Funkcia jedna k jednej alebo One-One Function je jednou z typy funkcií definovaný v doméne a kodéne a opisuje špecifický typ vzťahu medzi doménou a kodoménou. Funkcia jedna k jednej sa tiež nazýva injektívna funkcia. One to One Function je matematická funkcia, kde každý prvok v doméne mapuje na jedinečný prvok v kodoméne .
Tento článok podrobne skúma koncept funkcie One to One alebo One-One Function vrátane jeho definície a príkladov, ktoré vám pomôžu tento koncept ľahko pochopiť. Budeme tiež diskutovať o niektorých vzorových problémoch a poskytneme vám niekoľko praktických problémov, ktoré môžete vyriešiť. Poďme sa teda dozvedieť o tomto dôležitom matematickom koncepte známom ako funkcia jedna k jednej.
Obsah
- Čo je funkcia One-to-One?
- Príklady funkcií typu one-to-one
- Vlastnosti funkcií typu one-to-one
- Funkcia jedna k jednej a funkcia Onto
- Vyriešené príklady funkcie jedna ku jednej
Čo je funkcia One-to-One?
Funkcia one-to-one, známa aj ako injektívna funkcia, je taká, kde rôzne prvky A majú rôzne prvky súvisiace s B alebo rôzne prvky A majú rôzne obrázky v B.
Ak existujú rôzne obrázky pre funkciu, znamená to, že je možné iba jeden k jednému, ak boli predobrazy odlišné, ak B sada má rôzne prvky, to znamená, že je to možné len vtedy, keď sada A mala rôzne prvky, pre ktoré boli tieto predobrazy.
aktualizácia z join sql
Definícia funkcie jedna k jednej
Funkcia „f“ z množiny „A“ do množiny „B“ je jedna k jednej, ak žiadne dva prvky v „A“ nie sú mapované na rovnaký prvok v „B“.
Pozrime sa na tieto dva diagramy. Pre diagram A si uvedomíme, že 10 máp na 1, 20 máp na 2 a 30 máp na 3.
Avšak pre diagram B je jasné, že 10 a 30 máp na 3 a potom 20 máp na 1.
Keďže máme prvky v doméne zodpovedajúce odlišným hodnotám v každej doméne pre diagram A, robí to funkciu jedna k jednej, teda náš diagram B nie je jedna k jednej.
To možno matematicky vyjadriť ako
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Príklad funkcií typu one-to-one
- Funkcia identity: Funkcia identity je jednoduchým príkladom funkcie jedna ku jednej. Zoberie vstup a vráti rovnakú hodnotu ako výstup. Pre akékoľvek reálne číslo x je funkcia identity definovaná ako:
f(x) = x
Každý rozdielny vstup x zodpovedá samostatnému výstupu f(x), čo z neho robí funkciu jedna k jednej.
- Lineárna funkcia: Lineárna funkcia je taká, kde najväčšia mocnina premennej je 1. Napríklad:
f(x) = 2x + 3
Toto je funkcia jedna ku jednej, pretože bez ohľadu na to, akú hodnotu x vyberiete, získate jedinečnú hodnotu pre f(x).
- Funkcia absolútnej hodnoty: Funkcia absolútnej hodnoty f(x)=∣x∣ je tiež funkciou jedna ku jednej. Pre akékoľvek reálne číslo x funkcia absolútnej hodnoty vráti nezápornú hodnotu a rôzne hodnoty x budú mať za následok rôzne absolútne hodnoty.
Ukážme jeden taký príklad pre funkciu jedna ku jednej.
Príklad: Dokážte, že funkcia f(x) = 1/(x+2), x≠2 je jedna k jednej.
Riešenie:
Podľa funkcie jedna k jednej to vieme
f(a) = f(b)
nahraďte a za x a x za b
f(a) = 1/(a+2), f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
krížom vynásobte vyššie uvedenú rovnicu
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
Teraz, keďže a = b, funkcia sa nazýva funkcia jedna ku jednej.
Vlastnosti Funkcie one-to-one
Uvažujme, že f a g sú dve funkcie jedna ku jednej, vlastnosti sú nasledovné:
- Ak sú f a g obidve jedna ku jednej, potom f ∘ g nasleduje injektivitu.
- Ak g ∘ f je jedna k jednej, potom funkcia f je jedna k jednej, ale funkcia g nemusí byť.
- f: X → Y je jedna-jedna práve vtedy, ak sú dané funkcie g, h : P → X vždy, keď f ∘ g = f ∘ h, potom g = h. Inými slovami, funkcie jedna jedna sú presne tie monomorfizmy v množine kategórií množín.
- Ak f: X → Y je jedna jedna a P je podmnožina X, potom f-1(f(A)) = P. Teda P možno získať z jeho obrazu f(P).
- Ak f: X → Y je jedna jedna a P a Q sú obe podmnožiny X, potom f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
- Ak sú X aj Y obmedzené rovnakým počtom prvkov, potom f: X → Y je jedna-jedna, vtedy a len vtedy, ak je f surjektívna alebo na funkciu.
Graf funkcie jedna ku jednej
Pozrime sa na jednu z grafových reprezentácií funkcie jedna ku jednej
Vyššie uvedený graf funkcie f(x)= √x ukazuje grafické znázornenie funkcie jedna ku jednej.
Test horizontálnej čiary
Funkcia je jedna k jednej, ak každá vodorovná čiara nepretína graf vo viac ako jednom bode.
Ako príklad použijeme lineárnu funkciu. Nazvime to f(x) , takže f(x) má inverznú funkciu. Ak chcete zistiť, či má f(x) inverznú funkciu, musíte ukázať, že ide o funkciu jedna ku jednej, musíte ukázať, že prešla testom vodorovnej čiary. Takže ak nakreslíme vodorovnú čiaru a ak sa f(x) dotkne vodorovnej čiary viackrát, znamená to, že f(x) nie je funkcia jedna ku jednej a nemá inverznú funkciu.
Vo vyššie uvedenom príklade pretína vodorovnú čiaru iba v jednom bode. Takže f(x) je funkcia jedna k jednej, čo znamená, že má inverznú funkciu.
Inverzná funkcia jedna k jednej
Nech f je funkcia jedna ku jednej s doménou A a rozsahom B. Potom inverzná funkcia f je funkcia s doménou B a rozsahom A definovaná ako f-1(y) =x vtedy a len vtedy, ak f(x)=y pre ľubovoľné y v B. Vždy pamätajte, že funkcia má inverziu vtedy a len vtedy, ak je jedna k jednej. Funkcia je jedna k jednej, ak najvyšší exponent je nepárne číslo. Ak je však najvyššie číslo párne číslo alebo absolútna hodnota, nejde o funkciu jedna k jednej.
Príklad: f(x)=3x+2 nájdite inverznú funkciu funkcie
Riešenie:
napíšte funkciu v tvare y=f(x).
⇒ y=3x+2
umožňuje zameniť premenné y a x
⇒ x=3y+2
vyriešiť y v zmysle x
⇒ x-2=3r
vydeľ rovnicu 3
⇒ (x-2)/3=3y/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
Funkcia jedna k jednej a funkcia Onto
Hlavné rozdiely medzi funkciami One to One a Onto sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:
| Nehnuteľnosť | One-to-One (injektívna) funkcia | Onto (Surjective) Function |
|---|---|---|
| Definícia | Funkcia, v ktorej sa žiadne dva rôzne prvky v doméne nemapujú na rovnaký prvok v kodéne. Inými slovami, každý prvok v doméne sa mapuje na jedinečný prvok v kodéne. | Funkcia, v ktorej je každý prvok v kodéne mapovaný aspoň jedným prvkom v doméne. Inými slovami, rozsah funkcie sa rovná celej kodoméne. |
| Symbolické znázornenie | f(x1) ≠ f(x2), ak x1≠ x2pre všetky x1, X2v doméne. | Pre každé y v kodoméne existuje x v doméne tak, že f(x) = y. |
| Grafické znázornenie | Graf funkcie jedna ku jednej nikdy nemá vodorovnú čiaru, ktorá by ho pretínala vo viac ako jednom bode. | Graf funkcie on nemusí pokrývať každý bod v kodoméne, ale pokrýva každý bod, ktorý môže, čo znamená, že v kodoméne nie sú žiadne medzery. |
| Príklad | f(x) = 2x je jedna k jednej, pretože žiadne dve rozdielne hodnoty x nevytvárajú rovnaký výstup. | f(x) = √x je pre nezáporné reálne číslo ako jeho kodoména, pretože všetky nezáporné reálne čísla majú v tejto funkcii predobraz. |
| Inverzná funkcia | Funkcia jedna ku jednej má vo všeobecnosti inverznú funkciu. | Funkcia on môže alebo nemusí mať inverznú funkciu. |
| Kardinalita | Mohutnosť domény a kodomény môže byť rovnaká alebo rôzna pre funkcie jedna ku jednej. | Kardinalita kodomény je zvyčajne väčšia alebo rovná kardinalite domény pre funkcie on. |
Nasledujúca ilustrácia ukazuje jasný rozdiel medzi jednou funkciou a funkciou ON:
Čítaj viac,
- Funkcie
- Typy funkcií
- Vzťah a funkcia
Vyriešené problémy na jednej funkcii
Poďme vyriešiť niekoľko problémov na ilustráciu funkcií typu one-to-one:
Úloha 1: Zistite, či je nasledujúca funkcia jedna k jednej: f(x) = 3x – 1
Riešenie:
Riešenie 1: Aby sme skontrolovali, či je to jedna k jednej, musíme ukázať, že žiadne dve odlišné hodnoty x sa nemapujú na rovnakú hodnotu y.
Predpokladajme, že f(a) = f(b), kde a ≠ b.
3a – 1 = 3b – 1
3a = 3b
a = b
Keďže jediným spôsobom pre f(a) = f(b) je a = b, táto funkcia je skutočne jedna k jednej.
Úloha 2: Zistite, či je nasledujúca funkcia jedna k jednej: g(x) = x 2
Riešenie:
Riešenie 2: Použijeme test vodorovnej čiary pomocou grafu funkcie. Ak akákoľvek vodorovná čiara pretína graf viac ako raz, nie je to jedna k jednej.
Graf g(x) = x^2 je parabola otvárajúca sa smerom nahor. Akákoľvek vodorovná čiara pretína graf iba raz, takže táto funkcia nie je jedna k jednej.
Precvičte si problémy s jednotlivými funkciami
Problém 1: Zistite, či je nasledujúca funkcia individuálna:
- f(x) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- h(x) =3√x
Problém 2: Nájdite funkciu, ktorá je jedna k jednej z množiny reálnych čísel do množiny reálnych čísel.
Problém 3: Vzhľadom na funkciu g(x) = x2+ 1, zistite, či je to jedna k jednej na celej svojej doméne.
Problém 4: Uvažujme funkciu h(x) = eX. Je to funkcia jedna k jednej?
Problém 5: Nájdite inverznú funkciu f(x) = 4x – 7 a určte jej definičný obor.
Problém 6: Určite, či funkcia p(x) = √x je jedna k jednej.
Problém 7: Ak je dané q(x) = x/2, nájdite definičný obor a rozsah funkcie.
Problém 8: Skontrolujte, či funkcia r(x) = sin (x) je v intervale [0, π] jedna k jednej.
Problém 9: Uvažujme funkciu s(x) = |x|. Je to funkcia jedna k jednej?
Problém 10: Určte, či funkcia t(x) = 1/x je jedna k jednej a nájdite jej definičný obor.
One to One funkcie – často kladené otázky
1. Čo je to funkcia typu one-to-one?
Funkcia jedna ku jednej je matematická funkcia, ktorá mapuje každý prvok vo svojej doméne na jedinečný prvok vo svojej kodéne. Inými slovami, nemapuje dva rôzne prvky v doméne na rovnaký prvok v kodéne.
2. Ako zistím, či je funkcia jedna k jednej?
Môžete použiť test vodorovnej čiary. Ak žiadna vodorovná čiara nepretína graf funkcie viackrát, ide o funkciu jedna k jednej.
3. Aký je rozdiel medzi funkciou jedna ku jednej a funkciou on?
Funkcia one-to-one zaisťuje, že žiadne dva odlišné prvky v doméne sa nemapujú na rovnaký prvok v kodoméne, zatiaľ čo funkcia on, známa aj ako surjektívna funkcia, zaisťuje, že každý prvok v kodoméne je mapovaný aspoň jeden prvok v doméne.
4. Sú všetky lineárne funkcie jedna k jednej?
Nie, nie všetky lineárne funkcie sú jedna k jednej. Napríklad f(x) = 2x je jedna ku jednej, ale g(x) = 2x + 1 nie je, pretože mapuje dve rôzne hodnoty x na rovnakú hodnotu y (napr. g(1) = 3 a g(2) = 5).