Logaritmické pravidlá alebo logaritmické pravidlá sú rozhodujúce pre zjednodušenie komplikovaných formulácií, ktoré obsahujú logaritmické funkcie. Log Rules uľahčujú výpočet a manipuláciu s logaritmami v rôznych matematických a vedeckých aplikáciách. Zo všetkých týchto log pravidiel sú tri z najbežnejších pravidiel súčinu, kvocientového pravidla a mocninového pravidla. Okrem týchto máme mnoho pravidiel logaritmu, o ktorých budeme diskutovať ďalej v článku. Tento článok podrobne skúma všetky pravidlá pre protokoly vrátane derivácií a integrálov s príkladmi logaritmických pravidiel. Začnime sa teda učiť o všetkých pravidlách, ktoré logaritmy majú.

Obsah

• Čo sú pravidlá denníka?
• Typy logaritmu
• Zoznam pravidiel logaritmu
• Pravidlá prirodzeného denníka
• Aplikácie logaritmu
• Produktové pravidlo logaritmov
• Pravidlo logaritmickej sily
• Kvocientové pravidlo logaritmov
• Vyriešené príklady Log Rules
• Cvičné otázky o pravidlách denníka

Čo sú pravidlá denníka?

Logaritmické pravidlá v matematike sú pravidlá a zákony, ktoré sa používajú pri zjednodušovaní a manipulácii s výrazmi logaritmických funkcií. Tieto princípy vytvárajú vzťahy medzi exponenciálnymi a logaritmickými formami a poskytujú systematickú techniku ​​na zvládnutie komplikovaných logaritmických výpočtov.

Hlavné pravidlá sú nasledovné: pravidlo produktu : čo nám umožňuje rozdeliť súčin v rámci logaritmu na súčet samostatných logaritmov; kvocientové pravidlo : čo nám umožňuje rozdeliť kvocient v rámci logaritmu na rozdiel logaritmov; mocenské pravidlo: čo nám umožňuje extrahovať exponenty z logaritmu; pravidlo prepínania základne alebo zmena základného pravidla : čo nám umožňuje zmeniť základ logaritmu.

Tieto zákony sú kľúčové v mnohých matematických a vedeckých aplikáciách, vďaka čomu sú logaritmy cenným nástrojom na riešenie rovníc, modelovanie exponenciálneho rastu a analýzu veľkého množstva údajov.

Typy logaritmu

Zvyčajne sa zaoberáme dvoma druhmi logaritmov:

• Spoločný logaritmus
• Prirodzený logaritmus

Poznámka: Môže existovať logaritmus s akýmkoľvek reálnym číslom ako základom, ale tieto dva, t. j. bežný a prirodzený logaritmus, sú najbežnejšie a štandardné.

Poďme diskutovať o týchto typoch podrobne.

Spoločný logaritmus

Bežný logaritmus, často známy ako log základ 10 alebo jednoducho log, je matematická funkcia, ktorá predstavuje exponent, na ktorý sa musí dané číslo zvýšiť, aby sa dosiahlo dané číslo. Vypočíta mocninu desiatky potrebnú na získanie určitého čísla.

Napríklad log₁₀(100) sa rovná 2, pretože 10 umocnené na 2 sa rovná 100. Spoločný logaritmus 100 je v tomto prípade 2, čo ukazuje, že 10²= 100. Bežné logaritmy sa používajú v mnohých odvetviach vrátane vedy, inžinierstva a financií, aby sa zjednodušili reprezentácie veľkého počtu a pomohli pri výpočtoch vyžadujúcich mocniny 10.

Prirodzený logaritmus

Prirodzený logaritmus je matematická funkcia, ktorá vyjadruje logaritmus so základom „e“ (Eulerovo číslo, približne 2,71828). Je to inverzná hodnota exponenciálnej funkcie a predstavuje množstvo času potrebného na to, aby sa množstvo zvýšilo alebo znížilo o konštantný faktor.

Napríklad ln (10) ≈ 2,30259 znamená, že e vynásobené 2,30259 sa rovná 10. Prirodzený logaritmus sa používa v mnohých oblastiach vrátane matematiky, fyziky a financií na opis javov, ktoré vykazujú exponenciálny rast alebo úpadok, ako je populačná expanzia, rádioaktívny rozpad a výpočty zloženého úroku.

Čo sú pravidlá logaritmu?

Logaritmické operácie možno vykonávať podľa špecifických pravidiel. Tieto pravidlá sú známe ako:

• Produktové pravidlo
• Podielové pravidlo
• Nulové pravidlo
• Pravidlo identity
• Mocninné pravidlo alebo exponenciálne pravidlo
• Zmena základného pravidla
• Recipročné pravidlo

Okrem týchto spoločných pravidiel môžeme mať aj niektoré nezvyčajné pravidlá, ako napríklad:

• Logaritmická inverzná vlastnosť
• Derivát log
• Integrácia Log

Produktové pravidlo denníka

Podľa pravidla súčinu je logaritmus súčinu súčtom logaritmov jeho prvkov.

Vzorec: log_a(XY) = log_aX + log_aA

Príklad: log₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Podielové pravidlo denníka

Pravidlo kvocientu tvrdí, že logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov čitateľa a menovateľa.

Vzorec: log_a(X/Y) = log_aX – log_aA

Príklad: log₃(9/3) = log₃(9) – log₃(3)

Nulové pravidlo denníka

Podľa nulového pravidla je logaritmus 1 k akejkoľvek základni vždy 0.

Vzorec: log_a(1) = 0

Príklad: log₄(1) = 0

Identity Rule of Log

Podľa pravidla identity je logaritmus základu vždy 1.

Vzorec: log_a(a) = 1

Príklad: log₇(7) = 1

Recipročné pravidlo

Podľa recipročného pravidla logaritmov sa logaritmus recipročného čísla (1 delená týmto číslom) rovná záporu logaritmu pôvodného čísla. V matematickom zápise:

Vzorec: log_a(1/X) = – log_a(X)

Príklad: log_a(1/2) = – log_a(2)

Pravidlo moci alebo exponenciálne pravidlo logu

Podľa mocninového pravidla sa logaritmus čísla umocneného na exponent rovná exponentu vynásobenému logaritmom základu.

Vzorec: log_a(Xⁿ) = n × log_aX

Príklad: log₅(9²) = 2 × log₅(9)

Zmena základného pravidla denníka

Pravidlo zmeny základu vám umožňuje vypočítať logaritmus čísla v inom základe použitím spoločného logaritmu (zvyčajne základ 10 alebo základ e). Nazýva sa aj zmena základného pravidla Pravidlo prepínania základne.

Vzorec: log_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Príklad: log₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3)

Logaritmická inverzná vlastnosť

Inverzná vlastnosť logaritmu tvrdí, že výpočet logaritmu umocnenej hodnoty poskytne pôvodný exponent.

Vzorec: log_a(aⁿ) = n

Príklad: log₄(4²) = 2

Derivát log

Derivácia prirodzeného logaritmu funkcie je prevrátená hodnota funkcie vynásobená deriváciou funkcie.

Vzorec: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Príklad: Ak y = ln(x²), potom dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integrácia Log

Okrem diferenciácie môžeme vypočítať aj integrál logaritmu. Integrál funkcie Log je daný takto:

Vzorec: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Pravidlá prirodzeného denníka

Keďže obe guľatiny sú prírodné a spoločné, majú rozdielnu základňu, takže pravidlá pre guľatinu sú rovnaké ako pre guľatinu obyčajnú, o ktorých sme už hovorili. Jediný rozdiel je v tom, že v pravidlách prirodzeného logu namiesto log (symbol bežného log so základom 10) používame ln (symbol pre prirodzený log základ e). Tieto pravidlá možno uviesť takto:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• V mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• to je^{ln x}= x

Aplikácie logaritmu

Pozrime sa na niektoré aplikácie log.

• Na výpočet kyslosti a zásaditosti chemických roztokov používame logaritmy.
• Na výpočet intenzity zemetrasenia sa používa Richterova stupnica.
• Množstvo hluku sa meria v decibeloch (dB) na logaritmickej stupnici.
• Logaritmy sa používajú na analýzu exponenciálnych procesov, ako je rozpad pomerových aktívnych izotopov, vývoj baktérií, šírenie epidémie v populácii a ochladzovanie mŕtveho tela.
• Na výpočet doby splácania pôžičky sa používa logaritmus.
• Logaritmus sa používa v kalkulácii na rozlíšenie zložitých rovníc a výpočet plochy pod krivkami.

Produktové pravidlo logaritmov

Podľa pravidla súčinu pre logaritmy je logaritmus násobenia dvoch členov rovnaký ako sčítanie logaritmov týchto jednotlivých členov. Inými slovami, toto pravidlo je vyjadrené ako log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Poďme k odvodeniu tohto pravidla.

Proces odvodzovania:

Začnime predpokladom log_b(m) = x a log_b(n) = y. Prevedením oboch do ich exponenciálnych foriem dostaneme:

log_b(m) = x znamená m = b^X… (1)

log_b(n) = y znamená n = b^a… (2)

Keď spolu vynásobíme rovnice (1) a (2),

mn = b^{X .}b^a

Využitie pravidiel pre násobenie exponentov,

mn = b^{x + y}

Výsledkom spätnej konverzie do logaritmickej formy je,

log_b(mn) = x + y

Nahradením x a y späť,

log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Takto sme odvodili súčinové pravidlo logaritmov. Toto pravidlo sa dá využiť rôznymi spôsobmi, napr.

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Je dôležité si uvedomiť, že pravidlo produktu pre logaritmy sa nevzťahuje na log (m + n), ktoré nemožno rozdeliť na samostatné logaritmy. Toto pravidlo sa striktne vzťahuje na logaritmus súčinu, log(mn).

Pravidlo logaritmickej sily

Pravidlo moci logaritmu uvádza, že keď sa argument logaritmu zvýši na mocninu, tento exponent sa môže presunúť na začiatok logaritmu. Inými slovami, logb mn = n logb m. Pozrime sa na odvodenie tohto pravidla.

Proces odvodzovania:

Začnite prevzatím log_bm sa rovná x. Prevedením tohto do jeho exponenciálnej formy dostaneme:

b^X= m

Potom zvýšte obe strany na mocninu n, výsledkom čoho bude:

latexový zoznam

(b^X)ⁿ= mⁿ

Použitie pravidla exponentu poskytuje:

b^nx= mⁿ

Prevedením späť do logaritmickej formy dostaneme:

log_bmⁿ= nx

Nahradením x za log_bm, prichádzame na:

log_bmⁿ= n log_bm

Tým sa končí odvodenie pravidla logaritmickej moci. Nižšie uvádzame niekoľko príkladov uplatňovania tohto pravidla:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Kvocientové pravidlo logaritmov

Podľa kvocientového pravidla pre logaritmy je logaritmus delenia medzi dvoma číslami odčítaním logaritmov každého čísla.

Konkrétne pravidlo uvádza, že log_b(m/n) = log_bm – log_bn. Poďme k odvodeniu tohto pravidla.

Proces odvodzovania:

Predpokladajme, že denník_bm sa rovná x a log_bn sa rovná y. Vyjadríme ich v ich exponenciálnych formách.

log_bm = x znamená m = b^X… (1)

log_bn = y znamená n = b^a… (2)

Keď vydelíme rovnicu (1) rovnicou (2),

m/n = b^X/ b^a

Použitie pravidla podielu pre exponenty,

m/n = b^x–y

Prevod späť do logaritmickej formy,

log_b(m/n) = x – y

Nahradením x a y späť,

log_b(m/n) = log_bm – log_bn

Takto sme odvodili kvocientové pravidlo pre logaritmy. Toto pravidlo možno použiť nasledovne:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Je dôležité poznamenať, že pravidlo podielu neznamená nič pre log (m – n).

Súvisiace témy:

• Antilogová tabuľka
• Kalkulačka denníka
• Natural Log
• Tabuľka denníka

Vyriešené príklady Log Rules

Príklad 1: Zjednodušte denník ₂ (4 × 8).

Riešenie:

Pomocou pravidla súčinu rozdelíme súčin na súčet logaritmov:

log₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Príklad 2: Zjednodušte denník ₄ (16/2).

Riešenie:

Pomocou pravidla kvocientu rozdelíme kvocient na rozdiel logaritmov:

log₄(16/2) = log₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Príklad 3: Zjednodušte denník ₅ (25 ³ ).

cast string to int

Riešenie:

Pomocou mocninového pravidla môžeme znížiť exponent ako koeficient:

log₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 x 2 = 6.

Príklad 4: Konverzia denníka ₃ (7) do výrazu so základom 10.

Riešenie:

Pomocou pravidla prepínania základne delíme logaritmom novej základne:

log₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Príklad 5: Vyhodnoťte protokol ₇ (49) pomocou zmeny základného pravidla so základom 2.

Riešenie:

Použitie zmeny základného pravidla so základom 2:

log₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (približne).

Cvičné otázky o pravidlách denníka

Problém 1: Zjednodušte výraz: log₂(4) + log₂(8).

Problém 2: Zjednodušte: log₅(25) – log₅(5).

Problém 3: Zjednodušte výraz: log₃(9²).

Problém 4: Expresný denník₄(25) z hľadiska bežných logaritmov.

Problém 5: Zjednodušte pomocou Log Rules: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problém 6: Riešenie pre x: log₂(x) = 3.

Problém 7: Riešenie pre x: 2^{3x – 1}= 8.

Pravidlá denníka – často kladené otázky

Čo sú pravidlá logaritmu?

Logaritmické pravidlá sú zbierkou odporúčaní na manipuláciu a zjednodušenie vzorcov pomocou logaritmických funkcií. Ponúkajú systematickú metódu na riešenie zložitých výpočtov a interakcií medzi exponenciálami a logaritmami.

Koľko kľúčových logaritmických pravidiel existuje?

Pravidlo súčinu, pravidlo kvocientu, pravidlo moci, pravidlo prepínania základne a pravidlo zmeny základného pravidla sú hlavné logaritmické pravidlá. Tieto princípy umožňujú modifikácie a výpočty logaritmických výrazov.

Čo je logaritmické produktové pravidlo?

Podľa pravidla súčinu sa logaritmus súčinu rovná súčtu logaritmov jednotlivých faktorov: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Aké sú dva typy logaritmov?

Dva najčastejšie používané typy logaritmu sú:

• Spoločný logaritmus alebo základný 10 logaritmus
• Prirodzený logaritmus alebo základný a logaritmus

Čo je pravidlo protokolu pre zmenu základne?

Podľa zmeny základného pravidla log, log_a(b) = [log_c(b)]/[log_c(a)], kde c je akékoľvek kladné reálne číslo.

Čo je denník 0?

Logaritmus nuly nie je známy. Nikdy nezískame číslo 0 zvýšením akejkoľvek hodnoty na moc inej hodnoty.

Čo je denník 1?

Kvôli nulovému pravidlu je logaritmus 1 na akúkoľvek základňu vždy 0, t.j. log_a(1) = 0.

Aký je logaritmus akéhokoľvek čísla pre seba ako základ?

Podľa pravidla identity je logaritmus základu sám o sebe vždy 1, t.j. log_a(a) = 1.

Aký je vzťah medzi logaritmami a exponenciálami?

Logaritmy a exponenciály sú inverzné operácie. Logaritmus vám povie exponent potrebný na dosiahnutie určitého čísla, zatiaľ čo exponenciála zvýši základ na exponent.

Aké sú 7 pravidiel logaritmu?

Zahŕňa 7 pravidiel logaritmu

• Produktové pravidlo
• Podielové pravidlo
• Pravidlo moci
• Zmena základných pravidiel
• Nulové pravidlo
• Pravidlo identity
• Negatívne pravidlo

Tieto pravidlá sa používajú na zjednodušenie logaritmických výrazov.

Čo je pravidlo exponentu logu?

Pravidlo logaritmu exponentu uvádza, že logaritmická báza b z a^Xsa rovná x krát log základ b z a, t.j. log_ba^X= x log_ba.

Aký je kľúčový rozdiel medzi bežným protokolom a prirodzeným protokolom?

Kľúčový rozdiel medzi bežným a prirodzeným protokolom je v tom, že bežné protokoly používajú základ 10, zatiaľ čo prirodzené protokoly používajú ako základ matematickú konštantu „e“.

Čo je odvodené pravidlo pre denník?

Derivačné pravidlo pre funkcie protokolu je: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), kde „b“ je základ logaritmu.

Čo je pravidlo prepínania základne?

Podľa pravidla prepínania báz môže byť základ ľubovoľného logaritmu zmenený na akýkoľvek iný požadovaný základ pomocou vzorca: loga(X) = logb(X) / logb(a).