁴C₂X²a²+⁴C₃xy³+⁴C₄X⁰a⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²a²+ (4)xy³+ (1) r⁴

Tu sú koeficienty 1, 4, 6, 4 a 1 prvkami štvrtého radu Pascalovho trojuholníka

Ako používať Pascalov trojuholník?

Pascalov trojuholník používame na nájdenie rôznych prípadov možných výsledkov v podmienkach pravdepodobnosti. Dá sa to pochopiť na nasledujúcom príklade, keď hodíme mincou raz, dostaneme dva výsledky, t. j. H a T to predstavuje prvok v prvom riadku Pascalovho trojuholníka.

Podobne, keď hodíme mincou dvakrát, dostaneme tri výsledky, t. j. {H, H}, {H, T}, {T, H} a {T, T} táto podmienka je reprezentovaná prvkom v druhom riadku Pascalovho trojuholníka.

Môžeme teda ľahko zistiť možný počet výsledkov pri hádzaní mince jednoduchým pozorovaním príslušných prvkov v Pascalovom trojuholníku.

Nižšie uvedená tabuľka nám hovorí o prípadoch, keď je minca hodená raz, dvakrát, trikrát a štyrikrát, a o tom, či je to v súlade s Pascalovým trojuholníkom.

Vzory Pascalovho trojuholníka

V Pascalovom trojuholníku pozorujeme rôzne vzory:

• Pridanie riadkov
• Prvočísla v trojuholníku
• Uhlopriečky v Pascalovom trojuholníku
• Fibonacciho vzor

Pridanie riadkov

Pri pozornom pozorovaní Pascalovho trojuholníka môžeme dospieť k záveru, že súčet každého riadku v Pascalovom trojuholníku sa rovná mocnine 2. Vzorec pre to isté je: Pre ľubovoľné (n+1)^thriadok v Pascalovom trojuholníku súčet všetkých prvkov je 2ⁿ

Aplikovaním tohto vzorca na prvé 4 riadky Pascalovho trojuholníka dostaneme,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

anonymná funkcia java

Prvočísla v Pascalovom trojuholníku

Ďalším veľmi zaujímavým vzorom v Pascalovom trojuholníku je, že ak riadok začína prvočíslom (zanedbávame 1 na začiatku každého riadku), potom sú všetky prvky v tomto riadku deliteľné týmto prvočíslom. Tento vzor neplatí pre zložené čísla.

Napríklad ôsmy riadok v Pascalovom trojuholníku je,

1 7 21 35 35 21 7 1

Tu sú všetky prvky deliteľné 7.

Pre riadky začínajúce zloženými číslami, ako je napríklad piaty riadok,

1 4 6 4 1

Vzor neplatí, pretože 4 nedelí 6.

Uhlopriečky v Pascalovom trojuholníku

Každá pravá uhlopriečka Pascalovho trojuholníka, keď sa považuje za postupnosť, predstavuje rôzne čísla, napríklad prvá pravá uhlopriečka predstavuje postupnosť čísla 1, druhá pravá uhlopriečka predstavuje trojuholníkové čísla, tretia pravá uhlopriečka predstavuje štvorstenné čísla, štvrtá pravá uhlopriečka predstavuje Penelope čísla a tak ďalej.

Fibonacciho sekvencia v Pascalovom trojuholníku

Fibonacciho postupnosť môžeme ľahko získať jednoduchým sčítaním čísel v uhlopriečkach Pascalovho trojuholníka. Tento vzor je zobrazený na obrázku pridanom nižšie,

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka

Rôzne vlastnosti Pascalovho trojuholníka sú,

• Každé číslo v Pascalovom trojuholníku je súčtom čísla nad ním.
• Počiatočné a koncové číslo v Pascalovom trojuholníku je vždy 1.
• Prvá uhlopriečka v Pascalovom trojuholníku predstavuje prirodzené číslo alebo počítacie čísla.
• Súčet prvkov v každom riadku Pascalovho trojuholníka je daný mocninou 2.
• Prvky v každom riadku sú číslice s mocninou 11.
• Pascalov trojuholník je symetrický trojuholník.
• Prvky v ľubovoľnom riadku Pascalovho trojuholníka možno použiť na vyjadrenie koeficientov binomickej expanzie.
• Pozdĺž uhlopriečky Pascalovho trojuholníka pozorujeme Fibonacciho čísla.

Články týkajúce sa Pascalovho trojuholníka:

• Binomická veta
• Binomické náhodné premenné a binomické rozdelenie

Príklady Pascalovho trojuholníka

Príklad 1: Nájdite piaty rad Pascalovho trojuholníka.

Riešenie:

Pascalov trojuholník s 5 riadkami je zobrazený na obrázku nižšie,

Príklad 2: Rozbalenie pomocou Pascalovho trojuholníka (a + b) ² .

Riešenie:

Najprv napíšte všeobecné výrazy bez koeficientov.

(a + b)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

Teraz zostavme Pascalov trojuholník pre 3 riadky, aby sme zistili koeficienty.

Hodnoty posledného riadku nám udávajú hodnotu koeficientov.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Takto overené.

Príklad 3: Rozbalenie pomocou Pascalovho trojuholníka (a + b) ⁶ .

Riešenie:

Najprv napíšte všeobecné výrazy bez koeficientov.

(a + b)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Teraz zostavme Pascalov trojuholník pre 7 riadkov, aby sme zistili koeficienty.

Hodnoty posledného riadku nám udávajú hodnotu koeficientov.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄= 15, c₅= 6 a c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Príklad 4: Nájdite druhý prvok v treťom riadku Pascalovho trojuholníka.

Riešenie:

Musíme nájsť 2. prvok v 3. riadku Pascalovho trojuholníka.

Vieme, že n-tý rad Pascalovho trojuholníka jeⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

Vzorec Pascalovho trojuholníka je,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

kdeⁿC_kpredstavujú (k+1)^thprvok v n^thriadok.

Takže 2. prvok v 3. riadku je,

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Druhý prvok v treťom rade Pascalovho trojuholníka je teda 3.

Príklad 5: Hodí sa minca štyrikrát, nájdite pravdepodobnosť, že získate presne 2 chvosty.

Riešenie:

Pomocou vzorca Pascal Triangle,

Celkový počet výsledkov = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Tu dostaneme štyri prípady, v ktorých dostaneme 2 chvosty,

teda

Pravdepodobnosť získania dvoch chvostov = priaznivý výsledok/celkový výsledok

= 4/16 = 1/4

Takže pravdepodobnosť získania presne dvoch chvostov je 1/4 alebo 25 %

Zhrnutie – Pascalov trojuholník

Pascalov trojuholník je trojuholníkové usporiadanie čísel, kde každé číslo je súčtom dvoch čísel priamo nad ním. Tento trojuholník, pomenovaný po matematikovi Blaisovi Pascalovi, začína jednou 1 hore a každý riadok začína a končí 1. Čísla v Pascalovom trojuholníku zodpovedajú koeficientom v binomickom rozvoji, vďaka čomu je užitočný v algebre, pravdepodobnosti a kombinatorika. Vzory v trojuholníku zahŕňajú súčty riadkov s mocninami 2, spojenie s Fibonacciho postupnosťou a prítomnosť prvočísel. Pascalov trojuholník je tiež užitočný pri výpočte kombinácií a pochopení výsledkov v pravdepodobnostných experimentoch, ako je hádzanie mincí.

Časté otázky o Pascalovom trojuholníku

Čo je Pascalov trojuholník?

Trojuholníkové pole čísel, ktoré navrhol slávny matematik Balise Pascal, sa nazýva Pascalov trojuholník. Tento trojuholník začína 1 a v ďalšom riadku sú počiatočné a koncové čísla pevne 1, potom sa prostredné číslo vygeneruje súčtom dvoch vyššie uvedených čísel.

Aké sú využitie Pascalovho trojuholníka?

Pascalove trojuholníky majú rôzne využitie,

• Používa sa na nájdenie binomického koeficientu binomického rozšírenia.
• Poskytuje alternatívny spôsob rozšírenia binomických výrazov.
• Používa sa v algebre, teórii pravdepodobnosti, permutácii a kombinácii a iných odvetviach matematiky.

Aké je použitie Pascalovho trojuholníka v binomickej expanzii?

Pascalov trojuholník používame na ľahké nájdenie koeficientu ľubovoľného člena v binomickej expanzii. Akýkoľvek riadok Pascalovho trojuholníka (povedzme n-tý) predstavuje koeficient binomickej expanzie (x+y)ⁿ. Napríklad druhý riadok Pascalovho trojuholníka je 1 2 1 a rozšírenie (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Tu je koeficient každého člena 1 2 1, čo sa podobá 2. riadku Pascalovho trojuholníka.

Aké rôzne vzory sa nachádzajú v Pascalovom trojuholníku?

Rôzne vzory, ktoré ľahko nájdeme v Pascalovom trojuholníku, sú:

• Trojuholníkový vzor
• Nepárny a párny vzor
• Fibonacciho vzor
• Symetrický vzor

Čo je 5^thRad Pascalovho trojuholníka?

Piaty riadok Pascalovho trojuholníka je znázornený nižšie,

1 5 10 10 5 1

Vieme, že súčet všetkých prvkov v ľubovoľnom riadku je daný pomocou 2ⁿkde n predstavuje počet riadkov. Súčet všetkých členov v piatom riadku je teda

2⁵= 32

java inak ak

Čo je prvým prvkom každého radu Pascalovho trojuholníka?

Prvý prvok každého riadku Pascalovho trojuholníka je 1. Tento pojem nazývame 0. člen radu.