Zákon úplnej pravdepodobnosti je dôležitý na nájdenie pravdepodobnosti udalosti. Ak je známa pravdepodobnosť, že sa udalosť stane 1, potom pre nemožnú udalosť bude pravdepodobne 0. Základné pravidlo v teórii pravdepodobnosti, ktoré je prepojené s hraničnou pravdepodobnosťou a podmienená pravdepodobnosť sa nazýva zákon úplnej pravdepodobnosti alebo veta o celkovej pravdepodobnosti.

Po niekoľkých udalostiach je známe, že by mala byť známa pravdepodobnosť všetkých možností. The veta o celkovej pravdepodobnosti je základom Bayeovej vety. V tomto článku sme diskutovali o dôležitých pojmoch súvisiacich s celkovou pravdepodobnosťou, vrátane zákon úplnej pravdepodobnosti , vyhlásenia, dôkazy a niektoré príklady.

Zákon úplnej pravdepodobnosti

Daných n vzájomne sa vylučujúcich udalostí A1, A2, …Ak takých, že ich súčet pravdepodobností je jednotný a ich zjednotením je priestor E, potom Ai ∩ Aj= NULL, pre všetky I sa nerovná j a

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Potom Veta o úplnej pravdepodobnosti alebo zákon úplnej pravdepodobnosti, je: kde B je ľubovoľná udalosť a P(B/Ai) je podmienená pravdepodobnosť B za predpokladu, že A už nastala.

Dôkaz vety o úplnej pravdepodobnosti

Nech A1, A2, …, Ak sú disjunktné udalosti, ktoré tvoria rozdelenie priestoru vzorky a predpokladajú, že P(Ai)> 0, pre i = 1, 2, 3….k, takže:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Potom pre akúkoľvek udalosť B máme,

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Ako križovatka a Union sú distribučné. preto

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Pretože všetky tieto oddiely sú nesúvislé. Takže máme,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

To je teorém sčítania pravdepodobností pre spojenie disjunktných udalostí. Použitie podmienenej pravdepodobnosti

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Alebo podľa pravidla násobenia,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Tu sa udalosti A a B považujú za nezávislé udalosti, ak P(B|A) = P(B), kde P(A) sa nerovná nule (0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

kde P(B|A) je podmienená pravdepodobnosť, ktorá udáva pravdepodobnosť výskytu udalosti B, keď udalosť A už nastala. teda

porovnať reťazec java

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Aplikovaním vyššie uvedeného pravidla dostaneme,

To je zákon úplnej pravdepodobnosti . Zákon úplnej pravdepodobnosti sa označuje aj ako veta o celkovej pravdepodobnosti alebo zákon alternatív.

Poznámka:

Zákon úplnej pravdepodobnosti sa používa, keď nepoznáte pravdepodobnosť udalosti, ale poznáte jej výskyt podľa niekoľkých nesúrodých scenárov a pravdepodobnosť každého scenára.

Aplikácia vety o úplnej pravdepodobnosti

Používa sa na vyhodnotenie menovateľa v Bayesova veta . Bayesova veta pre n množinu udalostí je definovaná ako,

Nech E₁, AND₂,…, A_nbyť súborom udalostí spojených s priestorom vzorky S, v ktorom sú všetky udalosti E₁, AND₂,…, A_nmajú nenulovú pravdepodobnosť výskytu. Všetky udalosti E₁, AND₂,…, E tvoria delenie S. Nech A je udalosť z priestoru S, pre ktorú musíme nájsť pravdepodobnosť, potom podľa Bayesovej vety,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

pre k = 1, 2, 3, ..., n

Príklad

1. Ťaháme dve karty z balíčka zamiešaných kariet s náhradami. Nájdite pravdepodobnosť získania druhej karty kráľa.

Vysvetlenie:- Nech, A – predstavuje udalosť získania prvej karty kráľa. B – predstavuje prípad, že prvou kartou nie je kráľ. E – predstavuje prípad, že druhou kartou je kráľ. Potom pravdepodobnosť, že druhá karta bude alebo nebude kráľom, bude reprezentovaná zákonom úplnej pravdepodobnosti ako:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Kde P(E) je pravdepodobnosť, že druhá karta je kráľ, P(A) je pravdepodobnosť, že prvá karta je kráľ, P(E|A) je pravdepodobnosť, že druhá karta je kráľ vzhľadom na to, že prvá karta je kráľ, P(B) je pravdepodobnosť, že prvá karta nie je kráľ, P(E|B) je pravdepodobnosť, že druhá karta je kráľ, ale prvá vytiahnutá karta nie je kráľ. Podľa otázky:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

preto

bublinové triedenie v algoritme

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Časté otázky o zákone úplnej pravdepodobnosti

Q.1: Aké je použitie celkovej pravdepodobnosti?

odpoveď:

Zákon úplnej pravdepodobnosti sa používa na výpočet pravdepodobnosti udalosti pri akomkoľvek počte súvisiacich udalostí. Použitie Bayeovej vety na aktualizáciu pravdepodobnosti hypotézy na základe nových dôkazov.

Q.2: Je celková pravdepodobnosť vždy 1?

odpoveď:

Súčet pravdepodobností všetkých udalostí je vždy 1.

Q.3: Môže byť celková pravdepodobnosť väčšia ako 1?

odpoveď:

Nie, celková pravdepodobnosť nemôže byť väčšia ako 1.