Nech L je neprázdna množina uzavretá pod dvomi binárnymi operáciami zvanými meet and join, označenými ∧ a ∨. Potom sa L nazýva mriežka, ak platia nasledujúce axiómy, kde a, b, c sú prvky v L:
1) Komutatívny zákon: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Asociačný zákon: -
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Absorpčný zákon: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Dualita:
Duál ľubovoľného výroku v mriežke (L,∧ ,∨ ) je definovaný ako výrok, ktorý sa získa zámenou ∧ an ∨.
linuxová architektúra
Napríklad , duál a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a je a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Ohraničené mriežky:
Mriežka L sa nazýva ohraničená mriežka, ak má najväčší prvok 1 a najmenší prvok 0.
Príklad:
- Množina P(S) množiny S pri operáciách prieniku a zjednotenia je ohraničená mriežka, pretože ∅ je najmenší prvok P(S) a množina S je najväčší prvok P(S).
- Množina +ve celé číslo I+pod zvyčajným rádom ≦ nie je ohraničená mriežka, pretože má najmenší prvok 1, ale najväčší prvok neexistuje.
Vlastnosti ohraničených mriežok:
Ak L je ohraničená mriežka, potom pre akýkoľvek prvok a ∈ L máme tieto identity:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Veta: Dokážte, že každá konečná mriežka L = {a1,a2,a3....an} je ohraničený.
dôkaz: Dali sme konečnú mriežku:
Herečka Rakul Preet Singh
L = {a1,a2,a3....an}
Najväčším prvkom mriežok L je teda a1∨ a2∨ a3∨.....∨an.
Taktiež najmenší prvok mriežky L je a1∧ a2∧a3∧....∧an.
Pretože pre každú konečnú mriežku existujú najväčšie a najmenšie prvky. Preto je L ohraničené.
Podmriežky:
Uvažujme o neprázdnej podmnožine L1mriežky L. Potom L1sa nazýva podmriežka L, ak L1sám je mriežkou, t.j. operácia L, t.j. a ∨ b ∈ L1a a ∧ b ∈ L1vždy, keď ∈ L1a b∈ L1.
Príklad: Uvažujme mriežku všetkých +ve celých čísel I+pod operáciou deliteľnosti. Mriežka Dnvšetkých deliteľov n > 1 je podmriežkou I+.
Určite všetky podmriežky D30ktoré obsahujú aspoň štyri prvky, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Riešenie: Podmriežky D30ktoré obsahujú aspoň štyri prvky, sú tieto:
nie je null v js
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Izomorfné mriežky:
Dve mriežky L1a L2sa nazývajú izomorfné mriežky, ak existuje bijekcia z L1do L2t.j. f: L1⟶ L2tak, že f (a ∧ b) = f(a)∧ f(b) a f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Príklad: Určite, či sú mriežky znázornené na obr izomorfné.
Riešenie: Mriežky zobrazené na obr sú izomorfné. Uvažujme zobrazenie f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Napríklad f (b ∧ c) = f (a) = 1. majú f (b) ∧ f (c) = 2 ∧ 3 = 1
pole štruktúry v jazyku c
Distribučná mriežka:
Mriežka L sa nazýva distributívna mriežka, ak pre ľubovoľné prvky a, b a c z L spĺňa tieto distribučné vlastnosti:
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Ak mriežka L nespĺňa vyššie uvedené vlastnosti, nazýva sa nedistributívna mriežka.
Príklad:
- Výkonová množina P (S) množiny S pri operácii prieniku a zjednotenia je distributívna funkcia. keďže
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
a tiež a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) pre ľubovoľné množiny a, b a c P(S). - Mriežka znázornená na obr. II je distributívna. Pretože spĺňa distribučné vlastnosti pre všetky objednané trojky, ktoré sú prevzaté z 1, 2, 3 a 4.
Doplnky a doplnené mriežky:
Nech L je ohraničená mriežka s dolnou hranicou o a hornou hranicou I. Nech a je prvok, ak L. Prvok x v L sa nazýva doplnok a, ak a ∨ x = I a a ∧ x = 0
O mriežke L sa hovorí, že je doplnená, ak je L ohraničená a každý prvok v L má doplnok.
Príklad: Určte doplnok a a c na obr.
Riešenie: Doplnkom a je d. Pretože a ∨ d = 1 a a ∧ d = 0
Doplnok c neexistuje. Pretože neexistuje žiadny prvok c taký, že c ∨ c'=1 a c ∧ c'= 0.
Modulárna mriežka:
Mriežka (L, ∧,∨) sa nazýva modulárna mriežka, ak a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c vždy, keď a ≦ c.
Priamy súčin mriežok:
Nechajte (L1∨1∧1) a (L2∨2∧2) byť dve mriežky. Potom (L, ∧,∨) je priamy súčin mriežok, kde L = L1x L2v ktorej sú binárne operácie ∨(spojenie) a ∧(stretnutie) na L také, že pre ľubovoľný (a1,b1) a (a2,b2) v L.
(a1,b1)∨( a2,b2) = (a1∨1a2,b1∨2b2)
a (a1,b1) ∧ (a2,b2) = (a1∧1a2,b1∧2b2).
ascii v jazyku java
Príklad: Uvažujme mriežku (L, ≦), ako je znázornené na obr. kde L = {1, 2}. Určte mriežky (L2, ≦), kde L2= L x L.
Riešenie: Mriežka (L2, ≦) je znázornené na obr: