Vyhlásenie o implikácii môže byť reprezentované vo forme „ak....tak“. Symbol ⇒ sa používa na znázornenie implikácie. Predpokladajme, že existujú dva výroky, P a Q. V tomto prípade možno výrok „ak P, potom Q“ napísať aj ako P ⇒ Q alebo P → Q a bude sa čítať ako „P implikuje Q“. V tejto implikácii je výrok P hypotéza, ktorá je známa aj ako predpoklad a predchodca, a výrok Q je záver, ktorý je známy aj ako dôsledok.
V logickom argumente hrá dôležitú úlohu aj implikácia. Ak je známe, že implikácia výrokov je pravdivá, potom vždy, keď je splnený predpoklad, musí byť pravdivý aj záver. Z tohto dôvodu je implikácia známa aj ako podmienený príkaz.
Niektoré príklady implikácií sú opísané takto:
10 1 milióna
- 'Ak bude v GOA slnečné počasie, pôjdeme na pláž.'
- 'Ak má klub systém zliav, pôjdeme do toho klubu.'
- 'Ak bude pri pláži slnečno, budeme opálení'.
Logická implikácia môže byť vyjadrená rôznymi spôsobmi, ktoré sú opísané takto:
- Ak p, potom q
- Ak p, q
- q keď p
- Q iba ak P
- q pokiaľ ~p
- q vždy, keď p
- p je postačujúca podmienka pre q
- q sledovať p
- p znamená q
- Nevyhnutnou podmienkou pre p je q
- q ak p
- q je potrebné pre p
- p je nevyhnutnou podmienkou pre q
Teraz popíšeme príklady všetkých vyššie opísaných dôsledkov pomocou predpokladu P a záveru Q. Preto budeme predpokladať, že P = Je slnečno a Q = Pôjdem na pláž.
P ⇒ Q
- AK bude slnečno, POTOM pôjdem na pláž
- AK bude slnečno, pôjdem na pláž
- Pôjdem na pláž, KEĎ bude slnečno
- Na pláž pôjdem LEN AK bude slnečno
- Pôjdem na pláž, AK nebude slnečno
- Pôjdem na pláž, KEĎ bude slnečno
- Je slnečno JE DOSTATOČNÁ PODMIENKA PRE Pôjdem na pláž
- Pôjdem na pláž NASLEDOVAŤ, že je slnečno
- Je slnečno ZNAMENÁ Pôjdem na pláž
- NUTNÁ PODMIENKA PRE slnečno je, že pôjdem na pláž
- Pôjdem na pláž, AK bude slnečno
- Pôjdem na pláž JE POTREBNÉ, PRETOŽE je slnečno
- Je slnečno JE NUTNÁ PODMIENKA PRE Pôjdem na pláž
Ak existuje podmienený výrok „ak p, potom q“, potom tento výrok P ⇒ Q bude nepravdivý, keď bude premisa p pravdivá, a záver q bude nepravdivý. Vo všetkých ostatných prípadoch to znamená, že keď p je nepravdivé alebo Q je pravdivé, výrok P ⇒ Q bude pravdivý. Toto tvrdenie môžeme znázorniť pomocou pravdivostnej tabuľky, v ktorej nepravda bude reprezentovaná F a pravda bude reprezentovaná T. Pravdivostná tabuľka tvrdenia „ak P, potom Q“ je opísaná takto:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nie je potrebné, aby premisy a záver spolu súviseli. Na základe formulácie P a Q závisí interpretácia pravdivostnej tabuľky.
Napríklad:
- Ak je Jack vyrobený z plastu, potom je oceán zelený.
- Vyhlásenie: Jack je vyrobený z plastu
- Výrok: Oceán je zelený
Vyššie uvedené dve vyhlásenia nedávajú žiadny zmysel, pretože Jack je človek a nikdy nemôže byť vyrobený z plastu, a ďalšie vyhlásenie Ocean is green sa nikdy nestane, pretože oceán je vždy modrý a farbu oceánu nemožno zmeniť. Ako vidíme, oba výroky spolu nesúvisia. Na druhej strane platí pravdivostná tabuľka pre výrok P ⇒ Q. Nejde teda o to, či je pravdivostná tabuľka správna alebo nie, ale ide o predstavivosť a interpretáciu.
Takže v P ⇒ Q nepotrebujeme žiadny typ spojenia medzi premisou a následkom. Na základe skutočnej hodnoty P a Q závisí ich význam iba.
Tieto vyhlásenia budú tiež nepravdivé, aj keď vezmeme do úvahy obe vyhlásenia pre náš svet, takže
False ⇒ False
Takže keď sa pozrieme na vyššie uvedenú pravdivostnú tabuľku, vidíme, že keď P je nepravda a Q je nepravda, potom P ⇒ Q je pravda.
Takže ak je Jack vyrobený z plastu, potom bude oceán zelený.
Premisa p a záver q však budú súvisieť a obe tvrdenia dávajú zmysel.
Nejednoznačnosť
V implikovanom operátore môže byť nejednoznačnosť. Takže keď použijeme implikačný operátor (⇒), v tomto čase by sme mali použiť zátvorku.
Napríklad: V tomto príklade máme nejednoznačný výrok P ⇒ Q ⇒ R. Teraz máme dva nejednoznačné výroky ((P ⇒ Q) ⇒ R) alebo (P ⇒ (Q ⇒ R)) a musíme ukázať, či tieto výroky sú podobné alebo nie.
Riešenie: Preukážeme to pomocou pravdivostnej tabuľky, ktorá je opísaná takto:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (O ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Vo vyššie uvedenej pravdivostnej tabuľke môžeme vidieť, že pravdivostná tabuľka P ⇒ (Q ⇒ R) a (P ⇒ Q) ⇒ R nie sú podobné. Obidve teda budú generovať rôzne výstupy alebo výsledky.
Viac o Implikácii
Niektoré ďalšie príklady dôsledkov sú opísané nasledovne:
- Ak bude slnečno, pôjdem do školy.
- Ak dostanem dobrú prácu, zarobím peniaze.
- Ak budem mať dobré známky, moji rodičia budú spokojní.
Vo všetkých vyššie uvedených príkladoch sme zmätení, pretože nevieme, kedy bude implikácia považovaná za pravdivú a kedy za nepravdivú. Na vyriešenie tohto problému a na pochopenie pojmu implikácia použijeme hypotetický príklad. V tomto príklade budeme predpokladať, že Marry bude hrať bedminton so svojím priateľom Jackom a jeho priateľ Jack chce Marry trochu motivovať, a tak ju navnadí vyhlásením:
'If you win then I will buy a ring for you'
Jack týmto vyhlásením znamená, že ak vyhrá manželstvo, potom samozrejme kúpi prsteň. Prostredníctvom tohto vyhlásenia sa Jack zaviaže len vtedy, keď vyhrá Marry. V žiadnom prípade sa nič nedopustil, keď Mary prepadla. Takže na konci zápasu môžu existovať iba štyri možnosti, ktoré sú opísané nasledovne:
- Marry vyhráva - kúpte si prsteň.
- Marry vyhráva - nekúpte si prsteň.
- Marry prehrá - kúpte si prsteň.
- Marry prehrala - nekúp si prsteň.
Jack však neurobil žiadne vyhlásenie týkajúce sa pravidla (B). Vo svojom vyhlásení tiež nespomenul pravidlá číslo (C) a (D), takže ak Marry prehrá, potom je úplne na Jackovi, či jej kúpi prsteň alebo nie. V skutočnosti sa výroky (A), (C) a (D) môžu stať výsledkom výroku, ktorý Jack povie Marry, ale (B) výsledkom nebude. Ak dôjde k výsledku (B), len potom bude Jack prichytený pri klamstve. Vo všetkých ostatných troch prípadoch, t.j. (A), (C) a (D), bude hovoriť pravdu.
Teraz použijeme jednoduchší výrok, aby sme mohli symbolicky definovať Jackov výrok takto:
P: you win Q: I will buy a ring for you
V tejto implikácii používame logický symbol ⇒, ktorý možno čítať ako „implikuje“. Vytvoríme príkaz Jack's Compound pomocou umiestnenia tejto šípky z P do Q takto:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Na záver sme zistili, že implikácia bude nepravdivá iba vtedy, keď je P pravdivé a q nepravdivé. Podľa tohto vyhlásenia Marry vyhrá hru, ale Jack si bohužiaľ nekúpi prsteň. Vo všetkých ostatných prípadoch/výsledkoch bude vyhlásenie pravdivé. V súlade s tým je pravdivostná tabuľka pre implikáciu opísaná takto:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Zoznam zodpovedajúcich logických rovníc pre implikáciu je opísaný takto:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Príklady implikácie:
Existujú rôzne príklady dôsledkov a niektoré z nich sú opísané takto:
Príklad 1: Predpokladajme, že existujú štyri výroky, P, Q, R a S kde
P: Jack je v škole
O: Jack učí
R: Jack spí
S: Jack je chorý
Teraz popíšeme niekoľko symbolických výrokov, ktoré sú spojené s týmito jednoduchými výrokmi.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Tu musíme ukázať reprezentáciu interpretácie týchto symbolických výrokov do slov.
Riešenie:
| P → R | Ak je Jack v škole, potom Jack učí. |
| S → ~P | Ak je Jack chorý, potom nie je v škole. |
| ~Q → (S ∧ R) | Ak Jack neučí, potom je chorý a spí. |
| (P ∨ R) → ~Q | Ak je Jack v škole alebo spí, potom neučí. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Ak Jack nespí a nie je chorý, potom v škole učí alebo nie. |
Príklad 2: V tomto príklade máme implikáciu P → Q. Tu máme tiež tri ďalšie zložené výroky, ktoré sú prirodzene spojené s touto implikáciou, ktorá je v rozpore s implikáciou, je inverzná a naopak. Vzťah medzi všetkými týmito štyrmi tvrdeniami je opísaný pomocou tabuľky, ktorá je opísaná takto:
| Implikácia | P → Q |
| konverzovať | Q → P |
| Inverzne | ~P → ~Q |
| Kontrapozitívny | ~Q → ~P |
Teraz zvážime príklad implikácie, ktorý obsahuje výrok: „Ak sa dobre učíš, máš dobré známky“. Toto tvrdenie je v tvare P → Q, kde
P: Dobre sa učíš
Otázka: Dostávate dobré známky
Teraz použijeme príkazy P a Q a ukážeme štyri súvisiace príkazy takto:
Dôsledok: Ak sa dobre učíte, máte dobré známky.
konverzovať: Ak máte dobré známky, dobre sa učíte.
Inverzná: Ak sa neučíte dobre, nedostávate dobré známky.
Kontrapozitívne: Ak nemáte dobré známky, neučíte sa dobre.
Pravdivostné hodnoty všetkých vyššie uvedených pridružených tvrdení sú opísané pomocou pravdivostnej tabuľky, ktorá je opísaná nasledovne
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Vo vyššie uvedenej tabuľke vidíme, že implikácia (P → Q) a jej kontrapozitív (~Q → ~P) majú vo svojich stĺpcoch rovnakú hodnotu. To znamená, že obaja sú rovnocenní. Môžeme teda povedať, že:
P → Q = ~Q → ~P
Podobne môžeme vidieť, že obrátené a inverzné majú vo svojich stĺpcoch podobné hodnoty. Ale na tom nebude žiadny rozdiel, pretože inverzná je protikladom naopak. Podobne môže pôvodná implikácia vychádzať z kontrapozitívu z kontrapozitívu. (To znamená, že ak negujeme P a Q a potom zmeníme smer šípky, a potom znova zopakujeme proces, to znamená negujeme ~P a ~Q, a opäť zmeníme smer šípky, v tomto prípade dostaneme tam, kde sme začali).