Pravidlo 2

Ak sa LHS a RHS výrazov vymenia, potom sa nerovnosť obráti. Hovorí sa tomu konverzná vlastnosť.

• Ak a> b, potom b
• Ak a
• Ak a ≥ b, potom b ≤ a
• Ak a ≤ b, potom b ≥ a

Pravidlo 3

Ak sa rovnaká konštanta k pripočíta alebo odčíta od oboch strán nerovnosti, potom sú obe strany nerovnosti rovnaké.

• Ak a> b, potom a + k> b + k
• Ak a> b, potom a – k> b – k

Podobne aj pri iných nerovnostiach.

• Ak
• Ak
• Ak a ≤ b, potom a + k ≤ b + k
• Ak a ≤ b, potom a – k ≤ b – k
• Ak a ≥ b, potom a + k ≥ b + k
• Ak a ≥ b, potom a – k ≥ b – k

Smer nerovnosti sa po sčítaní alebo odčítaní konštanty nemení.

Pravidlo 4

Ak je k kladná konštanta, ktorá je vynásobená alebo delená oboma stranami nerovnosti, potom nedôjde k žiadnej zmene v smere nerovnosti.

• Ak a> b, potom ak> bk
• Ak
• Ak a ≤ b, potom ak ≤ bk
• Ak a ≥ b, potom ak ≥ bk

Ak je k záporná konštanta, ktorá je vynásobená alebo delená oboma stranami nerovnosti, potom sa smer nerovnosti obráti.

• Ak a> b, tak ak
• Ak a> b, tak ak
• Ak a ≥ b, potom ak ≤ bk
• Ak a ≤ b, potom ak ≥ bk

Pravidlo 5

Druhá mocnina ľubovoľného čísla je vždy väčšia alebo rovná nule.

• a²≥ 0

Pravidlo 6

Odmocnina na oboch stranách nerovnosti nemení smer nerovnosti.

• Ak a> b, potom √a> √b
• Ak
• Ak a ≥ b, potom √a ≥ √b
• Ak a ≤ b, potom √a ≤ √b

Graf nerovností

Nerovnice sú buď s jednou premennou alebo s dvoma, alebo máme systém nerovností, všetky sa dajú vykresliť do kartézskej roviny, ak obsahuje iba dve premenné. Nerovnosti v jednej premennej sú vynesené na reálnych čiarach a dve premenné na karteziánskej rovine.

Intervalový zápis nerovností

Dôležité body pre písanie intervalov pre nerovnosti:

• V prípade väčšieho a rovného ( ≥ ) alebo menšie ako ( ≤ ), koncové hodnoty sú zahrnuté, takže sa používajú uzavreté alebo hranaté zátvorky [ ].
• V prípade väčšieho ako ( > ) alebo menej ako ( < ), koncové hodnoty sú vylúčené, takže sa používajú otvorené zátvorky ().
• Pre kladné aj záporné nekonečno sa používajú otvorené zátvorky ().

Nasledujúca tabuľka predstavuje intervaly pre rôzne nerovnosti:

Graf pre lineárne nerovnosti s jednou premennou

Z nasledujúcej tabuľky môžeme pochopiť, ako vykresliť rôzne lineárne nerovnosti s jednou premennou na reálnej čiare.

Nerovnosť	Interval	Graf
x> 1	(1, ∞)	Lineárne nerovnosti s jednou premennou
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graf pre lineárne nerovnosti s dvoma premennými

Zoberme si príklad lineárnych nerovností s dvoma premennými.

Uvažujme lineárnu nerovnosť 20x + 10y ≤ 60, pretože možné riešenia pre danú nerovnosť sú (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0) a tiež všetky body za týmito bodmi sú tiež riešením nerovnosti.

Zostavme si graf z uvedených riešení.

Vytieňovaná oblasť v grafe predstavuje možné riešenia pre danú nerovnosť.

Prečítajte si tiež

• Grafické riešenie lineárnych nerovností v dvoch premenných

Typy nerovností

Existujú rôzne typy nerovností, ktoré možno klasifikovať takto:

• Polynomiálne nerovnosti: Polynomické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré možno znázorniť vo forme polynómov. Príklad- 2x + 3 ≤ 10.
• Absolútne nerovnosti hodnôt: Nerovnosti absolútnej hodnoty sú nerovnosti v rámci znamienka absolútnej hodnoty. Príklad- |y + 3| ≤ 4.
• Racionálne nerovnosti: Racionálne nerovnosti sú nerovnosti so zlomkami spolu s premennými. Príklad- (x + 4) / (x – 5) <5.

Ako riešiť nerovnosti

Na vyriešenie nerovností môžeme použiť nasledujúce kroky:

• Krok 1: Napíšte nerovnosť v tvare rovnice.
• Krok 2: Vyriešte rovnicu a získajte korene nerovností.
• Krok 3: Získané hodnoty znázornite na číselnej osi.
• Krok 4: Vylúčené hodnoty znázornite aj na číselnej osi s otvorenými krúžkami.
• Krok 5: Nájdite intervaly z číselného radu.
• Krok 6: Vezmite náhodnú hodnotu z každého intervalu a vložte tieto hodnoty do nerovnosti a skontrolujte, či vyhovuje nerovnosti.
• Krok 7: Riešením nerovnosti sú intervaly, ktoré vyhovujú nerovnosti.

Ako riešiť polynomické nerovnosti

Polynomické nerovnosti zahŕňajú lineárne nerovnosti, kvadratické nerovnosti, kubické nerovnosti atď. Tu sa naučíme riešiť lineárne a kvadratické nerovnosti.

Riešenie lineárnych nerovností

Lineárne nerovnosti možno riešiť ako lineárne rovnice, ale podľa pravidla nerovností. Lineárne nerovnosti je možné riešiť pomocou jednoduchých algebraických operácií.

Nerovnosti v jednom alebo dvoch krokoch

Jednokroková nerovnosť sú nerovnosti, ktoré možno vyriešiť jedným krokom.

Príklad: Vyriešte: 5x <10

Riešenie:

⇒ 5x <10 [Rozdelenie oboch strán 5]

⇒ x <2 alebo (-∞, 2)

Dvojstupňová nerovnosť sú nerovnosti, ktoré možno vyriešiť v dvoch krokoch.

Príklad: Vyriešte: 4x + 2 ≥ 10

Riešenie:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Odčítanie 2 z oboch strán]

⇒ 4x ≥ 8 [Rozdelenie oboch strán 4]

⇒ x ≥ 2 alebo [2, ∞)

Zložené nerovnosti

Zložené nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú viacero nerovností oddelených a alebo alebo. Ak chcete vyriešiť zložené nerovnice, riešte nerovnice samostatne a pre konečné riešenie vykonajte prienik získaných riešení, ak sú nerovnice oddelené a a vykonajte spojenie získaných riešení, ak sú nerovnice oddelené alebo.

Príklad: Vyriešte: 4x + 6 <10 a 5x + 2 < 12

Riešenie:

Najprv vyriešte 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Odčítanie 6 z oboch strán]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 alebo (-∞, 1) —–(i)

Druhé riešenie 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Odčítanie 2 z oboch strán]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 alebo (-∞, 2) ——-(ii)

Z (i) a (ii) máme dve riešenia x <1 a x < 2.

java hodnota enum

Pre konečné riešenie berieme priesečník, pretože nerovnosti sú oddelené a.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Konečné riešenie pre danú zloženú nerovnosť je (-∞, 1).

Čítaj viac

• Zložené nerovnosti
• Slovné úlohy lineárnych nerovností
• Trojuholníková nerovnosť

Solvw kvadratické nerovnosti

Zoberme si príklad na riešenie absolútnych hodnotových nerovností.

Príklad: Vyriešte nerovnosť: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Riešenie:

Nasledujú kroky na vyriešenie nerovnosti: x²– 7x + 6 ≥ 0

Krok 1: Napíšte nerovnosť v tvare rovnice:

X²– 7x + 6 = 0

Krok 2: Vyriešte rovnicu:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1 (x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 a x = 1

Z vyššie uvedeného kroku získame hodnoty x = 6 a x = 1

Krok 3: Z vyššie uvedených hodnôt sú intervaly (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Keďže nerovnosť je ≥, ktorá zahŕňa rovná sa, tak pre získané hodnoty používame uzavretú zátvorku.

Krok 4: Znázornenie číselných radov vyššie uvedených intervalov.

Krok 5: Vezmite náhodné čísla medzi každým intervalom a skontrolujte, či vyhovuje hodnote. Ak vyhovuje, potom do riešenia zahrňte interval.

Pre interval (-∞, 1] nech je náhodná hodnota -1.

hrithik rošanský vek

Vloženie x = -1 do nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (pravda)

Pre interval [1, 6] nech je náhodná hodnota 2.

Vloženie x = 0 do nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (nepravda)

Pre interval [6, ∞) nech je náhodná hodnota 7.

Vloženie x = 7 do nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (pravda)

Krok 6: Takže riešenie absolútnej hodnotovej nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0 je interval (-∞, 1] ∪ [6, ∞), pretože spĺňa nerovnosť, ktorá sa dá vykresliť na číselnej osi ako:

Ako vyriešiť absolútne hodnotové nerovnosti

Zoberme si príklad na riešenie absolútnych hodnotových nerovností.

Príklad: Vyriešte nerovnosť: |y + 1| ≤ 2

Riešenie:

Nasledujú kroky na vyriešenie nerovnosti: |y + 1| ≤ 2

Krok 1: Napíšte nerovnosť vo forme rovnice:

|y + 1| = 2

Krok 2: Vyriešte rovnicu:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 a y + 1 = – 2

y = 1 a y = -3

Z vyššie uvedeného kroku získame hodnoty y = 1 a y = -3

Krok 3: Z vyššie uvedených hodnôt sú intervaly (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Keďže nerovnosť je ≤ to zahŕňa rovné, tak pre získané hodnoty používame uzavretú zátvorku.

Krok 4: Znázornenie číselných radov vyššie uvedených intervalov.

Krok 5: Vezmite náhodné čísla medzi každým intervalom a skontrolujte, či vyhovuje hodnote. Ak vyhovuje, potom do riešenia zahrňte interval.

Pre interval (-∞, -3] nech je náhodná hodnota -4.

Vloženie y = -4 do nerovnosti |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (nepravda)

Pre interval [-3, 1] nech je náhodná hodnota 0.

Vloženie y = 0 do nerovnosti |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (pravda)

Pre interval [1, ∞) nech je náhodná hodnota 2.

Vloženie y = 2 do nerovnosti |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (nepravda)

Krok 6: Takže riešenie pre nerovnosť absolútnej hodnoty |y + 1| ≤ 2 je interval [-3, -1], pretože spĺňa nerovnosť, ktorá sa dá vykresliť na číselnej osi ako:

Ako riešiť racionálne nerovnosti

Zoberme si príklad riešenia racionálnych nerovností.

Príklad: Riešte nerovnosť: (x + 3) / (x – 1) <2

Riešenie:

Nasledujú kroky na vyriešenie nerovnosti:

Krok 1: Napíšte nerovnosť v tvare rovnice: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Krok 2: Vyriešte rovnicu:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2 (x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Z vyššie uvedeného kroku získame hodnotu x = 5

Krok 3: Z vyššie uvedených hodnôt sú intervaly (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Keďže, nerovnosť je

Keďže pre x = 1 je nerovnosť nedefinovaná, tak vezmeme otvorenú zátvorku pre x = 1.

Krok 4: Znázornenie číselných radov vyššie uvedených intervalov.

Krok 5: Vezmite náhodné čísla medzi každým intervalom a skontrolujte, či vyhovuje hodnote. Ak vyhovuje, potom do riešenia zahrňte interval.

Pre interval (-∞, 1) nech je náhodná hodnota 0.

Vloženie x = 0 do nerovnosti (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (pravda)

Pre interval (1, 5) nech je náhodná hodnota 2.

Vloženie x = 3 do nerovnosti (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (nepravda)

Pre interval (5, ∞) nech je náhodná hodnota 2.

Vloženie y = 6 do nerovnosti (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (pravda)

Krok 6: Takže riešenie pre nerovnosť absolútnej hodnoty (x + 3) / (x – 1) <2 je interval (-∞, 1) ∪ (5, ∞), pretože spĺňa nerovnosť, ktorá sa dá vykresliť na číselnej osi ako:

Ako vyriešiť lineárnu nerovnosť s dvoma premennými

Zoberme si príklad na riešenie lineárnej nerovnosti s dvoma premennými.

Príklad: Riešenie: 20x + 10y ≤ 60

Riešenie:

Uvažujme x = 0 a vložte ho do danej nerovnosti

⇒ 20x + 10r ≤ 60

⇒ 20(0) + 10r ≤ 60

⇒ 10r ≤ 60

⇒ a ≤ 6 ——(i)

Teraz, keď x = 0, y môže byť 0 až 6.

Podobne, vloženie hodnôt do nerovnosti a jej kontrola vyhovie nerovnosti.

Pre x = 1 môže byť y 0 až 4.

Pre x = 2 môže byť y 0 až 2.

Pre x = 3 môže byť y 0.

Možné riešenie pre danú nerovnosť je (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Systémy nerovností

Systémy nerovností sú množinou dvoch alebo viacerých nerovností s jednou alebo viacerými premennými. Systémy nerovností obsahujú viaceré nerovnosti s jednou alebo viacerými premennými.

Systém nerovností má tvar:

a_jedenásťX₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃…….. + a_1nX_{n 1}

a_{dvadsaťjeden}X₁+ a₂₂X₂+ a₂₃X₃…….. + a_2nX_{n 2}

a_n1X₁+ a_n2X₂+ a_n3X₃…….. + a_nnX_{n n}

Grafické znázornenie systémov nerovností

Systém nerovností je skupina viacerých nerovností. Najprv vyriešte každú nerovnosť a nakreslite graf pre každú nerovnosť. Priesečník grafu všetkých nerovností predstavuje graf pre sústavy nerovností.

Zvážte príklad,

Príklad: Vyneste graf pre sústavy nerovníc

• 2x + 3r ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Riešenie:

Graf pre 2x + 3r ≤ 6

Tieňovaná oblasť grafu predstavuje 2x + 3y ≤ 6

Graf pre x ≤ 3

Tieňovaná oblasť predstavuje x ≤ 3

Graf pre y ≤ 2

Tieňovaná oblasť predstavuje y ≤ 2

Graf pre daný systém nerovností

Stínovaná oblasť predstavuje daný systém nerovností.

Nerovnosti – často kladené otázky

Čo je to pojem nerovnosti?

Nerovnice sú matematické výrazy, v ktorých sú LHS a RHS výrazu nerovnaké.

Aké sú symboly nerovností?

Symboly nerovností sú:>, <, ≥, ≤ a ≠.

Čo je prechodná vlastnosť nerovností?

Tranzitívna vlastnosť nerovností hovorí, že ak a, b, c sú tri čísla, potom,

• Ak a> b a b> c, potom a> c
• Ak
• Ak a ≥ b a b ≥ c, potom a ≥ c
• Ak a ≤ b a b ≤ c, potom a ≤ c